第二章流體靜力學(xué)

2-1如果地面上空氣壓力為0.101325MPa,求距地面100m和1000m高空處的壓力。

答：取空氣密度為，并注意到。

(1)100米高空處：

p=p()-pgh=1.01325x10、(P〃)一1.226僅g/9.81(/??/52)x100(〃7)

=101325(&)-1203(&)=1.0()122xIO5(Pa)

(2)1000米高空處：

p=Po-P^h=1.01325x105{Pci)-1.226(^//n3)x9.81(〃"/卜1()00(〃2)

=101325(Ptz)-12027(Pa)=0.89298x105(Pa)

2-2如果海面壓力為一個(gè)工程大氣壓，求潛艇下潛深度為50m、500m和5000m時(shí)所承

受海水的壓力分別為多少？

答：取海水密度為，并注意到所求壓力為相對(duì)壓力。

(1)當(dāng)水深為50米時(shí)：

p=pgh=1.025xlO3(kg/m3)x9.8l(w/?)x50(m)=5.028xl05(Pa)o

(2)當(dāng)水深為500米時(shí)：

〃=eg/r=1.025乂103(依/蘇卜9.81(血$2卜500M=5028x106(.).

(3)當(dāng)水深為5000米時(shí)：

〃=可力=1.025XIO,(2g/〃打x9.81(〃//)x5000(相)=5.028X(&)。

2?3試決定圖示裝置中A,B兩點(diǎn)間的壓力差。己知：，，，，；酒精重度，水銀

重度，水的重度。

答：設(shè)A,B兩點(diǎn)的壓力分別為和，1,2,3,4各個(gè)點(diǎn)處的壓力分別為，，和。根據(jù)

各個(gè)等壓面的關(guān)系有：

PLPB+M%-%）；

整理得到：

PA~PR=一％〃3+%（〃2+%）+九仇一4一九）

=-7848x0.15+133400x（0.25+0.2）+9810x（0.4-0.25-0.5）

=55419.3（Pt7）

2?4有閘門如圖所示，其圓心角，轉(zhuǎn)軸位于水面上。已知閘門寬度為B,半徑為R,試求閘

門受到的合力及合力與自由面的夾角。

答：（1）求水平分力

由于，則：。因此：O

（2）求垂向分力￡=/W

其中：，

因此因=y.V=y.一——A%=（0.523—0.217）加*=0.3064總。

I68）

（3）求合力P

合力大?。?；

合力方向：，。

2?5設(shè)水深為，試對(duì)下述幾種剖面形狀的柱形水壩，分別計(jì)算水對(duì)單位長(zhǎng)度水壩的作用力。

（1）拋物線：，（為常數(shù)）；

（2）正弦曲線：，（，，為常數(shù)）。

答：（1）,為常數(shù)。

水平分力：；

其中，；因此。

垂直分力：；

其中，而，并注意到，于是得到：

因此，。

(2)（,,為常數(shù)）。

水平分力：。

垂直分力：；

其中，而，并注意到，于是得到:

h

V=xh'h一『asinbxdx=/?/?+?cosZ?^=xhh+j-cosbxh-*

=%csinXc*1.h\a

-—arcsin—~b

bab<ba.

h.h1

=—arcsin—+—

bab~b

因此,O

2-6試求圖示單位長(zhǎng)度水渠壁面所受的靜水作用力。已知水的重度（Mm3）水渠左

壁為的直線，右壁為的拋物線。

答：（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式計(jì)算

作用力大?。?；

作用力方向：垂直作用于平板OA,并指向0A。

作用點(diǎn)：

，其中，，。

因此，；。

②采用柱面公式計(jì)算

水平分力：；

垂直分力：；

合力：。

（2）水渠右壁面受力

水平分力：；

垂直分力：；

而，；

2

因此R=/-V=9810x1=6540（/V）o

合力：。

2-7一圓筒形容器的半徑R,所盛水的高度H。若該容器以等角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng),

設(shè)r=0,z=h點(diǎn)的壓力為pO,試求容器內(nèi)水的壓力分布及自由表面方程（設(shè)容器足夠高，旋轉(zhuǎn)

時(shí)水不會(huì)流出）。

答：（1）作用于筒內(nèi)流體的質(zhì)量力包括兩項(xiàng):

第一頂：與坐標(biāo)方向相反的重力，重力加速度為；

第二項(xiàng)：沿坐標(biāo)方向的離心力，離心加速度為。

因此單位質(zhì)量力為:

,其中：、分別為、方向的單位向量。

（2）對(duì)于靜止流體微分方程：，其中壓力梯度：；

將質(zhì)量力和壓力梯度代入，則得到:

,一一op一ep一

pco~r02-e=---eH----e

rzdrrrdz4

比較方程兩端，則得到：

（3）壓力的全微分：，將和代入其中，有：

dp=pct）2rdr-pgdz:

將上式兩端同時(shí)積分、得到:

,其中為常數(shù)。

將條件、時(shí)代入上式，則得到：

C=〃。+加。

即流體內(nèi)部的壓力分布為：

1）=!詞/—P^z-Po+P8h=Po+P8（h_z）+；pa）2,；

又由于在自由表面上：，代入到上述壓力分布式中，則得到：

—pco2r2+p^（h-z）=0；

2

該式便是筒內(nèi)流體的自由面方程。

2-8底面積aXa=200X200mm2的正方形容器的質(zhì)量為ml=4kg,水的高度為h=150mm,容

器的質(zhì)量為m2=25kg的重物作用下沿平板滑動(dòng)，設(shè)容器底面與平板間的摩擦系數(shù)為0.13,

試求不使水溢出的最小高度H。

答：（1）求水平加速度：

建立如圖所示坐標(biāo)系、且設(shè)傾斜后不使水溢出的最小高度為。

設(shè)容器內(nèi)水的質(zhì)量為,容器和水的總質(zhì)量為.則：

(kg)

"2=町+川=4+6=10（kg）o

由牛頓第二定律：

其中為摩擦系數(shù)，則水平加速度為：

ax=---（嗎一刖）g=-（25-0.13x1（））g=0.667g

m+"435

（2）求作用于流體上的單位質(zhì)量力：

單位質(zhì)量力為：。代入到靜止流體平衡微分方程中，有:

一0/一/」伴;+誓）；

pyoxdz>

比較方程兩端，可以得到：

（3）求自由表面方程

壓力的全微分為：。

在自由液面上，，。代入到上式中得到：。對(duì)其進(jìn)行積分，得到自由表面方程:

axx+gz=C

其中C為常數(shù)。

***（確定常數(shù)和高度）：

由于自由表面方程通過(guò)兩點(diǎn)：、，代入到自由面方程中，則有：

0ax+gH=C（1）

a-ax+gh}=C（2）

將（1）代入到（2）中，得到：

aax+gh]=gH⑶

又由于傾斜前后，水體積（質(zhì)量）保持不變，則有：

22

ah=^a（H+h}）

整理得到：（4）

將（4）代入（3）中，得到：

整理得到:

(m),

即不使水溢出的最小高度為0.218m0

2-9一物體位于互不相容的兩種液體的交界處。若兩液體的重度分別為，(>),物

體浸入液體中的體積為VI,浸入液體中的體積為V2,求物體的浮力。

答：設(shè)微元面積上的壓力為，其單位外法向量為，則作用于上的流體靜力為。

沿物體表面積分，得到作用于整個(gè)物體表面的流體靜力為。

設(shè)部分的表面積為，設(shè)部分的表面積為，兩種液體交界面處物體的截面積為，交界

面處的壓力為。

并建立下述坐標(biāo)系，即取交界面為平面，軸垂直向上為正，液體深度向下為正，顯然。

因此戶=一gpndS=-口pndS-JJpndS。

s$s>

在上，在上；代入到上式中得到：

p=-]J(PO_/1Z)元ds-JJ(Po-y2z)ndS

5,§2

=-JfP.dS+JJ伉z)萬(wàn)dS-JJp^ndS+

S]S[Sys]

/\/\/\

=-Jjp(/dS