第06講直線與圓的位置關(guān)系題型梳理題型梳理易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一求圓的切線方程考慮不全致誤題型方法題型一直線與圓位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用題型二直線與圓相切的有關(guān)問(wèn)題題型三直線與圓相交的有關(guān)問(wèn)題題型四直線與圓的方程的應(yīng)用知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)01直線與圓的位置關(guān)系1.設(shè)直線l和圓M的方程分別為Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.如果直線l與圓M有公共點(diǎn)，那么公共點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的公共解；反之，如果這兩個(gè)方程有公共解，那么以公共解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線l與圓M的公共點(diǎn).2.直線l與圓M的方程聯(lián)立，得方程組Ax+By+C=0，x方程組解的情況無(wú)解僅有一組解有兩組不同的解直線與圓公共點(diǎn)的情況沒(méi)有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交知識(shí)點(diǎn)02直線與圓的位置關(guān)系的判斷1.代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的組數(shù)來(lái)判斷，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即Δ>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即Δ=0，則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即Δ<0，則直線與圓相離.2.幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.3.定點(diǎn)法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交.該法有一定的局限性，若定點(diǎn)在圓上或在圓外，則需利用代數(shù)法或幾何法進(jìn)行討論.知識(shí)點(diǎn)03傾過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程的求法1.過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程的求法(1)直接法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為1k(k≠0)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為yy0=1k(xx0).如果切點(diǎn)與圓心連線的斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程為x=x0或y=y(2)待定系數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0=k(xx0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，即得切線方程.注意此時(shí)切點(diǎn)與圓心的縱坐標(biāo)不相等.注：過(guò)圓上一點(diǎn)的切線僅有一條，可熟記下列結(jié)論：①若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2；②若點(diǎn)P(x0，y0)在圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為(x0a)·(xa)+(y0b)(yb)=r2；③若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)上，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y+D·x0+x22.過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程的求法通常用待定系數(shù)法，其求法同1中的待定系數(shù)法.當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x=x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條.一般不用聯(lián)立方程的方法求解k.知識(shí)點(diǎn)04切線長(zhǎng)的求法過(guò)圓外一點(diǎn)P，可作圓的兩條切線，我們把點(diǎn)P與切點(diǎn)所連線段的長(zhǎng)稱為切線長(zhǎng).切線長(zhǎng)可由勾股定理來(lái)計(jì)算.如圖，從圓外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)的切線，則切線長(zhǎng)為(x知識(shí)點(diǎn)05弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題1.直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種求法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為AB的長(zhǎng)，則有AB22+d2=r2，則AB=2圖1

?圖2(2)代數(shù)法：如圖2所示，設(shè)直線l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線與圓的方程聯(lián)立，消元，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得AB=(x1?x2)2+(y1?y2(直線l的斜率k存在且不為0).2.中點(diǎn)弦問(wèn)題若線段AB是圓C(a，b)的弦，D是弦AB的中點(diǎn)，則①AB⊥CD，若斜率kAB，kCD都存在，則kAB·kCD=1；②點(diǎn)差法：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，則x0=x1+x22，y0=y1+y22，將A，B坐標(biāo)分別代入圓C知識(shí)點(diǎn)06與圓有關(guān)的最值問(wèn)題利用圓的方程解決最大(小)值問(wèn)題的方法由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題，常涉及的有：①關(guān)于x，y的一次分式形式常轉(zhuǎn)化為直線的斜率；②關(guān)于x，y的一次式常轉(zhuǎn)化為直線的截距；③關(guān)于x，y的二次式常轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離等.(2)將待求式轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(3)利用三角代換，若點(diǎn)P(x，y)在圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，則設(shè)x=a+rcos(θ為參數(shù))，代入目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)求最大(小)值.易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析【易錯(cuò)點(diǎn)一】求圓的切線方程考慮不全致誤(1)求圓的方程；題型方法題型方法【題型一】直線與圓位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定解題技巧直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．(3)直線系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系．A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法判斷(2)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的方程．【題型二】直線與圓相切的有關(guān)問(wèn)題A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓外C．點(diǎn)在圓內(nèi) D．不能確定解題技巧求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程(1)點(diǎn)(x0，y0)在圓上．①先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點(diǎn)(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r．③過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【題型三】直線與圓相交的有關(guān)問(wèn)題A．0 B．1 C．2 D．3解題技巧(1)求直線與圓的弦長(zhǎng)的三種方法：代數(shù)法、幾何法及弦長(zhǎng)公式．(2)利用弦長(zhǎng)求直線方程、圓的方程時(shí)，應(yīng)注意斜率不存在的情況．(1)過(guò)點(diǎn)圓作切線，切點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)度；(2)過(guò)點(diǎn)作一條斜率為的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；(3)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值.【題型四】直線與圓的方程的應(yīng)用

(1)在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否