高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市2025屆高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由或，所以.故選：A2.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由的最小正周期為，的最小正周期為，A、D不符；由在上單調(diào)遞增，C不符；以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，B符合.故選：B3.已知向量，滿足，，則（）A.3 B.4 C.6 D.7【答案】D【解析】由，則，所以.故選：D4.設(shè)，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，所以.故選：C.5.已知數(shù)列中，，記為的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】B【解析】數(shù)列中，滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，即，所以，又由，則.故選：B.6.已知點(diǎn)，到同一直線的距離分別為2，3，若這樣的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為圓心，2為半徑的圓為，以為圓心，3為半徑的圓為，若符合題設(shè)的直線恰有2條，即上述兩圓相交，而，所以，可得，所以.故選：B7.一個(gè)長方體墨水瓶的長、寬、高分別為10cm、8cm、15cm，內(nèi)部裝有400毫升墨水.將墨水瓶傾斜，使其一條長邊（10cm）置于水平地面，高邊（15cm）所在直線與水平地面成45度角，則此時(shí)墨水與墨水瓶接觸部分的面積為（）A.180 B.220 C.260 D.300【答案】C【解析】如下圖，若截面為等腰直角三角形，腰長為，則，可得，不符，如下圖，若截面為直角梯形，上底長為，則，可得，滿足，所以此時(shí)墨水與墨水瓶接觸部分的面積.故選：C8.已知函數(shù)，其中，5為的極小值點(diǎn).若在內(nèi)有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，由，所以，當(dāng)或時(shí)，，即在、上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，而，且，所以，只需，即，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面說法正確的是（）A.若數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4B.若是等差數(shù)列，則這些數(shù)中位數(shù)與平均數(shù)相等C.已知是隨機(jī)變量，則D.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1【答案】BC【解析】A：由數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差，錯(cuò)；B：對于等差數(shù)列，若正整數(shù)，則，若正整數(shù)，則，又等差數(shù)列的平均數(shù)為，結(jié)合中位數(shù)定義及等差數(shù)列的性質(zhì)，易知中位數(shù)也為，對；C：由于一組數(shù)據(jù)的方差，且，則，對；D：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，錯(cuò).故選：BC10.國家知識產(chǎn)權(quán)局信息顯示，華為技術(shù)有限公司申請一項(xiàng)名為“三進(jìn)制邏輯門電路、計(jì)算電路、芯片及其電子設(shè)備”的專利，該項(xiàng)專利可以實(shí)現(xiàn)大幅度減少二進(jìn)制邏輯電路的晶體管數(shù)量，降低電路的功耗，提高計(jì)算效率.該專利蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景是一種以3為基數(shù)，以，，為基本數(shù)碼的計(jì)數(shù)體系（對稱三進(jìn)制）：三進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為，其中，，為了記號的方便，我們用表示數(shù)碼，比如，，.下面選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.若，，，則D.存在唯一的，使得成立【答案】ACD【解析】A：，對；B：，，，錯(cuò)；C：，因?yàn)?，若全?時(shí)，，若全取時(shí)，，由，則，故的絕對值小于，對；D：，，所以，由，則，，要使，即，所以，則，且，則，此時(shí)，即有唯一解，對.故選：ACD11.如圖，在平行六面體中，，，，，，為中點(diǎn)，在線段上（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.存點(diǎn)，使得平面平面C.不存在點(diǎn)，使得D.不存在點(diǎn)，使得四棱錐有內(nèi)切球【答案】ABD【解析】對于A，連接交于點(diǎn)，則分別為中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，有，即，因平面，平面，故平面，即平面，故A正確；對于B，因，則，而，，則，由且都在平面內(nèi)，故平面，如下圖所示，在平面內(nèi)過作，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，取，有，設(shè)且，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，有，若平面平面，則，可得，所以存在點(diǎn)，使得平面平面，故B正確；對于C，同B分析，可得，若，所以，可得，所以，則，所以，可得，故C錯(cuò)誤；對于D，假設(shè)存在球與平面、平面、平面都相切，設(shè)且，如下左視圖，則，，，則，俯視圖角度，球心在下底面投影為的內(nèi)心，則，要使四棱錐有內(nèi)切球，則在內(nèi)有解，所以，整理得，所以，顯然無解，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】.【解析】通項(xiàng)公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)15．故答案為15．13.在中，，，則______________.【答案】9【解析】由題設(shè)，所以，即.故答案為：914.關(guān)于的方程（且）有唯一實(shí)數(shù)解，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】或【解析】令，顯然，易知是方程的唯一解，由，令，則，當(dāng)，即，則，故在R上單調(diào)遞增，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)且，此時(shí)使得，所以上，則在上單調(diào)遞減，上，則在上單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，當(dāng)時(shí)，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，則使，故方程有兩個(gè)解，不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，則使，故方程有兩個(gè)解，不滿足題設(shè)；綜上，或.故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，，，.是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）若是的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.（1）證明：由題意，以原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，且平面，則平面；（2）解：由（1）得，若直線與平面所成角為，所以.16.在1，2，3，…，7這7個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).（1）求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率；（2）設(shè)為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)的值是2）.求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.解：（1）從7個(gè)自然數(shù)中任選三個(gè)有種，恰有一個(gè)偶數(shù)的情況有種，所以這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率；（2）由題設(shè)，的可能值為，有、、、、共有5種，有、、、、、、、、、共有10種，有種，所以，，，的分布列如下，012.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（1）解：由題設(shè)，則且，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增；（2）解：由題設(shè)，令，則，對時(shí)，恒成立，且，只需，即，另一方面，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題設(shè)，綜上，；（3）證明：由（2）取，在上，令，，則，即，所以，則，得證.18.已知橢圓，點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若過定點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，直線與直線交于直線上一點(diǎn)，求直線的方程.解：（1）設(shè)橢圓上的點(diǎn)滿足橢圓的方程，則，可得，設(shè)，其中，由，可得對應(yīng)拋物線開口向下，對稱軸為，所以，解得或（舍去），所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線，且，由對稱性，不妨設(shè)，此時(shí)，直線和的斜率分別為，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，且，又由直線和，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與直線交于直線上一點(diǎn)，所以，化簡得，即，化簡得，所以，又由求根公式可得，代入得，整理得，平方得，解得，所以或（舍去），當(dāng)時(shí)，直線方程為，由對稱性知，當(dāng)時(shí)，也滿足題意，此時(shí)直線方程為，綜上可得，直線方程為或.19.設(shè)維向量，，定義運(yùn)算：.（1）當(dāng)時(shí)，若且，，試比較與的大?。唬?）已知，記且和均為的某一排列}.（ⅰ）求，；（ⅱ）若，求.（提示：.）解：（1）由題設(shè)，所以；（2）（i）先求：設(shè)，，其中為的排列，所以，而可能取值有，故，再求：設(shè)，，其中為的排列，當(dāng)，，可能取值有，則可能值為；當(dāng)，，可能取值有，則可能值為；當(dāng)，，可能取值有，則可能值為；當(dāng)，，可能取值有，則可能值為；綜上，；（ⅱ）由（1），若存在，，則不妨交換，則的值會變大，設(shè)，，則最??；，則最大；所以的元素均屬于集合，設(shè)表示集合且的元素個(gè)數(shù)，即（注意表示集合的元素個(gè)數(shù)），下證：當(dāng)時(shí)，由上知，考慮及：由中最小元素為，最大元素為，即中的元素均在中，設(shè)，，其中為的任一排列，所以可能取值為，即恰好沒有覆蓋到集合中的個(gè)元素，當(dāng)，，其中為的任一排列，所以可能取值為，即恰好沒有覆蓋到集合中的個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，即，故不覆蓋集合的元素至多有個(gè)，故，又，所以，所以.浙江省寧波市2025屆高三下學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由或，所以.故選：A2.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由的最小正周期為，的最小正周期為，A、D不符；由在上單調(diào)遞增，C不符；以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，B符合.故選：B3.已知向量，滿足，，則（）A.3 B.4 C.6 D.7【答案】D【解析】由，則，所以.故選：D4.設(shè)，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，所以.故選：C.5.已知數(shù)列中，，記為的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】B【解析】數(shù)列中，滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，即，所以，又由，則.故選：B.6.已知點(diǎn)，到同一直線的距離分別為2，3，若這樣的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為圓心，2為半徑的圓為，以為圓心，3為半徑的圓為，若符合題設(shè)的直線恰有2條，即上述兩圓相交，而，所以，可得，所以.故選：B7.一個(gè)長方體墨水瓶的長、寬、高分別為10cm、8cm、15cm，內(nèi)部裝有400毫升墨水.將墨水瓶傾斜，使其一條長邊（10cm）置于水平地面，高邊（15cm）所在直線與水平地面成45度角，則此時(shí)墨水與墨水瓶接觸部分的面積為（）A.180 B.220 C.260 D.300【答案】C【解析】如下圖，若截面為等腰直角三角形，腰長為，則，可得，不符，如下圖，若截面為直角梯形，上底長為，則，可得，滿足，所以此時(shí)墨水與墨水瓶接觸部分的面積.故選：C8.已知函數(shù)，其中，5為的極小值點(diǎn).若在內(nèi)有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，由，所以，當(dāng)或時(shí)，，即在、上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，而，且，所以，只需，即，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下面說法正確的是（）A.若數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4B.若是等差數(shù)列，則這些數(shù)中位數(shù)與平均數(shù)相等C.已知是隨機(jī)變量，則D.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1【答案】BC【解析】A：由數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差，錯(cuò)；B：對于等差數(shù)列，若正整數(shù)，則，若正整數(shù)，則，又等差數(shù)列的平均數(shù)為，結(jié)合中位數(shù)定義及等差數(shù)列的性質(zhì)，易知中位數(shù)也為，對；C：由于一組數(shù)據(jù)的方差，且，則，對；D：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，錯(cuò).故選：BC10.國家知識產(chǎn)權(quán)局信息顯示，華為技術(shù)有限公司申請一項(xiàng)名為“三進(jìn)制邏輯門電路、計(jì)算電路、芯片及其電子設(shè)備”的專利，該項(xiàng)專利可以實(shí)現(xiàn)大幅度減少二進(jìn)制邏輯電路的晶體管數(shù)量，降低電路的功耗，提高計(jì)算效率.該專利蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景是一種以3為基數(shù)，以，，為基本數(shù)碼的計(jì)數(shù)體系（對稱三進(jìn)制）：三進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為，其中，，為了記號的方便，我們用表示數(shù)碼，比如，，.下面選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.若，，，則D.存在唯一的，使得成立【答案】ACD【解析】A：，對；B：，，，錯(cuò)；C：，因?yàn)?，若全?時(shí)，，若全取時(shí)，，由，則，故的絕對值小于，對；D：，，所以，由，則，，要使，即，所以，則，且，則，此時(shí)，即有唯一解，對.故選：ACD11.如圖，在平行六面體中，，，，，，為中點(diǎn)，在線段上（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.存點(diǎn)，使得平面平面C.不存在點(diǎn)，使得D.不存在點(diǎn)，使得四棱錐有內(nèi)切球【答案】ABD【解析】對于A，連接交于點(diǎn)，則分別為中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，有，即，因平面，平面，故平面，即平面，故A正確；對于B，因，則，而，，則，由且都在平面內(nèi)，故平面，如下圖所示，在平面內(nèi)過作，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，取，有，設(shè)且，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，有，若平面平面，則，可得，所以存在點(diǎn)，使得平面平面，故B正確；對于C，同B分析，可得，若，所以，可得，所以，則，所以，可得，故C錯(cuò)誤；對于D，假設(shè)存在球與平面、平面、平面都相切，設(shè)且，如下左視圖，則，，，則，俯視圖角度，球心在下底面投影為的內(nèi)心，則，要使四棱錐有內(nèi)切球，則在內(nèi)有解，所以，整理得，所以，顯然無解，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】.【解析】通項(xiàng)公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)15．故答案為15．13.在中，，，則______________.【答案】9【解析】由題設(shè)，所以，即.故答案為：914.關(guān)于的方程（且）有唯一實(shí)數(shù)解，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】或【解析】令，顯然，易知是方程的唯一解，由，令，則，當(dāng)，即，則，故在R上單調(diào)遞增，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)且，此時(shí)使得，所以上，則在上單調(diào)遞減，上，則在上單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，當(dāng)時(shí)，，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，則使，故方程有兩個(gè)解，不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，則使，故方程有兩個(gè)解，不滿足題設(shè)；綜上，或.故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，，，.是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）若是的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.（1）證明：由題意，以原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，故，且平面，則平面；（2）解：由（1）得，若直線與平面所成角為，所以.16.在1，2，3，…，7這7個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).（1）求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率；（2）設(shè)為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)的值是2）.求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.解：（1）從7個(gè)自然數(shù)中任選三個(gè)有種，恰有一個(gè)偶數(shù)的情況有種，所以這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率；（2）由題設(shè)，的可能值為，有、、、、共有5種，有、、、、、、、、、共有10種，有種，所以，，，的分布列如下，012.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（1）解：由題設(shè)，則且，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增；（2）解：由題設(shè)，令，則，對時(shí)，恒成立，且，只需，即，另一方面，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題設(shè)，綜上，；（3）