第十一講正反比例的概念與應(yīng)用

本講我們來學(xué)習(xí)兩種特殊的數(shù)量關(guān)系：正比例關(guān)系和反比例關(guān)系.

看到題目你一定很好奇什么才是正比例關(guān)系？什么才是反比例關(guān)系呢？我們先來看一

個具體的例子.

某汽車行駛的時間和珞程如下表:

時間/h123456

路程/km80160240320400480

同學(xué)們可以考慮這樣幾個問題：表中有哪兩個量？它們是不是有關(guān)聯(lián)的？寫出幾組這兩

種量的比，并比較比值的大小.說一說這個比值表示什么？

從表中我們可以看山，路程和時間都是變化的量，并且時間越大，路程也越大，它們的

比值是一定的.

像這樣，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨之變化，如果兩種量相對應(yīng)的兩

個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比例

關(guān)系，或者簡寫為成正比.

我們再來看另外一個例子：

王老師買來一些巧克力，準(zhǔn)備分給同學(xué)們.

學(xué)生數(shù)/人20304060120

每人分得的巧克力數(shù)/塊64321

從表中我們可以看出，學(xué)生數(shù)和每個人分得的巧克力數(shù)都是變化的量，并且學(xué)生數(shù)越多，

每人分得的巧克力數(shù)就越少，它們的乘積是一定的.

像這樣，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨之變化，如果兩種量相對應(yīng)的兩個

數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做成反比例關(guān)系，或者簡寫

為成反比.

在實際應(yīng)用過程中，我們常常用到這樣一些結(jié)論.如果兩個量成正比，例如：

總價=單價X數(shù)量，當(dāng)單價一定的時候，總價比等干數(shù)量比，即總價］:總價2=數(shù)曷,：數(shù)量2?如

果兩個量成反比，例如：路程=速度x時間，當(dāng)路程?定的時候，速度比等于時間比反過來，

即vl:v2=t2:ti.

例題I.

（1）阿呆和阿瓜，一起去超市買可樂，可樂的價錢相同.阿呆買了12瓶，阿瓜買了15瓶，

問阿呆和阿瓜所花的錢數(shù)比為.

（2）灰太狼和紅太狼從狼堡去羊村，紅太郎用了18分鐘，灰太狼只用了12分鐘，問紅太

狼和灰太郎的速度比為.

（3）小高、黑莫和卡莉婭三人一起去爬靈山，從ill腳出發(fā)，約好在ill頂見面.小高從山腳

爬到山頂用了40分鐘，墨莫和卡莉婭分別用了I小時20分鐘和120分鐘，問小高、墨莫和

卡莉婭的速度比為.

分析：題目中的各個量之訶是成正比例還是反比例關(guān)系？

練習(xí)1.

（1）喜羊羊和沸羊羊進行百米賽跑，喜羊羊跑完全程用了10.5秒，沸羊羊用了12秒，問

喜羊羊和沸羊羊的速度比為.

（2）甲、乙、丙三人各自獨立做同一件工程，效率比為2:3:4,那么完成的時間比為

齒輪在機械裝置中是很常見的一種零件，如圖是鐘表中的一些齒輪圖.如果兩個齒輪A、

B相互咬合，那么齒輪A的齒數(shù)乘以齒輪4轉(zhuǎn)過的圈數(shù)等于齒輪B的齒數(shù)乘以齒輪B轉(zhuǎn)過

的圈數(shù).即兩個相互咬合的齒輪它們的齒數(shù)比與圈數(shù)比成反比.

鐘表中的齒輪1鐘表中的齒輪2

例題4.

小高從家去高思學(xué)校，可以騎車也可以步行，騎車比步行每分鐘快150米，騎車所用的時間

比步行時間少？，那么小高每分鐘步行多少米？

5

分析：當(dāng)行駛路程固定的時候，如何把速度的變化與時間的變化聯(lián)系起來呢？

練習(xí)4.

2

完成一件工程，甲的工作效率比乙的工作效率高］,單獨做，甲比乙少用4天完成整件工程,

問乙單獨完成這件工程用多少天？

例題5.

瞿莫最近在看文學(xué)名著《戰(zhàn)爭與和平》，計劃20天看完.實際上，在看了500頁之后，由于

情節(jié)精彩，每天比原來多看了工，結(jié)果提前3天看完全書.問這本書共有多少頁？

4

分析：書的頁數(shù)是固定的，那么每天看的頁數(shù)和看書的天數(shù)之間有什么關(guān)系？

例題6.

某工程，可由若干臺機器在規(guī)定的時間內(nèi)完成.如果增加2臺機器，則只需用規(guī)定時間的工

8

就可做完；如果減少2臺機器，那么就要推遲1小時做完.則由一臺機器去完成這工程需要

多長時間？

分析：工作總后是固定的，那么如何把工作效率的變化與工作時間的變化聯(lián)系起來呢？

諺語的智慧

——節(jié)選自《怎樣解題》喬治?波利亞

解題是人類的一項基本活動.有些人在達(dá)到目標(biāo)和解答題目方面比較成功，另一些則沒

有那么成功.這些差異被注意到了，并進行了探討和評論，某些諺語看來保留了這種評論的

精華.

1.我們解題時必須做的第一件事是理解題目：知敵方能應(yīng)敵.我們必須清楚地看到我

們所要達(dá)到的目的：想清目標(biāo)再動手.這是老生常談了，不幸的是，并非每個人都聽從這樣

?條好的建議，人們常常在還沒有真正理解他們所應(yīng)該努力的目標(biāo)之前，就開始推測、談?wù)摚?/p>

甚至魯莽行事.愚者只看腳下，智者緊盯目標(biāo).

然而光理解題目是不夠的，我們還必須渴望求出它的解答.如果沒有強烈的解題愿望，

我們就不可能解出一道難題，只有具備這樣的愿望，才有可能解出它.有志者事竟成.

2.設(shè)計一個方案，構(gòu)思一條適當(dāng)行動的思路，是解題中的主要成就.

一個好的思路是一個好運、一個靈感、一份神賜的禮物，我們必須受之無愧：勤勉是幸

運之母.堅持就是勝利.一口吃不成胖子.出師不利，再三嘗試.然而反復(fù)嘗試是不夠的，

我們必須試著用不同的方法，變化我們的嘗試.千方百計.條條大路通羅馬.

3.我們應(yīng)該在適當(dāng)?shù)臅r候，即在我們的方案成熟的時候，才開始執(zhí)行它，而不要提

前.我們不能輕率行事.三思而后行.試驗在先，相信在后.巧施援手，確保安全.另一方

面，我們也不應(yīng)猶豫太久.不入虎穴，焉得虎子.做最可能的事，抱最大的希望.全力以赴，

天助人愿.

4.回顧已經(jīng)完成的解答是工作中的一個重要且有啟發(fā)性的階段.不愛再思索的人，必

定不善思索.多思出上策.

重新檢驗解答后，我們可能會對結(jié)果更加堅信.但必須向初學(xué)者指出，這種額外的驗證

是有價值的，兩個證明要比一個好.拋兩個錨停泊更安全.

不要相信一切，只懷疑值得懷疑的.

當(dāng)你找到第一個蘑菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后?再四處看看：它們總是成群牛長.

諺語，體現(xiàn)了人們的智慧與高尚.

作業(yè)1.小灰灰和喜羊羊同時從羊村出發(fā)去狼村，小灰灰的速度為16米/秒，喜羊羊的速度

為12米/秒，問小灰灰和喜羊羊所用的時間比是多少？

作業(yè)2.小小、紅紅、豆豆三人各自獨立做同一件工作，分別用時10分鐘、20分鐘、30

分鐘，那么他們的效率比是多少？

作業(yè)3.有4、B、。三個齒輪，其中A和4相互咬合，4和C相互咬合.如果A齒輪轉(zhuǎn)動

3圈，B齒輪恰好轉(zhuǎn)動5圈；8齒輪轉(zhuǎn)動6圈，C齒輪恰好轉(zhuǎn)動4圈.請問：這三個齒

輪的齒數(shù)之比是多少？

作業(yè)4.一天，小高拿著爸爸給他的錢去超市買可樂，平時每瓶可樂3.5元錢，當(dāng)他到超市

的時候，正巧碰到優(yōu)惠活動，可樂變?yōu)槊科?元錢，于是小高多買了1瓶可樂.那么爸

爸給了小高多少錢？

作業(yè)5.小東每天步行上下學(xué)，去的時候每秒走2米，回來的時候每秒走1.2米，上下學(xué)共

用時24分鐘，那么小東家到學(xué)校的距離是多少米？

第十一講正反比例的概念與應(yīng)用

例題1.答案:<1)4:5.(2)2:3.(3)6:3:2.

詳解：小高、墨莫和卡莉婭三人所用時間比為40:80:120=1:2:3,所行路程相同，可設(shè)為“6”份,

由此可得速度比為6:3:2.

例題2.答案：50:70:49

詳解：相互咬合的齒輪.它們的齒數(shù)與圈數(shù)成反比.4、8兩個齒輪它們的圈數(shù)比為7:5.齒數(shù)比為5:7.

兩個齒輪它們的圈數(shù)比為7:10,齒數(shù)比為10:7,由此可得A、/LC三個齒輪的齒數(shù)比為50:70:49.

例題3.答案：60元

詳解：卡莉婭所帶的錢數(shù)一定，因此所購買蘋果的單價與斤數(shù)成反比.打折前后的單價比為5:4,則

斤數(shù)比為4:5,“I”份對應(yīng)的是3斤，打折前可購買12斤，打折后可購買15斤，媽媽給了卡莉婭60

元錢.

例題4.答案：100米

詳解：設(shè)步行的時間為“5”份，騎車所用的時間比步行時間少之，則騎車所用的時間為“2”份.騎

5

車與步行的時間比為2:5,則速度比為5:2.乂知騎車比步行每分鐘快150米，則“1”份為

150+(5-2)=50米/分，步行速度為l(X)米/分.

例題5.答案：2000頁

詳解：如下圖，先比較看了500頁之后的情況.實際效率比計劃提高!，設(shè)計劃效率為“4”份，則

4

實際效率為“5”份.效率比為4:5,時間比為5:4,3天對應(yīng)“I”份，計劃用時15天.這15天是看

完、00頁后的計劃時間，而全fW劃看2U天，因此看3UU頁U劃用3天，每天看100頁，全書共2OUU

頁.

開始看書看完全書

500頁.

計劃!------------------：----------------------------------

j」；

實際,!'效率提高!，提前3天

4

例題6.答案：84

詳解：首先可以明確每臺機器的效率一樣，機器越多則效率越高.從第一個條件可知，完成相同的工

作量，增加機器前后的時間比為8:7,則效率比為7:8.機器的臺數(shù)與效率成正比，因此臺數(shù)比也為7:8,

2臺機器對應(yīng)一份，實際上有14臺機器.如果減少2臺的話，還剩下12臺機器.臺數(shù)比為14:12,即

7:6,那么效率比也為7:6,時間比為6:7,1小時對應(yīng)“1”份，減少前用時6小時，即完成這件工程

14臺機器需工作6小時，則1臺機器需工作84小時.

練習(xí)I答案：(1)8:7；(2)6:4:3

簡答：⑴喜羊羊和沸羊羊用的時間比是10.5:12=7:8,那么速度比是8:7；

(2)設(shè)這件工程的工作量為12份，那么三人完成工程所用的時間比為上:丑:丑=6:4:3.

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練習(xí)2.答案：30

簡答：三個齒輪的齒數(shù)之比為3:45設(shè)轉(zhuǎn)過的長度為“60”，由此可得圈數(shù)比為20:15:12.4、C兩個

齒輪一共轉(zhuǎn)動64圈，由比可求出“1”份對應(yīng)2圈，B齒輪一共轉(zhuǎn)動了30圈.

練習(xí)3.答案：2240

簡答：總租車費不變，每人應(yīng)付車費和人數(shù)成反比.前后應(yīng)付車費之比是4