第二十八章圓（A卷-中檔卷）注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．答題時(shí)間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·安徽滁州·九年級(jí)期末）下列語(yǔ)句中，正確的是（

）A．任何一個(gè)圓都只有一個(gè)圓內(nèi)接三角形B．鈍角三角形的外心在三角形內(nèi)部C．三角形的外心是到三角形三邊的距離相等的交點(diǎn)D．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)確定圓的條件、三角形外接圓的性質(zhì)以及外心的定義分析得出即可．【詳解】A、任何一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)圓內(nèi)接三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、鈍角三角形的外心在三角形外部，故本選項(xiàng)不符合題意；C、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線交點(diǎn)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心的定義、確定圓的條件、外心的性質(zhì)，熟記外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江紹興·九年級(jí)期末）九個(gè)相同的等邊三角形如圖所示，已知點(diǎn)O是一個(gè)三角形的外心，則這個(gè)三角形是（

）A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心和等邊三角形的性質(zhì)解答；【詳解】∵外心為三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，且鈍角三角形的外心在三角形的外部，∴點(diǎn)是的外心．故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形外接圓的圓心，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·沭陽(yáng)夢(mèng)溪中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在上，所對(duì)的圓心角為50°，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解即可．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵所對(duì)的圓心角為，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·無(wú)錫市羊尖中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，若，則弦的長(zhǎng)是（）A． B． C．6 D．8【答案】C【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接，∵是的直徑，弦，∴，∵，∴，∴∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，其圓心角是150°，此扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出該扇形的半徑，再求其面積即可；【詳解】解：該扇形的半徑為：，∴扇形的面積為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積的求解，掌握扇形面積的求解公式是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）點(diǎn)M在內(nèi)，cm，若的半徑是5cm，則過(guò)點(diǎn)M的最短弦的長(zhǎng)度為（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可求得．【詳解】解：在過(guò)點(diǎn)的所有的弦中，最短的弦長(zhǎng)為垂直于的弦，即，連接，在中，．．根據(jù)勾股定理可得：，根據(jù)垂徑定理可得：cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了綜合運(yùn)用垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算，此題關(guān)鍵是能夠正確分析出其最短的弦．7．（2022·浙江·金華市金東區(qū)孝順鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D為外接圓上弧的中點(diǎn)，已知，，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)E，由圓周角定理可得，，再利用銳角三角函數(shù)，求出和的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)E，如圖，點(diǎn)D為外接圓上弧的中點(diǎn)，，，，，，，在中，，，，在中，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．8．（2022·遼寧大連·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則C點(diǎn)運(yùn)行痕跡長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得所在圓的半徑和圓心角度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，，由弧長(zhǎng)的計(jì)算方法可得，的長(zhǎng)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算方法是正確解答的前提．9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，點(diǎn)O是邊上的一點(diǎn)，與分別相切于點(diǎn)A、E，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連，若四邊形是菱形，則圖中陰影部分面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得，根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)切線性質(zhì)得，求出，然后根據(jù)直角三角形性質(zhì)、扇形面積公式計(jì)算，最后得到答案．【詳解】解：四邊形是菱形，，由圓周角定理得：，與分別相切于點(diǎn)A、E，，，，，，，，，，，，陰影部分面積==．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、扇形面積公式、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米【答案】A【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點(diǎn)到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2022·江蘇·無(wú)錫市查橋中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖A、B、C是上的三點(diǎn)，且，則____°．【答案】50【分析】根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)．12．（2022·江蘇·常州市金壇區(qū)水北中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑是_____．【答案】或##10或8【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角，可得這個(gè)三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后分兩種情況：斜邊為和斜邊為，利用勾股定理，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵是直角三角形，∴這個(gè)三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長(zhǎng)，∴當(dāng)斜邊為時(shí)，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑是，當(dāng)斜邊為時(shí)，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑是，綜上可得，這個(gè)三角形的外接圓的直徑是或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓、圓周角定理、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)圓周角定理，得出這個(gè)三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊長(zhǎng)．13．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市第十一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是半圓的直徑，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接，由圓周角定理得，，∴的長(zhǎng)=．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理及弧長(zhǎng)的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為l,圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．14．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（）得到，并使點(diǎn)落在AB邊上，則點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)___．（結(jié)果保留π）【答案】##【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求，由弧長(zhǎng)公式可求解．【詳解】解：在中，，∴，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（）得到，∴，∴點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軌跡，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，求出和是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇·南通市啟秀中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為_(kāi)__________．【答案】17或7##7或17【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由于AB、CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：①當(dāng)AB、CD如圖（一）所示時(shí)，過(guò)O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，∵ABCD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂徑定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，在Rt△CEO中，OE==12；同理，OF==5，故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②當(dāng)AB、CD如圖（二）所示時(shí)，過(guò)O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案為：17或7．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．16．（2022·廣東茂名·九年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，動(dòng)點(diǎn)E在矩形的邊AB上運(yùn)動(dòng)，連接DE，作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)P，連接BP，則BP的最小值為_(kāi)_____．【答案】##【分析】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得P在以D為圓心的圓上，半徑為6，連接BD，交圓D于P′，然后根據(jù)勾股定理可得問(wèn)題的答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)P，∴DA=DP=6，∴P在以D為圓心的圓上，半徑為6的一段弧上，連接BD，交圓D于P′，∴BP′為最小值，∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，∴BD=，∵半徑為6，即DP′=6，∴BP′=2-6．故答案為：2-6．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握相應(yīng)性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，試求的度數(shù)．【答案】【分析】連接，利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得，從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解．【詳解】解：連接，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江·寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，隧道的截面由圓弧和矩形構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)為，寬為，隧道的頂端（圓弧的中點(diǎn)）高出道路（）．(1)求圓弧所在圓的半徑；(2)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一輛超高貨運(yùn)卡車高，寬，問(wèn)這輛貨運(yùn)卡車能否通過(guò)該隧道？【答案】(1)所在圓的半徑為(2)這輛貨運(yùn)卡車能通過(guò)該隧道．【分析】（1）設(shè)圓心為點(diǎn)O，半徑為，再根據(jù)垂徑定理、勾股定理即可得；（2）如圖（見(jiàn)解析），先利用勾股定理的長(zhǎng)，然后與車寬進(jìn)行大小比較即可．（1）如圖，設(shè)圓心為點(diǎn)O，半徑為，連接OE交AD于點(diǎn)F，連接OA、OD，由垂徑定理得：OF垂直平分AD四邊形ABCD是矩形，，，在中，，即解得即所在圓的半徑為；（2）解：如圖，在上取點(diǎn)，且使，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，依題意，圓弧所在圓的半徑為，到的距離為7m，則點(diǎn)到的距離為，則點(diǎn)到的距離為(m)，在中，(m)∵∴這輛貨運(yùn)卡車能通過(guò)該隧道．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．19．（2022·浙江·寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是弦，點(diǎn)，在的兩側(cè)．若，，求弧的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)平角定義和已知求出，，，可得，然后求出半徑，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴弧CD的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，能求出半徑的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．20．（2022·遼寧大連·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，的直徑長(zhǎng)為10，點(diǎn)C在圓上，的平分線交于點(diǎn)D，．(1)求的度數(shù)；(2)求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，再利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）解：∵平分，∴，∴，∵是的直徑，∴，在中，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論及勾股定理，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．21．（2022·北京·日壇中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是等腰三角形底邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作．(1)求證：是的直徑；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求證：；(3)若，，求長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）連接；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和圓周角定理的推論即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等以及同弧所對(duì)的圓周角相等可證；從而得出結(jié)論；（3）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)果；【詳解】（1）證明：如圖，連接；在等腰中，為底邊的中點(diǎn)，，即：∴是的直徑（2）證明：在等腰中，均為所對(duì)的圓周角（3）解：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及推論、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)；綜合運(yùn)用這些性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是以為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，，連結(jié)．(1)求證：．(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根據(jù)∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）連結(jié)OC，OD，證明所求的陰影部分面積與扇形的面積相等，繼而得到結(jié)論．（1證明：∵=，∴∠ACD＝∠DBA，

又∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，

∴；（2）解：如圖，連結(jié)OC，OD．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°,∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．∵，∴S△DOC=S△DBC，

∴S陰影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，∵AB＝4，∴OA＝2，∴S扇形COD=．

∴S陰影=．【點(diǎn)睛】本題