第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁2025年北京市高三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、單選題（本大題共3小題）1．[2025北京延慶·一模]延慶媯水公園岸邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻，柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.已知函數(shù)的部分圖象與懸鏈線類似，則下列說法正確的是（

）.

A．為奇函數(shù) B．的最大值為1C．在上單調(diào)遞增 D．方程有2個實數(shù)解2．[2025北京順義·一模]已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于，，給出下列三個結(jié)論：①；②；③.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．[2025全國·一模]函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共1小題）4．[2025全國·一模]已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．曲線在點處的切線方程為B．函數(shù)存在極大值C．當(dāng)時，D．函數(shù)有2個零點三、填空題（本大題共3小題）5．[2025北京延慶·一模]已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①，使得關(guān)于直線對稱；②，使得存在最小值；③，在上單調(diào)遞減；④，使得有三個零點；其中所有正確的結(jié)論的序號是.6．[2025北京豐臺·一模]已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意實數(shù)a，都沒有最小值；③當(dāng)時，設(shè)的零點從大到小依次為，，，則對任意正整數(shù)i，都有；④對任意實數(shù)a，m，存在實數(shù)，當(dāng)時，恒有.其中所有正確結(jié)論的序號為.7．[2025全國·一模]設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f1?x+f1+x=0，fx?1f′x?fx＞0，則使得fx四、解答題（本大題共14小題）8．[2025北京海淀·一模]已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線為，求的值；（2）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，求證：可以取無數(shù)個值，使得每一個的取值都恰有三個不同的零點．9．[2025北京東城·一模]設(shè)函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求不等式的解集；（3）已知，其中，直線的方程為.若，且，求證：.10．[2025北京西城·一模]已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點處的切線的斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．11．[2025北京石景山·一模]已知函數(shù)．(1)若.（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）證明：函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點；(2)若實數(shù)使得對恒成立，求的取值范圍．12．[2025北京門頭溝·一模]已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若在定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍.13．[2025北京延慶·一模]已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，且，證明：.14．[2025北京房山·一模]已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.15．[2025北京朝陽·一模]已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求證：當(dāng)時，；（3）若函數(shù)有個不同的零點，求的取值范圍．16．[2025北京順義·一模]已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，求證：是上的單調(diào)遞減函數(shù)；(3)求證：當(dāng)時，.17．[2025北京豐臺·一模]已知函數(shù)，直線l是曲線在點處的切線.（1）當(dāng)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求l的方程；（2）若存在l經(jīng)過點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時，設(shè)點，，B為l與y軸的交點，表示的面積.求的最小值.18．[2025北京平谷·一模]已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)變化時，曲線在點處的切線斜率能否為1？若能，求的值，若不能，說明理由.19．[2025全國·一模]已知函數(shù)．（1）求證：函數(shù)有極小值；并求的極小值為0時的值；（2）若，求的取值范圍．20．[2025全國·一模]已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在上是否存在極值點.若存在極值點，求出極值；若不存在極值點，說明理由.(2)若函數(shù)有三個極值點，求實數(shù)的取值范圍.21．[2025全國·一模]設(shè)函數(shù)fx=x(1)當(dāng)a=2時，討論函數(shù)y=fx的單調(diào)性(2)當(dāng)a≠0時，曲線y=fx與直線y=m交于Ax1,m，Bx2,m(3)證明：13+15+???+

參考答案1．【答案】D.【詳解】對A，定義域為R，因為，所以為偶函數(shù)，A錯誤；對BC，又因為，根據(jù)，在R上均單調(diào)遞增，則在在R上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯誤；則，即的最小值為，B錯誤；對D，因為所以,，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程有2個實數(shù)根,故D正確.故選D.2．【答案】C【詳解】由題意直線與垂直，函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，又由得交點坐標(biāo)為，則，對于①：因為，且，所以，故①錯誤；對于②：由，因為，則；故②正確；對于③：直線與聯(lián)立，可得，即，設(shè)函數(shù)，是增函數(shù)，又由，，可得，所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，即，因為，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，可得，此時函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時，可得，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；又，，所以，故③正確.故選C．3．【答案】A【詳解】∵，∴，由題意可知在區(qū)間上恒成立，且，∴在區(qū)間上恒成立.設(shè)，則，令，得；令，得或，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，；當(dāng)時，，作出的大致圖象如圖所示，∴在區(qū)間上的最大值為，∴要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則需，故實數(shù)的取值范圍是.故選A.4．【答案】ABD【詳解】由函數(shù)，其中定義域為，且，對于A中，由，，切線方程為，所以A正確；對于B中，令時，可得；令時，可得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時，的極大值為，沒有極小值，所以B正確；對于C中，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，，因為，可得，所以，所以C錯誤；對于D中，由函數(shù)與單調(diào)區(qū)間相同，且，，，所以有2個零點，所以D正確．故選ABD．5．【答案】①③④.【詳解】取，得，因為，所以，使得關(guān)于直線對稱；故①對；由，所以，若，當(dāng)時，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞減，故，不存在最小值，故②錯，③對，如圖若，則當(dāng)函數(shù)與直線的圖象相切時，設(shè)切點橫坐標(biāo)為，此時，則，得到方程組，化簡得，易得，則此時有兩個零點，圖象見下圖，當(dāng)時，只需將上圖相切時的直線向左偏一點，圖象如下圖所示，則兩函數(shù)會出現(xiàn)三個交點，此時有三個零點，如下圖所示，故④對.6．【答案】②④【詳解】對于①，當(dāng)時，，則，存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，,,,則在上沒有最小值；當(dāng)時，,,,則在上沒有最小值；故②正確；對于③，結(jié)合①②，當(dāng)時，存在，使得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，存在零點，所以這兩個零點距離大于，故③錯誤；對于④，，因為是對勾函數(shù)，可以取到，，所以可以取到,故④正確.7．【答案】?∞,0∪【詳解】令gx=fxx?1因為x＞1時，x?1f′x?fx＞0，故當(dāng)故gx在1,+∞上單調(diào)遞增，且g因為f1?x+f1+x=0，即?x?g1?x+x?g1+x=0，故gx關(guān)于直線x=1對稱，故gx在?∞,1上單調(diào)遞減，且當(dāng)x＜0時，gx＞0，則當(dāng)1＜x＜2時，gx＜0，則所以使得fx＜0成立的x的取值范圍是8．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【詳解】（1），故，故；由題可知，，故，解得.（2）若為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即，也即恒成立，又，故；若為上的單調(diào)減函數(shù)，則在上恒成立，即，也即恒成立，又，故；綜上所述，若為上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍為.（3），其定義域為，又，故其為奇函數(shù)；又，故只需證明可以取無數(shù)個值，使得每一個的取值在有一個零點即可.又，令，則，當(dāng)時，由（2）可知，為上的單調(diào)減函數(shù)，又，故在恒成立，故在單調(diào)遞減，又，，故存在，使得，則當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)，，又，故存在，使得；綜上所述：當(dāng)時，在存在唯一零點，也即當(dāng)時，恰好有三個零點，于是，可以取無數(shù)個值，使得每一個的取值都恰有三個不同的零點.9．【答案】（1）；（2）；（3）見詳解.【詳解】（1）由題設(shè)，則，而，所以曲線在處的切線方程為，所以，即為，則；（2）由（1）得，則，令，則，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，所以，故在R上單調(diào)遞增，且，所以的解集為；（3）由（2）知在R上單調(diào)遞增，要證，即證，由且，即證，由，，則且，所以且上，證明，即恒成立，所以，只需證在上單調(diào)遞增，且增長速度逐漸變快，由（2），、在上均單調(diào)遞增，所以且上，恒成立，故，得證.10．【答案】（1）（2）答案見解析（3）2【詳解】（1）由，則，則，解得．（2）由，則，當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，令，得，若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）由（2）知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．由，得，令，則，由，得或．當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因為，，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．即當(dāng)且僅當(dāng)時，恒成立，所以使得成立的的最小值為2．11．【答案】(1)（i）；（ii）證明見詳解；(2).【詳解】（1）（i）當(dāng)時，，則，又，則，所以函數(shù)在點處的切線方程為；（ii）因為，，令，，則，當(dāng)時，所以，所以即在上單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，所以，所以在區(qū)間上有且只有一個零點；（2）由對恒成立，即對恒成立，令，，則，所以，令，則，當(dāng)時，對任意，則，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意，當(dāng)時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，又，，①當(dāng)，即時，恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；②當(dāng)且時，即時，由零點存在性定理知，，使得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，不滿足題意；③當(dāng)時，即時，對任意單調(diào)遞增，所以，不滿足題意；綜上，的取值范圍為.12．【答案】(1)(2)答案見解析；(3)【詳解】（1）當(dāng)時可得，則，此時，因此切線方程為，即；（2）由可得其定義域為；且，即，顯然，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令可得，若，，此時在上單調(diào)遞增；若，，此時在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）若在定義域上單調(diào)遞減，可得在上恒成立；由（2）可得當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，可得，顯然不合題意；當(dāng)時，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；即在處取得極大值，也是最大值；即恒成立；令，；則，顯然當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；因此，即，又恒成立，可得，即.所以的取值范圍為.13．【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；(3)證明見解析.【詳解】（1）由，所以所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即（2）由，定義域為，令得或因為，所以.所以，列表：00遞減遞增遞減所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）因為，又，，所以是方程的兩個根.依題意，有，所以，即，所以，令，則，令，則因為，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以在為減函數(shù)，所以，即.14．【答案】(1)的單調(diào)遞增為；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)證明見解析【詳解】（1）由，得.因為函數(shù)在處有定義，所以.因為在處取得極值，所以，解得，或（舍）.當(dāng)時，，.令，解得，或（舍）.與的變化情況如下：00極大值所以函數(shù)的單調(diào)遞增為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由，得.由（1）可知，，因為，所以存在，使.方法一：曲線在點處的切線方程為，即.下面證明：.設(shè)，則.當(dāng)時，，所以，即.所以在上單調(diào)遞增.因為，所以.所以，即.所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.方法二：由，可得.所以曲線在處的切線的方程為，即.因為，所以的方程為.同理，曲線在處的切線的方程為.下面證明：.設(shè).所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以.所以，即.所以曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.15．【答案】（1）（2）見詳解（3）【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以，．所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）由題設(shè)知．設(shè)函數(shù)．當(dāng)時，因為，所以對任意的恒成立，即．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．所以當(dāng)且時，．（3）函數(shù)的定義域為，．①當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個零點，不合題意；②當(dāng)時，由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不合題意．③當(dāng)時，對于函數(shù)，因為，所以方程有兩個實數(shù)根、，滿足，，不妨設(shè)，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．因為，所以為的一個零點．又，，且，所以存在唯一實數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實數(shù)，使得．所以函數(shù)有個不同的零點．綜上，的取值范圍為．16．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）依題意，．又，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由（1）知，，，所以.令，則，因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以是上的單調(diào)遞減函數(shù).（3）令，則，由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，此時，即在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時，，，.所以即，所以即，綜上可得：當(dāng)時，.17．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）當(dāng)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，，，，，所以直線l的方程為，即.（2）因為，所以.因為，所以.所以直線l的方程為.因為l經(jīng)過點，所以，化簡得.設(shè)，由題意知，存在，使得.又因為，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以在時取得最小值.因為，所以，解得.此時.因為，所以只需.所以a的取值范圍是.（3）當(dāng)時，，，，，直線l的方程為.令，得，即，所以.由（2）知，當(dāng)時，在時取得最小值，因為，所以恒成立，所以當(dāng)時，取得最小值.18．【答案】(1)(2)的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.(3)能，【詳解】（1）當(dāng)時，則，，，所以在點處的切線方程為.（2）當(dāng)時，函數(shù)的定義域是，所以，令，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在時為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在處取得最大值，又，故恒成立，所以的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.（3）由題意知，因為，所以，即有，令則，故是上的增函數(shù)，又，因此0是的唯一零點，即方程有唯一實根0，所以.所以曲線在點處的切線斜率能為1，此時.19．【答案】（1）證明見解析，；（2）.【詳解】（1）由題意，，所以，因為，都是