“直線的傾斜角和斜率”教學(xué)設(shè)計(jì)九江市同文中學(xué)蔡寶勝教材：北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)（必修2）一教材分析直線是最基本、最簡(jiǎn)單的幾何圖形，它既能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好知識(shí)上的必要準(zhǔn)備，又能為今后靈活地運(yùn)用解析幾何的基本思想和方法打好堅(jiān)定的基礎(chǔ).事實(shí)上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這兩個(gè)基本概念.學(xué)生才能對(duì)直線及其位置進(jìn)行定量的研究.對(duì)直線的傾斜角和斜率，必須要求學(xué)生理解它們的準(zhǔn)確涵義和作用，掌握它們的導(dǎo)出，并在運(yùn)用上形成相應(yīng)的技能和熟練的技巧.本節(jié)首先利用直角坐標(biāo)系中不同直線的圖形，讓學(xué)生直觀地感知確定直線的兩個(gè)主要幾何要素—一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，引出直線傾斜角的概念，并以此為基礎(chǔ)引出解析幾何解決問(wèn)題的基本方法—坐標(biāo)法.利用代數(shù)方法刻畫(huà)直線的方向，從而定義直線的斜率.最后推導(dǎo)過(guò)兩點(diǎn)直線斜率的計(jì)算公式.探索確定直線的幾何要素主要意圖在于突出解析幾何直觀性，讓學(xué)生在充分把握幾何特征的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)如何利用代數(shù)方法刻畫(huà)幾何問(wèn)題.二教學(xué)目標(biāo)理解直線傾斜角和斜率的概念，分別從幾何直觀和代數(shù)數(shù)值兩個(gè)方面刻畫(huà)了直線的方向.掌握直線兩點(diǎn)的斜率公式，進(jìn)而確定直線的傾斜角.培養(yǎng)學(xué)生相互合作意識(shí)、自主探索能力，注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系.三重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):直線傾斜角和斜率的概念及斜率公式.難點(diǎn):用直線傾斜角和斜率刻畫(huà)直線方向的科學(xué)性及斜率公式的推導(dǎo).四教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)五教學(xué)方法:啟發(fā)式引導(dǎo)，分組討論法，多媒體輔助教學(xué).六教學(xué)過(guò)程:一、問(wèn)題情景(1)圖片展示拱形橋、流星、神七運(yùn)行軌跡、天體運(yùn)行軌跡、雙螺旋DNA、過(guò)山車等等，直線是最簡(jiǎn)單的幾何圖形.問(wèn)：()確定一條直線，過(guò)一點(diǎn)有()條直線.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)新穎的圖片展示，吸引學(xué)生的注意力，了解解析幾何產(chǎn)生的根源是對(duì)于復(fù)雜曲線的研究.明確本文研究的主要內(nèi)容是直線，那么確定直線位置的幾何要素是什么？(2)觀察下圖，過(guò)一點(diǎn)還需什么條件才能確定一條直線的位置?yl3yl3ll4Ox圖1yl3l2l130o30o30oOx圖2學(xué)生：觀察、思考、交流.回答：這條直線的方向或者說(shuō)傾斜程度.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線的位置可以由一點(diǎn)和直線的方向或傾斜程度確定.[導(dǎo)入]今天我們共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.二、直線的傾斜角(1)方向可以用角度來(lái)描述，我們用什么角度來(lái)刻畫(huà)直線的方向?學(xué)生：分組討論.yOxyOxyOx圖3圖4定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，把軸(正方向)按逆時(shí)針繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所形成的角，叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線和軸平行時(shí)，它的傾斜角為0°，通常傾斜角用來(lái)表示.老師強(qiáng)調(diào)(相交正方向逆時(shí)針)設(shè)計(jì)意圖：探索描述直線傾斜程度的幾何要素，表明傾斜程度可以由一個(gè)角來(lái)表示，（直線與軸所形成的四個(gè)角之一）由此引出傾斜角的概念.[隨堂練習(xí)]指出下列圖中直線的傾斜角：yy120°Oxy120°OxyOxyOx設(shè)計(jì)意圖：理解傾斜角的定義，每一條直線都應(yīng)該有唯一的傾斜角.[教學(xué)實(shí)踐]兩個(gè)學(xué)生為一組，已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)和傾斜角，作出該直線，并標(biāo)出傾斜角.設(shè)計(jì)意圖：增加教學(xué)實(shí)踐這一環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)傾斜角概念的認(rèn)識(shí)，即增強(qiáng)了課堂的互動(dòng)性，體現(xiàn)了課改的理念.①認(rèn)識(shí)到每一個(gè)傾斜角都確定一條直線的方向，傾斜角從幾何直觀上刻畫(huà)了直線對(duì)軸正方向的傾斜程度.②認(rèn)識(shí)到直線的傾斜角能不能是銳角?能不能是直角?能不能是鈍角?能不能是平角?能否大于平角?(2)傾斜角的取值范圍如何?設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確傾斜角的取值范圍是.[思考]平行的兩條直線傾斜角的關(guān)系?設(shè)計(jì)意圖：理解僅僅傾斜角確定，直線的位置不是確定的，同時(shí)為后面求不過(guò)原點(diǎn)直線的斜率作好準(zhǔn)備.三、直線的斜率(1)在平面直角坐標(biāo)系中，直線傾斜角刻畫(huà)了直線傾斜的程度，如何用坐標(biāo)的方法刻畫(huà)直線的傾斜角?斜率樓梯或山坡的傾斜程度可用坡度來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)樓梯的寬度一樣，但高度不一樣，高度和寬度的比可以反映樓梯頂點(diǎn)的連線傾斜程度不一樣.0.01km0.01km1km0.01km1km（坡度=）為一個(gè)比值.相當(dāng)于在水平方向移動(dòng)1，在垂直方向上升或下降的數(shù)值()這個(gè)比值就表示了坡度的大小.yxOyxO(2)觀察類比，求過(guò)原點(diǎn)直線的斜率①的直線的斜率?觀察圖中直線上的點(diǎn)、當(dāng)橫坐標(biāo)從0到1增加一個(gè)單位時(shí)，縱坐標(biāo)從0增加到，稱為這條直線的斜率，記作，即，不同的傾斜角對(duì)應(yīng)不同的斜率.yByBCOX如圖：△∽△∴==這樣可以用來(lái)計(jì)算：A（直線上兩點(diǎn)的垂直增量與水平增量的比就是斜率，此時(shí)不必一定要求水平增量為單位增量）.yOx學(xué)生共同討論得出：斜率就是這條直線傾斜角的正切值，通常把也叫做直線的斜率.例如：直線的傾斜角分別為，，，其斜率為：，，yOx②的直線的斜率?在以后的學(xué)習(xí)中我們將知道的直線的斜率也可以用它傾斜角的正切值表示.yOyOx斜率不存在，（初中介紹過(guò)沒(méi)有意義）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)老師的啟發(fā)，與學(xué)生共同探究，理解斜率的定義。yyOx，，用直線(4)斜率與傾斜角的變化關(guān)系?[演示動(dòng)畫(huà)]直線過(guò)點(diǎn)，觀察當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，直線的斜率如何變化?當(dāng)直線的斜率變化時(shí)，直線的傾斜角如何變化？①直線變化傾斜角變化斜率變化②斜率變化傾斜角變化直線變化學(xué)生分組討論，抽象概括：1、當(dāng)傾斜角時(shí)斜率是非負(fù)的，傾斜角越大，直線的斜率就越大.2、當(dāng)傾斜角時(shí)斜率是負(fù)的，傾斜角越大，直線的斜率就越大.3、當(dāng)時(shí)，斜率不存在.設(shè)計(jì)意圖：1、平面直線坐標(biāo)系的每一條直線傾斜角都是唯一的，當(dāng)傾斜角不為90o時(shí)，斜率也是唯一確定的.2、傾斜角是從幾何直觀上反映直線的傾斜程度，斜率是從代數(shù)數(shù)值上反映了直線的傾斜程度.3、直線的傾斜角和斜率都是反映直線的傾斜程度，從而確定直線的方向，那么兩者之間的關(guān)系如何.[課堂練習(xí)]1、你能作出如下直線嗎？(1)已知直線過(guò)點(diǎn)，且直線的傾斜角為.(2)已知直線過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率為1、.2、直線的傾斜角和直線的斜率是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?四、直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)(1)兩點(diǎn)確定一條直線，如果已知直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，怎樣求出直線yP2(xyP2(x2,y2)△yP1(x1,y1)△xP(1,k)OxA(1,0)學(xué)生共同討論：設(shè)，，由相似三角形的關(guān)系可得：.(縱坐標(biāo)改變量與橫坐標(biāo)改變量比值)設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)演示的圖形，結(jié)合前面所學(xué)，讓學(xué)生自己探索出斜率公式。[思考]斜率公式中的條件()是不是多余的？為什么？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提醒學(xué)生要注意特殊情況。[理解應(yīng)用]1、求過(guò)已知兩點(diǎn)的直線的斜率.(1)直線過(guò)點(diǎn).(2)直線過(guò)點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)斜率公式的記憶，學(xué)會(huì)運(yùn)用公式計(jì)算直線的斜率。2、過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線，使直線的斜率分別為(1)0(2)不存在(3)1(4)設(shè)計(jì)意圖：直線的方向可以由一點(diǎn)和直線的斜率確定。3、斜率為4的直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則,的值為5、已知三點(diǎn),且，求證：這三點(diǎn)在同一條直線上.設(shè)計(jì)意圖：理解斜率公式中，選取的兩點(diǎn)可以是直線上任意不同的兩點(diǎn).[變式訓(xùn)練]若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.五、回顧反思1、直線的方向可以由傾斜角和斜率確定，前者是從幾何直觀上刻畫(huà)，后者是從代數(shù)數(shù)值上刻畫(huà)