5/51.6有理數(shù)的乘方1．有理數(shù)的乘方的意義及有關(guān)名稱(1)一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記作an，即，這種求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方．(2)冪：乘方的結(jié)果叫做冪．在乘方運(yùn)算an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an叫做冪，即(如圖)．(3)乘方是一種運(yùn)算，是一種特殊的乘法運(yùn)算(因數(shù)相同的乘法運(yùn)算)，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果．也就是說，an既表示n個(gè)a相乘，又表示n個(gè)a相乘的結(jié)果．(4)an看作乘方運(yùn)算時(shí)，讀作a的n次方；當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，讀作a的n次冪．如34中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，讀作3的4次方或3的4次冪．又如(－3)4中，底數(shù)是－3，指數(shù)是4，讀作－3的4次方或－3的4次冪．(5)一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指數(shù)1通常省略不寫．(6)底數(shù)是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，要用括號把底數(shù)括起來．如(－1)2，分別表示(－1)×(－1)，eq\f(1,2)×eq\f(1,2).【例1】把下列式子寫成乘方的形式，并指出底數(shù)、指數(shù)各是什么？(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)；(3)分析：5個(gè)－3.14相乘，寫成(－3.14)5,6個(gè)eq\f(2,5)相乘可寫成eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))6,2n個(gè)m相乘，寫成m2n.解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底數(shù)是－3.14，指數(shù)是5.(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))6，其中底數(shù)是eq\f(2,5)，指數(shù)是6.(3)＝m2n，其中底數(shù)是m，指數(shù)是2n.2.有理數(shù)的乘方的運(yùn)算法則(1)乘方運(yùn)算的符號法則乘方是特殊的乘法，由乘法法則，我們能得出乘方運(yùn)算的符號法則：正數(shù)的任何次乘方都取正號，負(fù)數(shù)的奇次乘方取負(fù)號，負(fù)數(shù)的偶次乘方取正號．(2)乘方的運(yùn)算步驟非零有理數(shù)的乘方，先根據(jù)乘方運(yùn)算的符號法則判斷結(jié)果的符號，再將其絕對值乘方；即：①根據(jù)冪指數(shù)的奇、偶性直接確定冪的符號；②計(jì)算絕對值的乘方．乘方是特殊的乘法，由乘法法則，我們能把乘方運(yùn)算化歸為我們熟悉的乘法運(yùn)算．如，(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81(不是－3和4相乘)．(－eq\f(2,3)2)＝(－eq\f(2,3))×(－eq\f(2,3))＝eq\f(4,9).(3)幾點(diǎn)注意①－an與(－a)n的意義完全不同，－an表示an的相反數(shù)，(－a)n表示n個(gè)－a相乘．如－14＝－(1×1×1×1)＝－1，底數(shù)是1；(－1)4＝(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝1，底數(shù)是－1.②當(dāng)?shù)讛?shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須先化為假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行乘方計(jì)算．如，(－1eq\f(2,3))2＝(－eq\f(5,3))2＝(－eq\f(5,3))×(－eq\f(5,3))＝eq\f(25,9).③若一個(gè)有理數(shù)的平方(可推廣到偶次方)等于它本身，那么這個(gè)有理數(shù)是0或1.④若一個(gè)有理數(shù)的立方(可推廣到奇次方)等于它本身，那么這個(gè)有理數(shù)是0或±1.⑤0的正數(shù)次方是0.【例2】計(jì)算：(1)(－3)4；(2)－34；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))3；(4)－eq\f(33,4)；(5)(－1)101；(6)(1eq\f(1,2)3).分析：(1)(－3)4表示4個(gè)－3相乘；(2)－34表示34的相反數(shù)，即－34＝－(3×3×3×3)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))3表示3個(gè)－eq\f(3,4)相乘；(4)－eq\f(33,4)表示33除以4的商的相反數(shù)；(5)(－1)101表示101個(gè)－1相乘，(－1)101＝－1，在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，首先根據(jù)符號法則確定符號，然后再計(jì)算絕對值，冪的絕對值等于底數(shù)絕對值的乘方；(6)底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，乘方時(shí)要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)．解：(1)(－3)4＝＋(3×3×3×3)＝81；(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))3＝－(eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4))＝－eq\f(27,64)；(4)－eq\f(33,4)＝－eq\f(3×3×3,4)＝－eq\f(27,4)；(5)(－1)101＝＝－1；(6)(1eq\f(1,2))3＝(eq\f(3,2)3)＝eq\f(27,8).3．有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算(1)有理數(shù)的運(yùn)算，加減叫第一級運(yùn)算，乘除叫第二級運(yùn)算，乘方、開方(以后再學(xué))叫第三級運(yùn)算．(2)有理數(shù)混合運(yùn)算的順序①先乘方，再乘除，后加減．②同級運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行．③如果有括號，先做括號里的運(yùn)算(括號的運(yùn)算順序是：先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的)．(3)在進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，除遵循以上原則外，還要根據(jù)具體的題目的特點(diǎn)，靈活使用運(yùn)算律，使運(yùn)算準(zhǔn)確而快捷．【例3】計(jì)算：(1)3＋50÷22×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－1；(2).分析：(1)先算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算乘除運(yùn)算，最后算加減；(2)此題運(yùn)算順序是：第一步計(jì)算(1－eq\f(4,9))和(1－eq\f(1,6))；第二步做乘法；第三步做乘方運(yùn)算；第四步做除法．解：(1)原式＝3＋50÷4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－1＝3＋50×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－1＝3－50×eq\f(1,4)×eq\f(1,5)－1＝3－eq\f(5,2)－1＝－eq\f(1,2).(2)原式＝(eq\f(8,5)×eq\f(5,9)2)÷＝(eq\f(8,9))2÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3＝eq\f(64,81)×(－27)＝－eq\f(64,3).4．科學(xué)記數(shù)法(1)大數(shù)的表示方法在日常生活中我們會遇到一些特別大的數(shù)，這些數(shù)在讀、寫、算時(shí)都不方便，于是用如下的簡潔方法來表示這些較大的數(shù)：①用更大的數(shù)量級來表示；②根據(jù)10n的特點(diǎn)，來表示這些較大的數(shù)．(2)科學(xué)記數(shù)法的概念一般地，一個(gè)絕對值大于10的數(shù)都可記成±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法．(3)大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，a，n的確定方法：①10的指數(shù)n比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，用科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)，只要先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)即可求出10的指數(shù)n.a是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)．例如：341257.31的整數(shù)位數(shù)是6，則n＝6－1＝5，所以用科學(xué)記數(shù)法表示為3.4125731×105.②將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)從右向左移動，一直移到最高位的后面(即保留一位整數(shù))，這時(shí)得到的數(shù)就是a，小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)就是n，如1300000000人＝1.3×109人，38萬千米＝380000千米＝3.8×105千米．辨誤區(qū)用科學(xué)記數(shù)法時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)不要誤認(rèn)為a就是零前面的數(shù)，如誤把426000記作426×103.(2)n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.不要誤認(rèn)為n就是該數(shù)后面零的個(gè)數(shù)．(3)a是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)．如果原數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)前面的“－”號不能丟．【例4】用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)687000000；(2)5000000000；(3)－367000.分析：(1)把687000000寫成a×10n時(shí)，a＝6.87，它是將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動8位得到的，即n＝8，所以687000000＝6.87×108；(2)把5000000000寫成a×10n時(shí)，a＝5，它是將原來的小數(shù)點(diǎn)向左