第17講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值鏈教材夯基固本激活思維1.(多選)下列四個函數(shù)在x＝0處取得極值的是()A.y＝x3 B.y＝x2＋1C.y＝|x| D.y＝2x2.(人A選必二P94練習T1(3)改)已知函數(shù)f(x)＝6＋12x－x3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))，則f(x)的最大值為______________，最小值為____________．3.(人A選必二P92練習T1)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極大值點是______________，極小值點是____________．(第3題)4.(人A選必二P104復習參考題T9)已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c的值為_____________．5.(人A選必二P104復習參考題T14)用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一邊的長比另一邊的長多0.5m，那么高為______________m時，容器的容積最大，最大容積為______________m3.聚焦知識1.極值(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)__f(x0)，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值＝f(x0)，x0為f(x)的______________；如果對x0附近的所有的點，都有f(x)__f(x0)，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值＝f(x0)，x0為f(x)的______________．極小值點與極大值點統(tǒng)稱為_____________，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．(2)當函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時，判斷f(x0)是極大(小)值的方法：如果x＜x0有f′(x)__0，x＞x0有f′(x)__0，那么f(x0)是極大值．如果x＜x0有f′(x)__0，x＞x0有f′(x)__0，那么f(x0)是極小值．2.最值在閉區(qū)間[a，b]上的_____________一定存在最大值和最小值，最大值是區(qū)間端點值和區(qū)間內(nèi)的極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點值和區(qū)間內(nèi)的極小值中的最小者．3.常用結(jié)論(1)在函數(shù)的定義區(qū)間[a，b]內(nèi)，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值只有一個(或者沒有)；(2)給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定既要考慮f′(x0)＝0，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法求函數(shù)的極值視角1極值點的判斷(識圖)例1-1(多選)若函數(shù)f(x)的定義域為(－4，3)，其導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則()(例1-1)A.f(x)有兩個極大值點B.f(x)有一個極小值點C.f(0)＞f(1)D.f(－2)＞f(－3)變式1-1(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則(BCD)(變式1-1)A.f(x)在(a，b)內(nèi)一定不存在最小值B.f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個極小值點C.函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有兩個極大值點D.函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可能沒有零點視角2求極值例1-2(2024·馬鞍山三模)已知函數(shù)f(x)＝3lnx＋a(x2＋25)－eq\f(5x,2)，直線l在y軸上的截距為3，且l與曲線y＝f(x)相切于點(1，f(1)).(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．變式1-2(2024·威海二模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1，求f(x)的極值．根據(jù)極值求參數(shù)例2(2025·八省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)－x.(1)設(shè)a＝1，b＝－2，求曲線y＝f(x)的斜率為2的切線方程；(2)若x＝1是f(x)的極小值點，求b的取值范圍.變式2(2024·連云港、如皋聯(lián)考節(jié)選)若函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(2,x＋a)(a＞0)有極值點，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．求函數(shù)的最值視角1不含參函數(shù)的最值例3-1(2025·大同期初)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－x(a，b∈R)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＋eq\f(7,6)＝0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若對于區(qū)間[－3，3]上任意兩個自變量的值x1，x2，有eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f(x1)－f(x2)))≤c，求實數(shù)c的最小值．變式3-1(2024·杭州二模)函數(shù)f(x)＝eq\f(－x2＋3x＋2,\r(x＋1))的最大值為_____________．視角2含參函數(shù)的最值例3-2(2024·呂梁二模)已知函數(shù)f(x)＝alnx－2x－eq\f(a2,x)(a≠0).(1)當a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求f(x)在區(qū)間(0，1]上的最大值．變式3-2(2024·南京二模節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－ax＋a,ex)，其中a＞0，若f(x)在區(qū)間[0，a]上的最小值為eq\f(1,e)，求實數(shù)a的值．隨堂內(nèi)化1.(2021·全國乙卷)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點，則(提示：直接畫f(x)的圖象)()A.a＜b B.a＞bC.ab＜a2 D.ab＞a22.(2024·張家口一模節(jié)選)函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,e2x)的極大值為_____________，極小值為______________．3.(2024·黃山一檢改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2)x2－4ax＋a2lnx在x＝1處取得極大值，則實數(shù)a＝______________.4.(2025·聊城期中)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x＋a)2，x≤－1，,ex－x＋a，x＞－1.))若f(－1)為f(x)的最小值，則實數(shù)a的取值范圍是____________．配套精練練習1一、單項選擇題1.設(shè)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則()(第1題)A.函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)在(0，4)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)在x＝3處取得極小值D.函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值2.(2022·全國甲卷)當x＝1時，函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，則f′(2)＝()A.－1 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.13.(2024·岳陽二模)函數(shù)f(x)＝6＋12x－x3的極小值點為()A.(4，－10) B.(－2，－10)C.4 D.－24.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－(1＋a)x＋alnx在x＝a處取得極大值，則實數(shù)a的取值范圍為()A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0，1) D.(0，1]二、多項選擇題5.(2023·新高考Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)＋eq\f(c,x2)(a≠0)既有極大值也有極小值，則()A.bc＞0 B.ab＞0C.b2＋8ac＞0 D.ac＜06.(2025·常州期中)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)2(x－b)(a＜b)，2為f(x)的極大值點，則下列結(jié)論正確的有()A.a＝2B.若4為函數(shù)f(x)的極小值點，則b＝4C.若f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,3)，b))內(nèi)有最小值，則b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，＋∞))D.若f(x)＋4＝0有三個互不相等的實數(shù)解，則b的取值范圍是(5，＋∞)三、填空題7.(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋1在x＝－4處取得極大值，則a的值為_____________．8.(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為____________．9.若函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．(提示：a3－3a＋2＝(a＋2)(a－1)2)四、解答題10.(2024·汕頭一模)已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(1,x)－(a＋1)lnx(a∈R).(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；(2)若f(x)既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍．11.(2024·蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex－1,x)＋alnx(a∈R).(1)當a＝0時，證明：f(x)＞1；(2)若f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上有且只有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.12.(2024·茂名二模)已知函數(shù)f(x)＝exsinx－ax.(1)若曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為x＋y＝0，求實數(shù)a的值；(2)若a＝eq\f(3,2)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值.練習2A組夯基精練一、單項選擇題1.(2024·承德二模)設(shè)a為實數(shù)，若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋3在x＝1處取得極小值，則a＝()A.1 B.eq\f(1,2)C.0 D.－12.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)3.(2024·蘇中蘇北七市二調(diào))若函數(shù)f(x)＝eax＋2x有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(－2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C.(－∞，－2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))4.(2022·全國乙卷文)函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0，2π]上的最小值、最大值分別為()A.－eq\f(π,2)，eq\f(π,2) B.－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)C.－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＋2 D.－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)＋2二、多項選擇題5.(2024·新高考Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3ax2＋1，則()A.當a＞1時，f(x)有三個零點B.當a＜0時，x＝0是f(x)的極大值點C.存在a，b，使得x＝b為曲線y＝f(x)的對稱軸D.存在a，使得點(1，f(1))為曲線y＝f(x)的對稱中心6.(2024·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2(x－4)，則()A.x＝3是f(x)的極小值點B.當0＜x＜1時，f(x)＜f(x2)C.當1＜x＜2時，－4＜f(2x－1)＜0D.當－1＜x＜0時，f(2－x)＞f(x)三、填空題7.(2024·武漢期初)若函數(shù)f(x)＝(2x＋1)lnx－ax是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則實數(shù)a的最大值為______________．8.(2024·邢臺二模)如圖，四邊形ABCD和EFGH是兩個相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿MN，NP，PQ，QM折起，得到一個無蓋長方體，則該長方體體積的最大值為____________．(第8題)9.(2024·蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，4logab＋logba＝4，則eq\f(2,b)＋lneq\f(a,b)的最小值為_____________．四、解答題1