第七章復(fù)數(shù)7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義

一、教學(xué)目標(biāo)1.了解復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義;2.會用三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算;3.復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算的幾何意義的運(yùn)用；4.在知識的探究過程和發(fā)現(xiàn)中,感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點重點：復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義難點：對復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義的理解

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境回顧：復(fù)數(shù)的兩種形式代數(shù)形式三角形式z=a+biz=r(cosθ+isinθ)實部a虛部b輻角θ|z|=r=輻角主值0≤arg復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式可以根據(jù)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化思考：前面，我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除運(yùn)算與復(fù)數(shù)的三角表示，你能根據(jù)所學(xué)知識研究復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算及其幾何意義嗎？設(shè)計意圖：激活學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，為本節(jié)課研究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示進(jìn)行鋪墊.（二）探究新知任務(wù)1：探索復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義思考：如果把復(fù)數(shù)z1,z2分別寫成三角形式根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到z即&這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．簡記：模數(shù)相乘，輻角相加師生活動：師生充分自主探究討論后得出：一般來說復(fù)數(shù)的加法不便表示成三角形式；復(fù)數(shù)乘法能表示成三角形式，其三角表示公式為&教師板書復(fù)數(shù)乘法三角形式公式.設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)，學(xué)生思考，聯(lián)系三角函數(shù)知識，經(jīng)歷復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).通過復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的文字表述，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的理解.同時對復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則進(jìn)行推廣，拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.探究：由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，你能得到復(fù)數(shù)乘法的幾何意義嗎？兩個復(fù)數(shù)z1,z2相乘時，可以像圖那樣，先分別畫出與z1,z2對應(yīng)的向量OZ1,OZ2，然后把向量OZ1繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角師生活動：學(xué)生用紙筆畫出草圖，分組討論交流.教師借助信息工具畫出圖像，師生一起歸納出復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義.設(shè)計意圖：讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行分析，探究得出復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合思想，同時培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作意識.思考：你能解釋i2=?1和i2=?1可以寫成i(cos?π2+isin(?1)2=1可以寫成（-1）(cos?π設(shè)計意圖：進(jìn)一步加深對復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義的理解.任務(wù)2：探索復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義探究：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算的三角表示嗎？設(shè)z1=rr所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有r這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．簡記：模數(shù)相除，輻角相減師生活動：師生充分自主探究討論后得出復(fù)數(shù)除法能表示成三角形式.教師板書復(fù)數(shù)除法三角形式公式，文字表述為：兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)輻角所得的差.設(shè)計意圖：在復(fù)數(shù)乘法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識和運(yùn)算技巧推導(dǎo)復(fù)數(shù)除法的三角表示，體會轉(zhuǎn)化與化歸和類比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).探究：類比復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法的幾何意義嗎？兩個復(fù)數(shù)z1,z2相除時，可以像圖那樣，先分別畫出與z1,z2對應(yīng)的向量OZ1,OZ2，然后把向量OZ1繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角師生活動：教師引導(dǎo)θ1?設(shè)計意圖：通過除法三角表示的幾何意義的自主探究，讓學(xué)生進(jìn)一步感受乘法和除法相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，感受向量與復(fù)數(shù)之間的聯(lián)系，同時感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)學(xué)問題中的作用.（三）應(yīng)用舉例例1已知z1=3解：=3首先作與z1,z2對應(yīng)的向量OZ1,OZ2，然后把向量OZ1繞點總結(jié)：運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法的三角表示式進(jìn)行運(yùn)算的前提是給出的復(fù)數(shù)必須都是三角形式，然后才能利用“模相乘，輻角相加”的算法進(jìn)行運(yùn)算.當(dāng)不要求把計算結(jié)果化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式時，也可以直接用三角形式表示結(jié)果.師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成例1，代表回答.教師糾正指導(dǎo).設(shè)計意圖：及時鞏固新知，學(xué)生通過例題,鞏固復(fù)數(shù)的三角形式的乘法法則.例2如圖，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i，把OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，得到OZ'分析：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，向量OZ'對應(yīng)的復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)1+i與z0的積，其中復(fù)數(shù)解：向量OZ&(1+師生活動：先由學(xué)生思考發(fā)言，師生共同分析解題的基本思路.設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉(zhuǎn)、伸縮有關(guān)的復(fù)數(shù)運(yùn)算問題，體會利用復(fù)數(shù)乘法幾何意義解決問題的便捷性.例3計算4(cos解：原式=2師生活動：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視并給予個別指導(dǎo)，學(xué)生完成后進(jìn)行展示交流.設(shè)計意圖:讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算三角表示及其幾何意義解題，進(jìn)一步理解熟悉的除法運(yùn)算的基本結(jié)論.總結(jié)：直接利用復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，即兩個復(fù)數(shù)相除，所得的結(jié)果是模相除，輻角相減.例4如圖所示，已知平面內(nèi)并列八個全等的正方形，利用復(fù)數(shù)證明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4證明：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系(復(fù)平面)．∠1＝arg(3＋i)，∠2＝arg(5＋i)，∠3＝arg(7＋i)，∠4＝arg(8＋i)．所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘積(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的輻角．而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)，所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝π又因為∠1，∠2，∠3，∠4均為銳角，于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π總結(jié)：復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題要充分挖掘題目中的已知條件．設(shè)計意圖：通過例題，引導(dǎo)學(xué)生借助已有知識和運(yùn)算技巧解決實際問題，體會化歸與轉(zhuǎn)化和類比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（四）課堂練習(xí)1.復(fù)數(shù)(sin?10°+icos?10°)3的三角形式為(

)A.sin?30°+icos?30° B.cos?240°+isin?240°

C.cos?30°+isin?30° D.sin?240°+icos?240°解：∵sin?10°+icos?10°=cos?80°+isin?80°，

∴(sin?10°+icos?10°)3=(cos?80°+isin?80°)3=cos(80°+80°+80°)+isin(80°+80°+80°)

=cos?240°+isin?240°．

2.若復(fù)數(shù)z1=4(cos?π4+isinπ4)，z2A.28?28i B.解：由題意知z2z3z1=12(cosπ63.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別為OZ1,OZ2,O為坐標(biāo)原點，且z1=?A.1?3i B.?1+3i解：由題意知，

z1=?2+2i=2(?22+22i)=2(cos3π4+isin3π4)，

4.求證：(1)cos(2)cos3θ?isin3θ證明：(1)∵左邊=(cos75°+isin75°)(cos15°+isin15°)

=cos75°+15°+isin75°+15°

=cos90°+isin90°

=i

=右邊．

∴原等式成立．

(2)∵左邊=(cos3θ?isin3θ)(cos2θ?isin2θ)

=5.如圖，復(fù)平面內(nèi)的△ABC是等邊三角形，它的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別為1,0，2,1，求點C的坐標(biāo)．

解：AB=1,1

則向量AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)z