過(guò)教材要點(diǎn)概覽1.直角三角形的性質(zhì)(1)有一個(gè)內(nèi)角為

,兩個(gè)銳角

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(2)兩條直角邊的平方和等于斜邊的

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2.直角三角形的判定(1)有一個(gè)角為

或者有兩個(gè)角

的三角形是直角三角形.2一定是直角三角形嗎直角互余平方直角互余(2)如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.如圖所示,在△ABC中,已知AB=a,BC=b,AC=c,且a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,則△ABC是直角三角形.3.勾股數(shù)滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)

,稱(chēng)為勾股數(shù).

正整數(shù)精講練新知探究解:(1)因?yàn)?2+152=289,172=289,所以a2+b2=c2.所以這個(gè)三角形是直角三角形.探究點(diǎn)一由三邊關(guān)系判定直角三角形例1判斷由線(xiàn)段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形.(1)a=8,b=15,c=17;(2)a=1.8,b=3,c=2.4;(2)因?yàn)?.82+2.42=9,32=9,所以a2+c2=b2.所以這個(gè)三角形是直角三角形.歸納總結(jié)判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形主要有兩個(gè)路徑:一是當(dāng)已知條件與角度有關(guān)系時(shí),判斷是否有直角.二是當(dāng)已知條件與邊長(zhǎng)有關(guān)系時(shí),利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷,其一般步驟如下:(1)確定最長(zhǎng)邊(通常設(shè)為c,另兩條邊長(zhǎng)分別為a,b).(2)計(jì)算c2與a2+b2的值,若c2=a2+b2,則該三角形是直角三角形;否則,不是.鞏固訓(xùn)練1.(2024成都期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a,b,c,下列條件中不能說(shuō)明△ABC是直角三角形的是()A.a=0.6,b=0.8,c=1B.∠C=∠A+∠BC.a∶b∶c=5∶12∶13D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D2.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D.如果AD=6,BD=9,CD=4,那么∠BAC是直角嗎?為什么?解:∠BAC是直角.理由如下:因?yàn)锳D⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.所以AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2.因?yàn)锳D=6,BD=9,CD=4,所以AB2=117,AC2=52.因?yàn)锽C=BD+CD=13,所以BC2=169.所以AB2+AC2=BC2.所以∠BAC是直角.3.如圖所示,若小方格的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)回答下列問(wèn)題.(1)求△ABC的面積;(2)判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:因?yàn)樾》礁竦倪呴L(zhǎng)為1,所以AC2=12+82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52.所以AB2+BC2=13+52=65,所以AB2+BC2=AC2.所以△ABC是直角三角形.①⑤歸納總結(jié)(1)如果a是一個(gè)大于1的奇數(shù),b,c是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù),且有a2=b+c,則a,b,c為一組勾股數(shù).如:4,5為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)且32=4+5,則3,4,5為一組勾股數(shù).還有5,12,13;7,24,25;11,60,61等.(2)如果a,b,c為一組勾股數(shù),那么na,nb,nc也是一組勾股數(shù),其中n為正整數(shù),例如:3,4,5為一組勾股數(shù),那么6,8,10是一組勾股數(shù),9,12,15也是一組勾股數(shù).歸納總結(jié)(3)若n是大于1的正整數(shù),則n2-1,2n,n2+1是勾股數(shù).(4)若n為正整數(shù),則2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1是勾股數(shù).(5)若m>n,m,n為正整數(shù),則m2-n2,2mn,m2+n2是勾股數(shù).鞏固訓(xùn)練4.以下幾組數(shù)為勾股數(shù)的一組是()A.1,2,3 B.2,3,4C.3,4,5 D.0.6,0.7,0.85.(2024萍鄉(xiāng)質(zhì)檢)若正整數(shù)a,b,c是一組勾股數(shù),則下列各組數(shù)一定是勾股數(shù)的為()A.3a,4b,5c B.a2,b2,c2C.3a,3b,3c D.a+3,b+3,c+3CC6.(2024恩施統(tǒng)考)觀(guān)察下列表格中數(shù)組的規(guī)律.根據(jù)上表的規(guī)律,寫(xiě)出第n組的三個(gè)數(shù)滿(mǎn)足的等式:

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.(2n+1)2=(2n2+2n)+組別數(shù)字等式13,4,532=4+525,12,1352=12+1337,24,2572=24+2549,40,4192=40+41………(2n2+2n+1)基礎(chǔ)鞏固練012一定是直角三角形嗎DD3.在下列均由16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格中,各有一個(gè)格點(diǎn)三角形,那么這4個(gè)格點(diǎn)三角形中不是直角三角形的是()A B C DC4.滿(mǎn)足下列條件的△ABC(a,b,c為三邊長(zhǎng))中,不是直角三角形的是()A.∠B=50°,∠C=40°B.a2=c2-b2C.a2=5,b2=12,c2=13D.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶35.如圖所示,以△ABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形,得到的正方形的面積依次為36,64,100,則∠1+∠2=

°.

C906.判斷滿(mǎn)足下列條件的三角形是不是直角三角形.若是,請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角.(1)在△ABC中,AC=12,AB=20,BC=16;解:(1)因?yàn)锳C2+BC2=122+162=144+256=400,AB2=202=400,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC為直角三角形,AB邊所對(duì)的∠C是直角.(2)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=6;(3)在△ABC中,AB∶BC∶AC=8∶15∶17.解:(2)因?yàn)锳C2+BC2=32+42=25,AB2=62=36,所以AC2+BC2≠AB2,所以△ABC不是直角三角形.(3)由題意設(shè)AB=8k,BC=15k,AC=17k(k>0).因?yàn)锳B2+BC2=64k2+225k2=289k2,AC2=(17k)2=289k2,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,∠B是直角.知識(shí)點(diǎn)二勾股數(shù)7.下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)的是()A.-6,-8,-10 B.0.3,0.4,0.5C.8,15,16 D.9,12,158.開(kāi)放性題將勾股數(shù)3,4,5擴(kuò)大到原來(lái)的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股數(shù)6,8,10;9,12,15;12,16,20,…,則我們把3,4,5這樣的勾股數(shù)稱(chēng)為基本勾股數(shù),請(qǐng)你寫(xiě)出兩組不同于以上所給出的基本勾股數(shù):

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D5,12,13;8,15,17(答案不唯一)能力提升練029.易錯(cuò)題已知a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),且滿(mǎn)足(a-b)(a2+b2-c2)=0,則△ABC是()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形D10.(長(zhǎng)沙中考)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載了這樣一道題目:“問(wèn)有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長(zhǎng)分別為5里、12里、13里,問(wèn)這塊沙田面積有多大?題中的“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位,1里=500米,則該沙田的面積為()A.7.5平方千米 B.15平方千米C.75平方千米 D.750平方千米A11.(2024鄭州月考)如圖所示,△ABC在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖中,頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,下列結(jié)論不正確的是()D素養(yǎng)培優(yōu)練0312.綜合與探究閱讀下列內(nèi)容:設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三條邊,且a是最長(zhǎng)邊,我們可以利用a,b,c三邊長(zhǎng)之間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀:①若a2=b2+c2,則該三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,則該三角形是鈍角三角形;③若a2<b2+c2,則該三角形是銳角三角形.根據(jù)上述內(nèi)容回答下面問(wèn)題:(1)若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是6,7,8,則該三角形是

三角形;

解:(1)銳角(2)若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是5,12,x,且這個(gè)三角形是直角三角形,則x2的值為

;

(3)若一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別是m2-n2,2mn,m2+n2,請(qǐng)判斷這個(gè)三角形的形狀,并寫(xiě)出理由.解:(2)169或119(3)這個(gè)三角形是直角三角形.