/寧德市2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期末高一質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷有第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)，姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；第II卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效.第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，得到其共軛復(fù)數(shù)，再利用幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所以其共軛?fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第一象限.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及幾何意義，還考查理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）.A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)將異面直線與所成角轉(zhuǎn)換為計(jì)算即可【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，故，又四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，故為菱形，故，故，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，又四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，故為正三角形，故故選：C3.在中，為上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加法、減法的三角形法則及數(shù)乘向量的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，為上一點(diǎn)，且，所以，故選：D.4.若的平均數(shù)為2，方差為1，且則的平均數(shù)和方差分別為（）.A.3，2 B.3，3 C.3，4 D.4，4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，可知，故選：C5.在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)三只豚鼠中被感染的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒(méi)有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431據(jù)此估計(jì)三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（）.A.0.25 B.0.4 C.0.6 D.0.75【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析隨機(jī)數(shù)中沒(méi)有1，2，3，4中的數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)對(duì)立事件的概率求解即可【詳解】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對(duì)立事件為三只豚鼠都沒(méi)被感染，隨機(jī)數(shù)中滿足三只豚鼠都沒(méi)被感染的有907，966，569，556，989共5個(gè)，故三只豚鼠都沒(méi)被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為故選：D6.某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量某塔的高度，現(xiàn)選取與塔底在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為（）米.

A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求得，進(jìn)而在直角三角形中求得．【詳解】解：在三角形中：，由正弦定理得，，在中，．故選：A．7.已知直線m、n和平面，下列命題正確的是（）.A.若，則∥B.若，則C.若，則D.若，則∥或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面、面面平行的判定和線面垂直的判定分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，可能∥，可能，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可能，可能相交，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可能，或可能∥，或可能與相交不垂直，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，∥或，所以D正確，故選：D8.北京在2022年成功召開了冬奧會(huì)，這是我國(guó)在2008年成功舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)之后的又一奧運(yùn)盛事，是世界唯一的“雙奧之城”．我校組織奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩名同學(xué)各自從“冰壺”，“冰球”，“滑冰”，“滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)試題中任意挑選兩類試題作答，設(shè)事件M=“甲乙兩人所選試題恰有一類相同”，事件N=“甲乙兩人所選試題類型完全不同”，事件P=“甲乙兩人均未選擇冰壺類試題”，則下列結(jié)論正確的是（）.A.M與N為對(duì)立事件 B.M與P互斥C.N與P相互獨(dú)立 D.M與P相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的定義判斷AB，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷CD即可【詳解】對(duì)A，因?yàn)樗惺录琈=“甲乙兩人所選試題恰有一類相同”，事件N=“甲乙兩人所選試題類型完全不同”，也包含“甲乙兩人所選試題全相同”，故M與N為互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，M=“甲乙兩人所選試題恰有一類相同”與P=“甲乙兩人均未選擇冰壺類試題”可能同時(shí)發(fā)生，故M與P不互斥，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)槭录﨨的概率，事件P的概率，事件的概率，因?yàn)?，故N與P不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，事件M的概率，事件的概率，因?yàn)椋蔒與P相互獨(dú)立，故D正確；故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.對(duì)于復(fù)數(shù)（∈R），下列說(shuō)法正確的是（

）A.若，則為實(shí)數(shù)B.若，則為純虛數(shù)C.若，則或D.若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)實(shí)數(shù)的定義分析即可；對(duì)BC，舉反例判斷即可；對(duì)D，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可【詳解】對(duì)A，則若，則為實(shí)數(shù)，故A正確；對(duì)B，若，則為0為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，如，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)，其面積為，故D正確；故選：AD10.若，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則存在實(shí)數(shù)，使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)，可得與夾角，結(jié)合數(shù)量積公式，可判斷A的正誤；根據(jù)兩向量垂直，可得，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可判斷B的正誤；見(jiàn)模平方，計(jì)算化簡(jiǎn)，可判斷C的正誤；見(jiàn)模平方，結(jié)合數(shù)量積公式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：若，則與夾角為0或，所以或，而，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則，所以，即，故B正確；對(duì)于C：若，左右同時(shí)平方得，所以，即，故C正確；對(duì)于D：若，左右同時(shí)平方得，所以，解得，因?yàn)?，所以，則存在實(shí)數(shù)，使得，故D正確；故選：BCD11.甲、乙兩人在相同的條件下投籃5輪，每輪甲、乙各投籃10次，投籃命中次數(shù)的情況如圖所示（實(shí)線為甲的折線圖，虛線為乙的折線圖），則以下說(shuō)法正確的是（）.

A.甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)比乙的大B.甲投籃命中的成績(jī)比乙的穩(wěn)定C.甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為7D.甲投籃命中次數(shù)的第40百分位數(shù)是6【答案】BC【解析】【分析】由折線圖得到甲乙投籃5次命中次數(shù)的數(shù)據(jù)，再根據(jù)眾數(shù)、方差和平均數(shù)與百分位數(shù)的計(jì)算，逐項(xiàng)判定，即可得到答案.【詳解】由折線圖可知，甲投籃5輪，命中的次數(shù)分別為，乙投籃5輪，命中的次數(shù)分別為，對(duì)A，甲投籃命中次數(shù)的眾數(shù)為，乙投籃命中的眾數(shù)為9，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，甲投籃命中次數(shù)的數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)的左右，方差較小，乙投籃命中的次數(shù)數(shù)據(jù)比較分散，方差較大，所以甲的成績(jī)更穩(wěn)定一些，所以B正確，對(duì)C，甲投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為，所以C正確；對(duì)D，甲投籃5輪，命中的次數(shù)從小到大為，故第40百分位數(shù)是，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12.棱長(zhǎng)為2的正四面體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）.A.存在點(diǎn)，使得平面B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】【分析】將棱長(zhǎng)為2正四面體放入如下圖所示的正方體中，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，由面面平行的判定性質(zhì)證明平面平面，所以平面平面，但平面平面，可判斷A；當(dāng)與重合時(shí)，，可判斷B；將展開，如圖，為的交點(diǎn)時(shí)，的最小，由余弦定理求出可判斷C；當(dāng)時(shí)，易證得面，求出三角形外接圓的半徑為，由，求出，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，將棱長(zhǎng)為2的正四面體放入如下圖所示的正方體中，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，則P點(diǎn)不與線段AB端點(diǎn)重合，又因?yàn)椋矫?，平面，，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，但平面平面，所以假設(shè)不成立.所以不平行平面，故A不正確.對(duì)于B，當(dāng)與重合時(shí)，，故B正確.對(duì)于C，將展開到同一平面，如圖，為的交點(diǎn)時(shí)，的最小，最小值為：，故C正確.對(duì)于D，如下圖，，且，,所以面，因?yàn)樵谌切沃校?，設(shè)三角形外接圓的半徑為，，所以，則外接球半徑R滿足，三棱錐的外接球表面積為，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】先求，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》有一衰分問(wèn)題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百，意思是用分層抽樣的方法從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出500人服役，則西鄉(xiāng)抽________人.【答案】200【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣按抽樣比即可求所抽取的人數(shù).【詳解】由題意得：，故答案為：15.如圖，“甜筒”狀旋轉(zhuǎn)幾何體，由一個(gè)圓錐與一個(gè)半球組合而成，其中圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則這個(gè)組合體的表面積為________.

【答案】【解析】【分析】根據(jù)球的表面積與圓錐的側(cè)面積公式求解即可【詳解】由題意，這個(gè)組合體的表面積為故答案為：16.的外接圓半徑為1，角的對(duì)邊分別為若，且，則________；的最大值為_________【答案】①.②.【解析】【分析】由余弦定理求得，由向量數(shù)量積可得為銳角，再由正弦定理結(jié)合外接圓半徑可求得，用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，利用兩角和與差的正弦公式變形化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】,又，所以，，所以是鈍角，所以，由得，，，設(shè)，（為銳角），則，由得，，為銳角，則，所以時(shí)，取得最大值．故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知（1）若三點(diǎn)共線，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線公式求解得，再根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求解即可；（2）方法一：根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，展開可得，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可；方法二：直接根據(jù)垂直的坐標(biāo)公式求解即可【小問(wèn)1詳解】，故由三點(diǎn)共線，得所以，，解得：，，所以，【小問(wèn)2詳解】（2）方法一：由得即：所以，，所以，，=方法二：，由得解得.所以，，=18.如圖，長(zhǎng)方體中，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)線面垂直的判定證明平面即可；（2）方法一：連接交于點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可；方法二：取中點(diǎn)，連接，連接，證明平面即可【小問(wèn)1詳解】證明：連接，，則長(zhǎng)方體中，平面平面所以，，所以，平面平面所以，.小問(wèn)2詳解】方法一：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，故平面，平面所以，∥平面方法二：取中點(diǎn)，連接，則，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，連接，則，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，因?yàn)?，所以，平面因?yàn)槠矫?，所以，∥平?9.江濱縣因疫情防控需要，于2022年4月8日進(jìn)行全員核酸檢測(cè)，江濱縣海鷹社區(qū)對(duì)當(dāng)天被采樣的2000人進(jìn)行年齡方面的統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖：

（1）a的值；（2）該社區(qū)參加核酸檢測(cè)人員的平均年齡（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；（3）該社區(qū)某居民樓內(nèi)，年齡在內(nèi)有4人為，年齡在內(nèi)有2人為，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩人參與核酸檢測(cè)問(wèn)卷，求這兩人中恰有1人的年齡在內(nèi)的概率.【答案】（1）a=0.005（2）40（歲）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積和為1求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均值算法求解即可；（3）利用古典概型的方法，列舉所有情況求解即可【小問(wèn)1詳解】（0.01+0.015+0.0175+a+0.0025）×20=1∴a=0.005【小問(wèn)2詳解】平均為0.0120×10+0.015×20×30+0.0175×20×50+0.005×20×70+0.0025×20×90=40（歲）【小問(wèn)3詳解】（3）設(shè)事件M=“隨機(jī)抽取兩人恰有1人的年齡在”則“6人中隨機(jī)抽取2人”所含的樣本點(diǎn)有：共15個(gè)，這“兩人中恰有1人的年齡在”的樣本點(diǎn)有：共8種，，故20.在中，角所對(duì)的邊分別為，.

（1）判斷的形狀，并加以證明；（2）如圖，外存在一點(diǎn)D，使得且，求.【答案】（1）直角三角形，證明見(jiàn)解析（2）5【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，結(jié)合中垂線性質(zhì)即可得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理得又，所以化簡(jiǎn)得：，，所以，，所以，是直角三角形方法二：在中，由余弦定理得整理得，所以，是直角三角形【小問(wèn)2詳解】方法一：在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.方法二：

作，垂足為，，垂足為,則，在中所以，為的中垂線所以21.羽毛球比賽規(guī)則：①21分制，每球取勝加1分，由勝球方發(fā)球；②當(dāng)雙方比分為之后，領(lǐng)先對(duì)方2分的一方贏得該局比賽；當(dāng)雙方比分為時(shí)，先取得30分的一方贏得該局比賽.經(jīng)過(guò)鏖戰(zhàn)，甲乙比分為，甲在關(guān)鍵時(shí)刻贏了一球，比分變?yōu)?在最后關(guān)頭，按以往戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)，甲發(fā)球時(shí)，甲贏球的概率為0.4，乙發(fā)球時(shí)，甲贏球的概率為0.5，每球勝負(fù)相互獨(dú)立.（1）甲乙雙方比分為之后，求再打完兩球該局比賽結(jié)束的概率；（2）甲乙雙方比分為之后，求甲贏得該局比賽的概率.【答案】（1）0.46（2）0.4【解析】【分析】（1）分兩個(gè)球均由甲得分和這兩個(gè)球均由乙得分兩種情況求解即可；（2）分甲先得1分，乙得1分，甲再得1分；乙先得1分，甲得1分，甲再得1分兩種情況求解即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件A=“甲乙雙方比分為28：28之后，兩人又打了兩個(gè)球該局比賽結(jié)束”則這兩個(gè)球均由甲得分的概