/無錫市第一中學2024-2025學年度第二學期期末考試高一數(shù)學一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則，，的方差為（）A.3 B.5 C.6 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結合方差的性質運算求解.【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)的方差為3，所以，，的方差為.故選：D.2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，利用共軛復數(shù)的定義結合復數(shù)的概念判斷可得出合適的選項.【詳解】，則，故的虛部為.故選：D.3.圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺的母線長為5，則該圓臺的表面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出該圓臺的側面積、上下底面積可得答案.【詳解】因為圓臺的上、下底面半徑分別是1和5，母線長為5，則該圓臺的表面積為.故選：D.4.已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，若，則等于（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】兩邊平方，結合向量數(shù)量積公式得到方程，求出.【詳解】兩邊平方得，即，故，解得或（舍去）.故選：C5.已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面、面面及線線關系逐項判斷即可.【詳解】對于A，若，，，可將平移至相交直線，由公理3推論2，確定一個平面，由線面垂直的性質可得的交線垂直于平面，進而得到垂直于和的交線，且和的交線與或其平行線能圍成矩形，由面面垂直的定義，可得，則A正確；對于B，若，，，當都平行于的交線，則條件滿足，則相交成立，則B錯；對于C，若，，，則可能平行、可能異面、可能相交，所以C錯；對于D，若，，，則可能平行、可能異面、可能相交，所以D錯.故選：A.6.如圖，曲柄連桿機構中，曲柄繞C點旋轉時，通過連桿的傳遞，活塞做直線往復運動.當曲柄在位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點在處.設連桿長，曲柄CB長，則曲柄自按順時針方向旋轉53.2°時，活塞移動的距離（即連桿的端點移動的距離）約為（）（結果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理解三角形即可..【詳解】在中，，，，因為，所以.由余弦定理得：所以或（舍去）.因為，所以.故選：B7.設點是所在平面內一點：①若，則點是邊的中點；②若，則點在邊的延長線上；③若，且，則是面積的一半；④若，則直線一定過的內心．則上述說法正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中線的性質即可判斷①，根據(jù)向量的運算得到，即可判斷②，根據(jù)三點共線的性質即可判斷③，根據(jù)垂心的性質及數(shù)量積公式即可判斷④.【詳解】，即，即，即點是邊的中點，故①正確；，即，即，即點在邊的延長線上，故②錯誤；，且，故，且，設，則，且，故三點共線，且，即是面積的一半，故③正確.設的中點為，，即，故過的垂心，故④錯誤；故選：C8.已知互不相同的20個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設剩下的18個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若，則下列選項錯誤的是（）A.B.剩下的18個樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變C.D.剩下18個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)【答案】D【解析】【分析】設20個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、第22百分位數(shù)與方差的定義與公式推導即可.【詳解】設20個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的18個樣本數(shù)據(jù)為，對于A，依題意，，，，由，得，即，于是，因此，即，A正確；對于B，原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的18個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，B正確；對于C，因為，則，，，于是，，因此，即，C正確；對于D，因為，則剩下18個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，又，則原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.（多選）新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液，再根據(jù)消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調制而成的飲料．如圖為2022年我國消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖．根據(jù)所給統(tǒng)計圖，下列結論中正確的是（）A.每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%B.每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%C.月均消費新式茶飲50～200元消費者占比超過50%D.月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖一一分析選項即可.【詳解】每周都消費新式茶飲的消費者占比,A錯誤；每天都消費新式茶飲的消費者占比，B正確；月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比，C正確；月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比,D錯誤．故選：BC10.甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同以外其余完全相同的號簽．其中，甲袋中有編號為1，2，3的三個號簽；乙袋有編號為1，2，3，4，5，6的六個號簽．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響．記事件：從甲袋中抽取號簽1；事件：從乙袋中抽取號簽6；事件：抽取的兩個號簽和為3；事件：抽取的兩個號簽編號不同．則下列選項中，正確的是（）A. B.事件與互斥C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件相互獨立【答案】AD【解析】【分析】利用相互獨立事件的定義，互斥事件的定義及概率乘法公式判斷B，C，D選項，根據(jù)古典概型判斷A選項.【詳解】基本事件共有18種，事件C包括2種情況,，A正確；事件：抽取的兩個號簽編號不同，則事件包括故事件與不互斥，B錯誤；且，，對于C，由，得相互不獨立，C錯誤；對于D，由，得相互獨立，D正確；故選：AD11.如圖，正方形棱長為1，是線段上的一個動點（含端點），則下列結論正確的是（）A.的最小值為B.當在線段上運動時，三棱錐的體積不變C.的最小值為D.以點為球心，為半徑的球面與面的交線長為【答案】ABD【解析】【分析】當時，最小，結合正三角形性質，求得到直線的距離，判斷A；根據(jù)當P在直線上運動時，三棱錐的底面積以及高的變化情況，可確定體積不變沒判斷B；將翻折到與同一個面，從而求得的最小值可判斷C；根據(jù)題意確定以點B為球心，為半徑的球面與面的交線即為的內切圓，即可求得交線長，判斷D.【詳解】對于A，當時，最小，由于到直線的距離，故A正確；對于B，，平面，平面，平面到平面的距離為定值，為定值，則為定值，故B正確；對于C，將翻折到與同一個面，當點為與的交點時，取得最小值，易知，，，所以由余弦定理得，故C錯誤；對于D，易知平面，設與平面交于點，，設以為球心，為半徑的球與面交線上任一點為，，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長為，其內切圓半徑為，故此圓恰好為的內切圓，完全落在面內，交線長為，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：本題C選項的解決關鍵是將將翻折到與同一個面，從而將的最小值轉化為的值，由此得解.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.如圖，已知直三棱柱底面的直觀圖是一個等腰直角三角形，斜邊長，若該直三棱柱的側棱長為4，則該直三棱柱的體積為______．【答案】【解析】【分析】由題設及斜二測法知在原圖中對應長度分別為，根據(jù)直棱柱的體積公式計算即可.【詳解】由題意可知，，由斜二測畫法可知，原直三棱柱中，對應邊長為，對應邊長為，且底面為直角三角形，所有直三棱柱體積為：.故答案為：.13.已知向量，且，則在上的投影向量的坐標為______．【答案】【解析】【分析】求出，設，利用可得的坐標，再由投影向量的定義可得答案.【詳解】因為，所以，，解得，，設，所以，解得，可得，所以在上的投影向量的坐標為.故答案為：.14.2023年亞運會在中國杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預定，亞奧理事會規(guī)定：開幕式門票分為兩檔，當預定A檔未成功時，系統(tǒng)自動進入檔預定，已知獲得A檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得檔門票；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲想要一張開幕式門票（A、檔皆可），他預定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預定了兩張賽事門票．則甲獲得的門票數(shù)比乙多的概率為______．【答案】##0.275【解析】【分析】先得到獲得開幕式門票和賽事門票的的概率，計算出甲獲得開幕式門票和賽事門票共2張門票，且乙獲得0張門票或1張門票的概率和甲獲得1張門票，且乙獲得0張門票的概率，相加得到答案.【詳解】獲得開幕式門票的概率為，獲得賽事門票的概率為，甲獲得開幕式門票和賽事門票共2張門票，且乙獲得0張門票或1張門票的概率為，甲獲得1張門票，且乙獲得0張門票的概率為，故甲獲得的門票數(shù)比乙多的概率為.故答案為：四、解答題（本題共5題，共77分）15.已知復數(shù)，，，為虛數(shù)單位．（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念列出方程組求解.（2）由得出為實數(shù)即可求解.【小問1詳解】，，所以，因為是純虛數(shù)，所以，得.【小問2詳解】由（1）知，，因為，所以，得，所以，所以.16.在直角梯形中，已知，，，點是邊上的中點，點是邊上一個動點（含端點）.（1）若，求，的夾角的余弦值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夾角公式可得答案；法二：以為原點，、所在的直線為分別為軸建立平面直角坐標系，求出、的坐標，再由向量的夾角公式的坐標運算可得答案；（2）由（1）中的法二，設，，求出、的坐標，再由向量數(shù)量積的坐標運算及二次函數(shù)配方法求最值可得答案.【小問1詳解】法一：由圖知：，，，，因為，所以是的中點，，所以，所以，所以；法二：以為原點，、所在的直線為分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，則，，所以；【小問2詳解】由（1）中的法二，設，，，，所以，因為，所以.17.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，從生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差（質量差＝生產(chǎn)的產(chǎn)品質量－標準質量，單位）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）求樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；（精確到0.01）（2）公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質量差進行分揀，若質量差在范圍內的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品．其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差，計算可得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．①若產(chǎn)品的質量差為，試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品；②假如公司包裝時要求，3件一等品和2件二等品裝在同一個箱子中，質檢員每次從箱子中摸出2件產(chǎn)品進行檢驗，求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率．【答案】（1）（2）①一等品；②【解析】【分析】（1）利用頻率直方圖的中位數(shù)計算方法即可求解；（2）①利用頻率直方圖先計算出樣本均值，即可做出判斷；②利用古典概型計算方法，先列舉出總的基本事件，再選出事件所包含的基本事件，即可求出事件發(fā)生的概率.【小問1詳解】由于前2組的頻率和為0.3，前3組的頻率和為0.75，所以可知70%分位數(shù)一定位于第三組內，設70%分位數(shù)為x，則，解得【小問2詳解】①根據(jù)頻率直方圖計算樣本平均數(shù)：因為樣本標準差，，所以，又，則可知該產(chǎn)品屬于一等品．②記三件一等品為，兩件二等品為，摸出兩件產(chǎn)品總基本事件共10個，分別：，，，，，，，，，，設摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個一等品記為事件，則包含的基本事件共9個，分別是：，，，，，，，，，所以.則摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個一等品概率為.18.如圖，四邊形為矩形，四邊形為梯形，平面平面，，，.（1）若為的中點，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的大?。唬?）設平面平面，試判斷與平面能否垂直？并證明你的結論．【答案】（1）證明見解析（2）（3）垂直，證明見解析【解析】【分析】（1）先證明，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）補形成長方體，找出線面角，求解即可；（3）根據(jù)題意可得，利用平行的傳遞性，可證明平面.【小問1詳解】如圖所示，連結，交于，連接，∵為矩形，∴為的中點，在中，，分別為，的中點，∴，因為面，面，所以平面.【小問2詳解】根據(jù)題意，可以補形成長寬高分別為的長方體，作．平面即是平面，由長方體性質，知道側面，側面，則，且，，平面，則平面則與平面所成角為，且，．中用等面積法得到，，求得，則．則直線與平面所成角的正弦值的大小.【小問3詳解】與平面垂直．證明如下：∵四邊形為矩形，∴，∵平面平面，又平面，平面平面，∴平面，∴，，∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面∴平面∵平面，平面平面，∴∴，，平面，所以平面19.請從：①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．（如未作出選擇，則按照選擇①評分）在中，，，分別是角，，的對邊，若________，（1）求角的大?。唬?）若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；（3）若為銳角三角形，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）若選①，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導公式計算可得；若選②，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；若選③，利用正弦定理將邊化角，再由輔助角公式計算可得；（2）