高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省新余市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.8【答案】C【解析】由雙曲線方程知，則實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，所以.故選：A3.等比數(shù)列中，已知，則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】若等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)，則，即，由.故選：A4.已知是銳角，則“直線與平面所成角的大小為”是“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”的（）條件.A.必要不充分 B.充分不必要C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】如下圖所示：設(shè)直線交平面于點(diǎn)，過(guò)直線上異于點(diǎn)的點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則為直線與平面所成的角，若直線與平面所成角的大小為，則直線與所有平行于直線的直線所成的角都為，即“直線與平面所成角的大小為”“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”，若直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為，但直線與平面內(nèi)所有直線所成的最小角為直線與平面所成的角，所以，不一定是直線與平面所成的角，即“直線與平面所成角的大小為”“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”，因此，“直線與平面所成角的大小為”是“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”的充分不必要條件.故選：B5.已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，?故選：D.6.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽，中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國(guó)歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對(duì)戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合再次以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】“莎頭”組合再次以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負(fù)局，第局“莎頭”組合獲勝，所以“莎頭”組合再次以獲勝的概率.故選：B7.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則對(duì)任意的都有B.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，又，所以，所以；對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，解得，即的取值范圍是，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則有，解得，即的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.已知表示m，n中最大的數(shù)，設(shè)函數(shù)，若，則的最大值為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】C【解析】由，顯然函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，則，令，則，顯然，即在上單調(diào)遞增，又，，故使，則，所以上，即，則在上單調(diào)遞減，上，即，則在上單調(diào)遞增，所以，顯然，則，此時(shí)恒成立，故，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于有，即恒成立，則時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)恒成立，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，則時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)恒成立，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于的圖象開口向上且對(duì)稱軸，所以，在上單調(diào)遞減，且有，對(duì)于，在上單調(diào)遞增，且有，綜上，在區(qū)間內(nèi)，存在，即存在，不滿足要求；綜上，，故的最大值為1.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】BD【解析】虛數(shù)不能比較大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，則，則，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為B.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.某校高三（1）班進(jìn)行米體測(cè)，男生人，跑完平均用時(shí)秒，方差為，女生人，跑完平均用時(shí)秒，方差為，則該班級(jí)的體測(cè)成績(jī)方差大于D.若隨機(jī)事件、滿足：，，，則事件與相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，該班級(jí)的體測(cè)成績(jī)的平均數(shù)為，所以，該班級(jí)的體測(cè)成績(jī)方差為，無(wú)法確定與的大小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可得，故事件、獨(dú)立，D對(duì).故選：ABD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）A.四面體的外接球的表面積為B.存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)共面C.過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為D.點(diǎn)是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以，四面體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即四面體的外接球的直徑為，所以，四面體的外接球的表面積為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接、、，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)?、分別是、中點(diǎn)，則，所以，即、、、四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足、、、四點(diǎn)共面，但是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，在平面上作⊥，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作在平面內(nèi)⊥交或者于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，此時(shí)，，面積為，當(dāng)與點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，面積接近于，過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，則平面，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，交、于、，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的部分圓弧，此時(shí)滿足直線與直線夾角為，如圖，，故，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，且兩向量共線，所以，則.故答案為：13.展開式中的系數(shù)為36，則的值為___________.【答案】【解析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式為，令，可得；令，可得；可得，所以，解得：，故答案為：14.課內(nèi)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的韋達(dá)定理.實(shí)際上，一元三次方程也有對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理：一元三次方程的三根為滿足：.已知滿足：和，其中互不相等，則___________.【答案】【解析】由題意互不相同，則互不相同.即互不相同.由已知，可得是方程的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.由一元三次方程的韋達(dá)定理得，即①，由，且為一常數(shù)，則是方程的兩不等根，則由韋達(dá)定理可得，②，聯(lián)立①②解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步?.15.在中，已知角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若邊上的高為，求三角形ABC的周長(zhǎng).解：（1）由題設(shè)及余弦定理知，整理得，所以，，則；（2）由題意及（1）知：，則，由，即，所以（負(fù)值舍），故，而，所以三角形ABC的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，，，平面平面ABCD.（1）求證：；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.（1）證明：由，易知為直角梯形，且，連接，則，且為等腰直角三角形，，所以，在中，則，又，故，即，且，即，面面，面，又面面，所以面，面，則，又且都在面內(nèi)，故面，面，所以.（2）解：若為的中點(diǎn)，連接，由，則，面面，面，面面，所以面，由，易知為直角梯形，面內(nèi)作，則可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，即平面PCD與平面PAB夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題設(shè)，且時(shí)，則，所以，則，故在點(diǎn)處的切線方程為，所以.（2）由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，只需研究時(shí)恒成立，由，要使在上恒成立，必有（必要性），由，則，即，下證（充分性）：時(shí)，恒有在上成立，在上，又，且，故，即在上恒成立；當(dāng)時(shí)，令，則，在上，即恒成立，所以上單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于0時(shí)趨向于()，當(dāng)趨向于時(shí)趨向于，所以，使，即，，則在上單調(diào)遞減，又，故存在區(qū)間上，不合題設(shè)；綜上，.18.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若不過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于P，Q兩點(diǎn)；①若以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；②在①條件下，作為垂足.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）令，結(jié)合題設(shè)有，則，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為.（2）若以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且直線不過(guò)點(diǎn)可知，直線的斜率不為0，可設(shè)，，聯(lián)立，則，整理得，且，則，所以，，①由題意，所以，即或（舍，直線過(guò)點(diǎn)），所以，故直線過(guò)定點(diǎn)，得證.②由，且直線過(guò)定點(diǎn)，故在以為直徑的圓上，且中點(diǎn)為，該點(diǎn)到的距離恒為，所以，存在定點(diǎn)使.19.設(shè)，若，且不存在，使得依次成等差數(shù)列，則稱為的簡(jiǎn)單集，元素個(gè)數(shù)最多的簡(jiǎn)單集稱為的最大簡(jiǎn)單集，的最大簡(jiǎn)單集的元素個(gè)數(shù)記為.（1）寫出4的所有最大簡(jiǎn)單集，并求；（2）設(shè)，證明：，并求；（3）設(shè)，若對(duì)任意，都有恒成立，證明：.（1）解：若，，由簡(jiǎn)單集及最大簡(jiǎn)單集定義可知，4的最大簡(jiǎn)單集為或．故.（2）證明：設(shè)．若為的最大簡(jiǎn)單集，且，則．由于為的簡(jiǎn)單集，為的簡(jiǎn)單集，由最大簡(jiǎn)單集的定義可知，故．因此當(dāng)時(shí)，①，下面求：由于，由①可知．其中中最多只能取三個(gè)數(shù)：或；中最多也只能取三個(gè)數(shù)：或．若，共四種情況：或或或.在和中，成等差數(shù)列；在和中，成等差數(shù)列；以上情況均不滿足定義，故．若，則和恰有一個(gè)集合有三個(gè)數(shù)，依據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)該集合為，三個(gè)數(shù)為或．則中選兩個(gè)數(shù)，且不能選7（否則成等差數(shù)列），故只有三種情況：5，6；5，8；6，8．若選兩數(shù)為，則在與中，為等差數(shù)列；若選兩數(shù)為，則在中，為等差數(shù)列；在中，為等差數(shù)列；若選兩數(shù)為，則在與中，為等差數(shù)列；均不滿足定義，故．又為簡(jiǎn)單集，故.（3）證明：一方面，對(duì)，若是的最大簡(jiǎn)單集，則必為的簡(jiǎn)單集，故②，下面證明：當(dāng)，不滿足結(jié)論“對(duì)任意，恒成立”．即證：當(dāng)時(shí)，存在，使得.證明：當(dāng)時(shí)，由①②可知，，又因?yàn)闉楹?jiǎn)單集，所以，故可知，當(dāng)時(shí)，存，滿足且，故當(dāng)，不滿足結(jié)論“對(duì)任意，恒成立”，得證.另一方面，我們先求出.對(duì)于，可知．若，因?yàn)?，所以在中最多選個(gè)數(shù)，故必選，因此也不能選；同理，在中最多選個(gè)數(shù)，故必選，因此也不能選；又由選可知，不能選；選可知，不能選；此時(shí)，最大簡(jiǎn)單集中不能出現(xiàn)，因此必選；而中，成等差數(shù)列，故；對(duì)于，由，若，同理可知，必屬于最大簡(jiǎn)單集，此時(shí)，最大簡(jiǎn)單集中不能出現(xiàn)，則在中需選個(gè)數(shù)，共種情況，或或或，其中分別包含等差數(shù)列；；；，故.下面再證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有恒成立，即證：對(duì)任意，都有恒成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（i）當(dāng)時(shí)，由①及上面分析可知；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，由（1）可知.故當(dāng)時(shí)，命題也成立．根據(jù)（i）（ii）可知，對(duì)任意，都有恒成立.自然地，當(dāng)時(shí)，，故對(duì)任意時(shí)，恒成立．綜上所述，若，則“”是“對(duì)任意，都有恒成立”的充要條件.即：若對(duì)任意，都有恒成立，則有，得證.江西省新余市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.8【答案】C【解析】由雙曲線方程知，則實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，所以.故選：A3.等比數(shù)列中，已知，則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】若等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)，則，即，由.故選：A4.已知是銳角，則“直線與平面所成角的大小為”是“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”的（）條件.A.必要不充分 B.充分不必要C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】如下圖所示：設(shè)直線交平面于點(diǎn)，過(guò)直線上異于點(diǎn)的點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則為直線與平面所成的角，若直線與平面所成角的大小為，則直線與所有平行于直線的直線所成的角都為，即“直線與平面所成角的大小為”“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”，若直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為，但直線與平面內(nèi)所有直線所成的最小角為直線與平面所成的角，所以，不一定是直線與平面所成的角，即“直線與平面所成角的大小為”“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”，因此，“直線與平面所成角的大小為”是“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線所成角的大小為”的充分不必要條件.故選：B5.已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，?故選：D.6.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽，中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國(guó)歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對(duì)戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合再次以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】“莎頭”組合再次以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負(fù)局，第局“莎頭”組合獲勝，所以“莎頭”組合再次以獲勝的概率.故選：B7.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則對(duì)任意的都有B.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，又，所以，所以；對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，解得，即的取值范圍是，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則有，解得，即的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.已知表示m，n中最大的數(shù)，設(shè)函數(shù)，若，則的最大值為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】C【解析】由，顯然函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，則，令，則，顯然，即在上單調(diào)遞增，又，，故使，則，所以上，即，則在上單調(diào)遞減，上，即，則在上單調(diào)遞增，所以，顯然，則，此時(shí)恒成立，故，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于有，即恒成立，則時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)恒成立，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，則時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)恒成立，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)于的圖象開口向上且對(duì)稱軸，所以，在上單調(diào)遞減，且有，對(duì)于，在上單調(diào)遞增，且有，綜上，在區(qū)間內(nèi)，存在，即存在，不滿足要求；綜上，，故的最大值為1.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】BD【解析】虛數(shù)不能比較大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，則，則，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為B.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.某校高三（1）班進(jìn)行米體測(cè)，男生人，跑完平均用時(shí)秒，方差為，女生人，跑完平均用時(shí)秒，方差為，則該班級(jí)的體測(cè)成績(jī)方差大于D.若隨機(jī)事件、滿足：，，，則事件與相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，該班級(jí)的體測(cè)成績(jī)的平均數(shù)為，所以，該班級(jí)的體測(cè)成績(jī)方差為，無(wú)法確定與的大小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可得，故事件、獨(dú)立，D對(duì).故選：ABD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）A.四面體的外接球的表面積為B.存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)共面C.過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為D.點(diǎn)是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以，四面體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即四面體的外接球的直徑為，所以，四面體的外接球的表面積為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接、、，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)椤⒎謩e是、中點(diǎn)，則，所以，即、、、四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足、、、四點(diǎn)共面，但是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，在平面上作⊥，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作在平面內(nèi)⊥交或者于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因?yàn)椋?、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，此時(shí)，，面積為，當(dāng)與點(diǎn)無(wú)限接近時(shí)，面積接近于，過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，則平面，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，交、于、，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的部分圓弧，此時(shí)滿足直線與直線夾角為，如圖，，故，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與是共線向量，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，且兩向量共線，所以，則.故答案為：13.展開式中的系數(shù)為36，則的值為___________.【答案】【解析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式為，令，可得；令，可得；可得，所以，解得：，故答案為：14.課內(nèi)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的韋達(dá)定理.實(shí)際上，一元三次方程也有對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理：一元三次方程的三根為滿足：.已知滿足：和，其中互不相等，則___________.【答案】【解析】由題意互不相同，則互不相同.即互不相同.由已知，可得是方程的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.由一元三次方程的韋達(dá)定理得，即①，由，且為一常數(shù)，則是方程的兩不等根，則由韋達(dá)定理可得，②，聯(lián)立①②解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步?.15.在中，已知角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大?。唬?）若邊上的高為，求三角形ABC的周長(zhǎng).解：（1）由題設(shè)及余弦定理知，整理得，所以，，則；（2）由題意及（1）知：，則，由，即，所以（負(fù)值舍），故，而，所以三角形ABC的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，，，平面平面ABCD.（1）求證：；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.（1）證明：由，易知為直角梯形，且，連接，則，且為等腰直角三角形，，所以，在中，則，又，故，即，且，即，面面，面，又面面，所以面，面，則，又且都在面內(nèi)，故面，面，所以.（2）解：若為的中點(diǎn)，連接，由，則，面面，面，面面，所以面，由，易知為直角梯形，面內(nèi)作，則可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，即平面PCD與平面PAB夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題設(shè)，且時(shí)，則，所以，則，故在點(diǎn)處的切線方程為，所以.（2）由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，只需研究時(shí)恒成立，由，要使在上恒成立，必有（必要性），由，則，即，下證（充分性）：時(shí)，恒有在上成立，在上，又，且，故，即在上恒成立；當(dāng)時(shí)，令，則，在上，即恒成立，所以上單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于0時(shí)趨向于()，當(dāng)趨向于時(shí)趨向于，所以，使，即，，則在上單調(diào)遞減，又，故存在區(qū)間上，不合題設(shè)；綜上，.18.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若不過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于P，Q兩點(diǎn)；①若以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；②在①條件下，作為垂足.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）令，結(jié)合題設(shè)有，則，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為.（2）若以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且直線不過(guò)點(diǎn)可知，直線的斜率不為0，可設(shè)，，聯(lián)立，則，整理得，且，則，所以，，①由題意，所以，即或（舍，直線過(guò)點(diǎn)），所以，故直線過(guò)定點(diǎn)，得證.②由，且直線過(guò)定點(diǎn)，故在以