相似三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·福建廈門(mén)·福建省廈門(mén)第六中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，D為的中點(diǎn)，E是上一動(dòng)點(diǎn)，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)A落在F處，點(diǎn)O落在G處，當(dāng)線段的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)H時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，，將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④3．（2022·廣東深圳·深圳市海濱中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），以CE為邊向右作正方形CEFG，連接AF，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，連接DH、CH．下列結(jié)論：①△ADH≌△CDH；②AF平分∠DFE；③若BC＝4，CG＝3，則AF＝5；④若，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2021·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，已知等邊三角形ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得BCD，點(diǎn)E、F分別為線段AC和線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，若AE＝CF，則下列結(jié)論正確的有（）①四邊形ABDC為菱形；②ABE≌CBF；③BEF為等邊三角形；④∠CFB＝∠CGE；⑤若CE=3，CF＝1，則．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)5．（2021·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，，點(diǎn)G是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GF垂直于AC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是BC上的點(diǎn)．若是以GF為斜邊的等腰直角三角形．則此時(shí)PC長(zhǎng)為（

）．A． B． C． D．6．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．7．（2023秋·黑龍江大慶·八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，P為等腰的斜邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，垂足分別為點(diǎn)E、F，已知，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．若，則C． D．若時(shí)，．8．（2023·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？级＃┤鐖D，射線都垂直于線段，E為上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，設(shè)，設(shè)時(shí)，k的值為（

）A．1 B． C． D．不存在9．（2021秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)F是正方形ABCD的邊BC和邊CD上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝45°，有下列結(jié)論：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是；其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正方形中，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）矩形在平面直角坐標(biāo)系如圖所示，，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別從A、同時(shí)出發(fā)，沿、方向，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，；當(dāng)時(shí)，直線的解析式為．

12．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為16，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)．①若，則的長(zhǎng)為；②動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．13．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動(dòng)點(diǎn)（AM＜AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長(zhǎng)度是；若ME//CD，則AM的長(zhǎng)度是；14．（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝10cm，AC＝16cm，點(diǎn)E是邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交AC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，P是AG中點(diǎn)，Q是CD中點(diǎn)，QH⊥AC于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E是邊AD的三等分點(diǎn)時(shí)，PH的長(zhǎng)為cm．15．（2022秋·安徽·九年級(jí)期末）如圖①，線段，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，射線于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，C、D分別是射線AM、BN上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則：（1）的值為；（2）如圖②，E是射線AM上另一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，垂足為Q，時(shí)，AC的值為．16．（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)淅川縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，把矩形沿折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)恰好運(yùn)動(dòng)到的三等分點(diǎn)處時(shí)，的長(zhǎng)為．17．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)作垂直于x軸，交直線于點(diǎn)D，連接、，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其縱坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P的一條直線同時(shí)交的邊于M，交邊于N，若對(duì)于每個(gè)確定的m值，恰好有兩個(gè)與相似，則m的取值范圍是．18．（2022秋·河南鶴壁·九年級(jí)鶴壁市外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在，軸上，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．若點(diǎn)，，則當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，對(duì)角線平分，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）

(1）若，求證：；(2）若，求證：；(3）在（1）、（2）的條件下，若，求的值．20．（8分）（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)綏德中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在軸上(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且點(diǎn)，的橫坐標(biāo)是方程的解，點(diǎn)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，與的垂直平分線交于點(diǎn)．(1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；(用含m的代數(shù)式表示）(2）點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，已知存在，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)求出符合條件的的值．參考答案1．A【分析】連接，根據(jù)勾股定理得到，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，求得，過(guò)作于，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．解：連接，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，，，，，，，，，，過(guò)作于，，，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得，可判斷③正確，證可判斷④正確，從而得出結(jié)果.解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵DE平分，∴，∴，∴PH=PD，∵∴在和中，∵∴∴∵∴∴故③正確；∵，∴∴即，故④正確；根據(jù)已知條件無(wú)法證明①DH=DE，②DP=DG.故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】連接，，利用已知條件可以判定為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，利用邊邊邊公理即可判定，說(shuō)明①的結(jié)論正確；假定②成立，則必須，利用點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），可知②不一定成立；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度即可判定③不正確；利用同高的三角形的面積比等于它們底的比，計(jì)算出，從而判定④的結(jié)論不正確．解：連接，，如圖，四邊形和四邊形為正方形，，．．是的中點(diǎn)，．在和中，，．①的結(jié)論正確；，，若平分，則必須，即需要，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），與不一定相等，不一定成立，平分不一定成立，②的結(jié)論不正確；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，則，，，，，，．③的結(jié)論錯(cuò)誤；，．．，．．④的結(jié)論錯(cuò)誤．綜上所述，只有①的結(jié)論正確，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形是判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)性質(zhì)，勾股定理，同高三角形的面積比等于底的比，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用已知條件及相關(guān)的定理與性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．4．A【分析】由等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定定理即可知①正確；直接利用“SAS”即可判定，即②正確；由全等三角形的性質(zhì)可知，，再結(jié)合，即求出，即證明為等邊三角形，即③正確；由三角形外角性質(zhì)得：，再根據(jù)，即可證明，故④正確；根據(jù)AE=CF即可求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)④結(jié)合題意，易證，即，即可求出CG的長(zhǎng)，最后即可求出BG的長(zhǎng)，即可判斷⑤正確．解：由等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，即四邊形為菱形，故①正確；∵在和中，，∴，故②正確；∵，∴，，∵，∴，即，∴為等邊三角形，故③正確；∵，，又∵，，∴，故④正確；∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，故⑤正確．綜上，①②③④⑤都正確，個(gè)數(shù)為5個(gè)．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．5．A【分析】依題意補(bǔ)全圖形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，從而得比例式，設(shè)CP=CF=x，將相關(guān)線段的值或含x的代數(shù)式代入比例式，求解即可．解：依題意補(bǔ)全圖形，如圖：由題可知，GF⊥AC，△GFP是以GF為斜邊的等腰直角三角形，在Rt△ABC中，BC⊥AC，∴GF∥BC，∴∠GFP=∠FPC=45°，∵∠C=90°，∴∠PFC=∠FPC=45°，∴△FPC是等腰直角三角形，設(shè)CP=CF=x，則，∵AC=3，∴AF=3-x，∵GF∥BC，∴△AFG∽△ABC，∴，即，解得：，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過(guò)、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】先證明，可得，，可判斷A，C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可得，再根據(jù)，可得，從而得到，可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，可得，從而得到，再由，可判斷D選項(xiàng)，即可．解：等腰中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∴，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，，∴，∴，，即，，，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等腰直角三角形，∴，，即，∵，，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】由于，易得，因此只需求得即可．可設(shè)；再證明得到，聯(lián)立，即可求得的比例關(guān)系，由此得解．解：設(shè)，則∵射線都垂直于線段，∴；∴；∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴；∴，整理得，解得,∴∴,故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形及相似三角形的性質(zhì)．能夠正確的在中求得的比例關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．9．D【分析】延長(zhǎng)CB至Q，使BQ＝DF，連接AQ，由“SAS”可證△AEF≌△AEQ，可得EQ＝EF，∠AEB＝∠AEF，可得BE+BQ＝BE+DF＝EF，故①②正確；由結(jié)論①及勾股定理可求DF，CF的長(zhǎng)，可得DF：CF＝1：2，故④錯(cuò)誤；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP＝AG，，∠ADP＝∠ABG＝45°，由勾股定理可求，故③正確；通過(guò)證明△EAF∽△MAG，可得相似比為，故⑤正確；即可求解．解：如圖，延長(zhǎng)CB至Q，使BQ＝DF，連接AQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，，∴∠ADF＝∠ABQ=90°，∵BQ＝DF，∴△ADF≌△ABQ（SAS），∴AF＝AQ，∠DAF＝∠BAQ，∵∠EAF＝45°，∴∠EAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠EAQ＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEQ中，，∴△AEF≌△AEQ（SAS），∴EQ＝EF，∠AEB＝∠AEF，∴BE+BQ＝BE+DF＝EF，故①②正確；設(shè)AB＝BC＝CD＝2a，當(dāng)BE＝EC＝a時(shí)，∵，∴，∴DF＝a，∴CF＝a，∴DF：CF＝1：2，故④錯(cuò)誤；如圖，將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接PG，∴AP＝AG，∠PAG＝90°，∠ADP＝∠ABG＝45°，∴，∠BDP＝90°，∴，∴，故③正確；如圖，連接ME，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)M四點(diǎn)共圓，∴，∴∠AEM＝∠EAM＝45°，∴AM＝EM，∴AE＝AM，∵∠AMB＝∠ADB＋∠DAM=45°＋∠DAM，∠DAG＝∠EAF＋∠DAM＝45°＋∠DAM，∴∠DAG＝∠AMB，∵，∴∠DAG＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF，∴∠AMB＝∠AEF，又∵∠EAF＝∠GAM，∴△EAF∽△MAG，∴相似比為＝，故⑤正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】取CD的中點(diǎn)為O1，連接EO1，所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)O1為圓心，EO1為半徑的圓上，證明當(dāng)O1、E、A三點(diǎn)共線時(shí)，AE最小，作，，再證明，利用相似性質(zhì)及已知條件求解即可．解：∵，∴，取CD的中點(diǎn)為O1，連接EO1，則，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)O1為圓心，EO1為半徑的圓上，∵點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴E從O運(yùn)動(dòng)到C（逆時(shí)針），∴當(dāng)O1、E、A三點(diǎn)共線時(shí)，AE最小，作，，∵，，點(diǎn)坐標(biāo)為且OABC為正方形，∴，∵O1為CD中點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得：．故選：B【點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出當(dāng)O1、E、A三點(diǎn)共線時(shí)，AE最?。?1．6【分析】首先設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，，由此得，，，再根據(jù)得和相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出的值，當(dāng)時(shí)，，則有，再列方程求出的值，然后再求出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法可求出直線的解析式．解：設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，，依題意得：，，四邊形為矩形，，，，，，，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，且，又，，則有，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)，代入，得：，解得：，直線的解析式為：．故答案為：6，．【點(diǎn)撥】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難點(diǎn)是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)，的坐標(biāo)．12．38【分析】①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；②分點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)和點(diǎn)P從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩種情況討論，利用含30度角的直角的性質(zhì)即可求解解：①∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，即，∴，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)P從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為8．故答案為：3；8．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．13．52.5【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進(jìn)而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長(zhǎng)，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長(zhǎng)，再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長(zhǎng)．解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵M(jìn)E//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=，∴CF=；∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：=5：4，解得：AF=，設(shè)AM=ME=x，則MF=-x；∵M(jìn)E//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（-x）：，解得x=2.5；故答案：5；2.5；【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問(wèn)題．14．或【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得由Q是CD中點(diǎn)，QH⊥AC可證明△求出，分兩種情況求出AP，再根據(jù)可求解．解：連接，交AC于點(diǎn)如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴在中，∵∴△∴∴∴∵點(diǎn)E是邊AD的三等分點(diǎn),∴分兩種情況討論求解：①當(dāng)時(shí)，如圖1，∵，∴△，∴∴∴∵P是AG中點(diǎn)，∴∴②當(dāng)時(shí)，如圖2，同理可得，∴綜上，的長(zhǎng)為或故答案為：或【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求出CH和AP的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．15．16【分析】（1）先證明∠，再證明△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明∠得，根據(jù)SAS可證△，進(jìn)一步楞證明四邊形AEDB是平行四邊形，可得，求出BD的長(zhǎng)，再證明△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出結(jié)果．解：∵∴∠又∴∠又∠，∴∠∴△∴，即∵P為AB的中點(diǎn)，∴∴故答案為：16；（2）∵∴∠又∴∠∵∴∠∴∠∴∠又∠∴∠∴在和中，∴△∴∠即∵∠∴AB//ED又AE//BD∴四邊形AEDB是平行四邊形在中，∴又∵∠∠∴∠又∠∴△∴在中，∴∴故答案為【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，正確識(shí)圖，理清邊角關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．16．1或5【分析】分兩種情況：①當(dāng)時(shí)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得再由折疊的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．解：①當(dāng)時(shí)．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，．為的中點(diǎn)，，．由折疊與對(duì)應(yīng)，，，，，即．又，，，解得，．②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，．為的中點(diǎn)，，．由折疊與對(duì)應(yīng)，，，，即．又，∽，，解得，．綜上，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)撥】此題考查的是翻折變換折疊問(wèn)題、矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．17．【分析】先求出A、B的坐標(biāo)，即有，，，可得是直角三角形，對(duì)于每個(gè)確定的m值，恰好有兩個(gè)與相似，有兩個(gè)臨界點(diǎn)，第一種情況：點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)；第二種情況：過(guò)A點(diǎn)作，交與點(diǎn)P，與x軸的交點(diǎn)為G點(diǎn)，證明，，即，則問(wèn)題隨之得解．解：令時(shí)，，令時(shí)，，解得，∴，，∴，，∵，∴，，，∵，∴是直角三角形，根據(jù)題意可知：對(duì)于每個(gè)確定的m值，恰好有兩個(gè)與相似，∴有兩個(gè)臨界點(diǎn)，第一種情況：點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)，如圖，∵，∴，∴，∵，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；第二種情況：過(guò)A點(diǎn)作，交與點(diǎn)P，與x軸的交點(diǎn)為G點(diǎn)，如圖，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∵在中，，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴P點(diǎn)此時(shí)的縱坐標(biāo)為：，當(dāng)此時(shí)P點(diǎn)往上移動(dòng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)的直線即垂直，此時(shí)即有：，綜上：m的取值范圍為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，分類(lèi)討論思想等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，得到兩個(gè)臨界點(diǎn)是解題關(guān)鍵．18．或．【分析】設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，先求出解析式，若，證得，可得，求出，即可得到的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；若，可證，得到，求出，即可得到的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；若，可得是等腰直角三角形，，與題意不符，故此情況不存在．解：設(shè)的函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)，點(diǎn)，代入可得：，解得，∴∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，如圖，若，則，∵，∴，∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱(chēng)，