第04講因式分解（5知識點+8大考點+4拓展訓(xùn)練+復(fù)習(xí)提升）內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1：因式分解的概念定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.【補充說明】1）因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可.2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．知識點2：公因式定義：多項式的各項中都含有相同的因式，我們把這個相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式.知識點3：公因式法分解因式實質(zhì)：乘法分配律的逆用.關(guān)鍵：準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.知識點4：公因式法分解因式定義：運用平方差公式、完全平方公式將一個多項式分解因式的方法叫作公式法.知識點5：因式分解的一般步驟：考點一：判斷是否是因式分解例1．下列變形中是因式分解的是（

）【答案】B【分析】此題主要考查了因式分解的定義，理解定義“將一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫做因式分解．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是整式運算，故不符合題意；B、是因式分解，故符合題意；C、不能進(jìn)行因式分解，故不符合題意；D、不能進(jìn)行因式分解，故不符合題意；故選：B．【變式11】下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）【答案】C【分析】本題考查的知識點是判斷是否是因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的定義．根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做因式分解,逐一判斷即可．故選：．【變式12】下列各式從左到右是因式分解的是．【答案】③④⑥【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，判斷求解．故答案為：③④⑥．【點睛】此題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．【答案】③考點二：公因式【答案】A【分析】本題主要考查公因式的確定，在找公因式時，一找系數(shù)的最大公約數(shù)，二找相同字母的最低次冪，據(jù)此即可求解．故選：A．【答案】B【分析】本題考查了因式分解——提公因式法，根據(jù)公因式的確定方法解答即可，熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵．∴應(yīng)提取的公因式是，故選：．【答案】/【分析】本題考查了尋找多項式中的各項的公因式.先找出公因式的系數(shù)，即各項系數(shù)的最大公約數(shù)，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次冪.【詳解】解：由題意可知：各項系數(shù)的最大公約數(shù)為2，相同的字母為和x，和x的最小指數(shù)都為1，故答案為：.【分析】本題考查了公因式．熟練掌握公因式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的定義作答即可．考點三：提公因式分解因式A．5 B．12 C． D．【答案】C故選：C．A．a(chǎn) B． C． D．【答案】B，故選：B．【分析】提取公因式進(jìn)行因式分解即可．本題主要考查了因式分解—提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．【變式33】分解因式：【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）利用提公因式法分解因式即可．考點四：平方差公式分解因式例4．下列能用平方差公式因式分解的是（

）【答案】D【分析】此題主要考查了平方差公式，關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式分解因式的多項式的特點．根據(jù)能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是與1的和，不能用平方差公式進(jìn)行分解，故此選項錯誤；B、共有三項，不能用平方差公式進(jìn)行分解，故此選項錯誤；C、兩項的符號不相反，不能用平方差公式進(jìn)行分解，故此選項錯誤；D、符合平方差公式特點，能用平方差公式進(jìn)行分解，故此選項正確；故選：D．【分析】本題主要考查分解因式，平方差公式；根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【分析】本題主要考查利用平方差公式分解因式．先計算多項式乘以多項式，之后合并同類項，利用平方差公式分解因式即可求出答案．【答案】見解析考點五：完全平方公式分解因式例5．下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（）【答案】D【分析】本題主要考查用完全平方公式進(jìn)行因式分解，熟練運用完全平方公式．是解題的關(guān)鍵故選：D．A． B． C．2 D．1【答案】A故選：A．【分析】本題考查利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答．∴P的最小值是2009，故答案為：2009．考點六：綜合運用公式法分解因式A．36 B．25 C．5 D．無法確定【答案】B故選：B．【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．綜合利用公式法分解因式即可．【變式63】因式分解【分析】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．（1）用提出公因式分解因式即可；（2）用提出公因式分解因式即可；（3）先提公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解，即可求解；（4）先根據(jù)平方差公式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行分解，即可求解．考點七：十字相乘法A． B．40 C． D．15【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】A的取值不可能是6故選：A．【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵；先對代數(shù)式進(jìn)行化簡，然后再根據(jù)十字相乘法可進(jìn)行因式分解考點八：分組分解法【答案】C【分析】本題考查多項式的因式分解及因式的概念，解題的關(guān)鍵是判斷每個選項能否整除給定的多項式．故選：C．【分析】本題考查了用分組分解和十字相乘法因式分解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握十字相乘法．先將因式分組分解，再通過十字相乘法，即可得出結(jié)果．【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵．（1）先把第一項和第二項提公因式，把第三項和第四項提公因式，然后再運用一次提公因式進(jìn)行因式分解，即可作答．拓展訓(xùn)練一：利用換元法因式分解1．閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，面且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的（

）；A．提取公因式法

B．完全平方公式法

C．平方差公式法(2)老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你直接寫出該因式分解的最后結(jié)果；【答案】(1)B（1）根據(jù)完全平方公式得出即可；（2）根據(jù)完全平方公式得出即可；（3）先換元，再分解因式，再代入，最后求出即可．【詳解】（1）解：依題意，第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，故選：B；2．閱讀與思考：（1）小影同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的______填寫選項．A.提取公因式B.平方差公式C.兩數(shù)和的平方公式D.兩數(shù)差的平方公式（2）小影同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______填徹底或不徹底；若不徹底，請你幫她直接寫出因式分解的最后結(jié)果______．【分析】（1）小影同學(xué)第二步到第三步運用了完全平方公式中兩數(shù)和的平方公式，即可得出選項；（2）根據(jù)完全平方公式中的兩數(shù)差的平方公式可繼續(xù)進(jìn)行因式分解；（3）根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式即可．【詳解】解：（1）小影同學(xué)第二步到第三步運用了完全平方公式中兩數(shù)和的平方公式，故選：C；（2）小影同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，【點睛】本題考查了因式分解換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．(2)請根據(jù)材料B，解答問題：①在材料B中，老師說，小明同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果______；(3)綜合運用：【分析】本題主要考查了分解因式及其應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用完全平方公式分解因式和換元法分解因式．（1）根據(jù)已知條件，利用完全平方公式求出即可；這樣的解題方法叫做“換元法”，即當(dāng)復(fù)雜的多項式中，某部分重復(fù)出現(xiàn)時，我們用字母將其替換，從而簡化這個多項式．換元法是一個重要的數(shù)學(xué)方法，不少問題能用換元法解決．請你根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：【分析】本題主要考查了因式分解．看懂和理解題例是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干提供的信息直接進(jìn)行因式分解即可；拓展訓(xùn)練二：利用因式分解求最值1．（1）分解因式：【分析】（1）根據(jù)完全平方公式，即可求解，（2）運用完全平方公式變形，根據(jù)有最小值列式，求出x、y和的最小值即可．本題考查了，公式法分解因式，完全平方公式的運用，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：【答案】(1)3；4(2)1；大；(3)【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．故答案為：3；4．故答案為：1；大；．請根據(jù)上述方法，解答下列各題：【答案】(1)3，3(2)大，(3)【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)Χ稳検竭M(jìn)行分解因式．（1）利用完全平方公式后即可確定最小值；4．閱讀理解并解答：則這個代數(shù)式的最小值是______，這時相應(yīng)的的值是_______；【答案】(1)，3(2)2，1(3)1，大，3(4)【分析】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．∴這個代數(shù)式取得最小值時，相應(yīng)的的值是，故答案為：，3．故答案為：2，1．故答案為：1，大，3．拓展訓(xùn)練三：因式分解的新定義問題1．閱讀與思考下面是小欣關(guān)于“智慧優(yōu)數(shù)”的研究性學(xué)習(xí)報告的一部分，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解密“智慧優(yōu)數(shù)”概念理解：特例構(gòu)造：規(guī)律剖析：情況一：當(dāng)與的差是偶數(shù)時，由與構(gòu)造出的“智慧優(yōu)數(shù)”能被4整除．……所以，當(dāng)與的差是偶數(shù)時，由與構(gòu)造出的“智慧優(yōu)數(shù)”能被4整除．情況二：當(dāng)與的差是奇數(shù)時，在由與構(gòu)造“智慧優(yōu)數(shù)”的過程中，可得出下列結(jié)論：A．一定是奇數(shù)

B．與均為奇數(shù)

C．一定是與差的奇數(shù)倍……任務(wù)：(1)請根據(jù)“特例構(gòu)造”中的思路，直接寫出一個小于16的“智慧優(yōu)數(shù)”；(2)請將“規(guī)律剖析”中情況一的說理過程補充完整；(3)“規(guī)律剖析”中情況二所得的結(jié)論，所有正確的結(jié)論為_______（填結(jié)論的序號）；(4)按從小到大順序排列的第5個“智慧優(yōu)數(shù)”為_________．【答案】(1)8或12或15(2)詳見解析(3)A，C(4)20【分析】本題考查了新定義，因式分解的應(yīng)用．（1）根據(jù)根據(jù)“特例構(gòu)造”中的思路求解即可；（4）在（1）的基礎(chǔ)上繼續(xù)求解即可．∴一個小于16的“智慧優(yōu)數(shù)”可以是8或12或15；（2）情況一：當(dāng)與的差是偶數(shù)時，由與構(gòu)造出的“智慧優(yōu)數(shù)”能被4整除．∴當(dāng)與的差是偶數(shù)時，由與構(gòu)造出的“智慧優(yōu)數(shù)”能被4整除．（3）情況二：當(dāng)與的差是奇數(shù)時，在由與構(gòu)造“智慧優(yōu)數(shù)”的過程中，∴一定是奇數(shù)，一定是與差的奇數(shù)倍．故選AC；∴按從小到大順序排列的第5個“智慧優(yōu)數(shù)”為20．故答案為：20．(1)填空：①請直接寫出一個小于10的“對稱數(shù)”，這個“對稱數(shù)”是______；②判斷45是否為“對稱數(shù)”______（請?zhí)顚憽笆恰被颉胺瘛保?3)如果數(shù)m，n都是“對稱數(shù)”，試說明也是“對稱數(shù)”．【答案】(1)①2或5或8②是(3)見解析【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，熟練掌握新定義，是解題的關(guān)鍵：故這個“對稱數(shù)”可以是2或5或8；∴45是“對稱數(shù)”；故答案為：是；∵M(jìn)為“對稱數(shù)”，∴也是“對稱數(shù)”．根據(jù)以上信息，完成下列問題：(2)【分析】本題考查新定義運算，公式法因式分解，理解新定義的運算法則是關(guān)鍵．（1）利用復(fù)數(shù)的運算法則運算解題；（2）先根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計算，再合并即可求解；【答案】(1)(2)c的值為或【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、因式分解的應(yīng)用、利用完全平方公式進(jìn)行計算、求代數(shù)式的值，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“和積數(shù)”的定義進(jìn)行計算即可；∴的“和積數(shù)”c為；故答案為：；綜上所述，c的值為或；拓展訓(xùn)練四：因式分解的應(yīng)用(1)按照上述規(guī)律，將完美數(shù)2028表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差形式（直接寫出）；(2)證明：任意一個完美數(shù)都能夠被4整除；(2)見解析(3)420【分析】本題考查了新定義，因式分解的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：∵n為正整數(shù)，即任意一個完美數(shù)都能夠被4整除；依次給一些特殊的值：，，，，我們就能得到下面一列式子：【分析】本題考查了完全平方公式，整式的加減運算，完全立方公式，因式分解的應(yīng)用，熟練掌握各知識點，理解題意是解題的關(guān)鍵．仿照題干進(jìn)行求解即可．當(dāng)式中的從、、、依次取到時，就可得下列個等式：，3．感知：（1）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個因式分解的等式，由圖1中的大正方形的面積可得到的因式分解等式為_______；【分析】本題考查了因式分解法應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想和整體代入思想是解題的關(guān)鍵．（1）用兩種方法表示圖1中的大正方形的面積即可得解．（2）用兩種方法表示圖2中正方體的體積即可得解．【答案】(1)或(2)(3)，，【分析】本題考查了多項式乘多項式的運算，因式分解的應(yīng)用；(3）根據(jù)題意，由“系多項式”定義，進(jìn)而得出答案．故答案為：或；多項式的另一個零點是；的兩個零點分別是或，故答案為：，，．1．（2425七年級下·浙江杭州·期中）下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（

）【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義，根據(jù)因式分解的定義即可判斷，掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、從左到右的變形不屬于因式分解，故選項不符合題意；B、從左到右的變形不屬于因式分解，故選項不符合題意；C、從左到右的變形不屬于因式分解，故選項不符合題意；D、從左到右的變形屬于因式分解，故選項符合題意；故選：D．A．1 B．2 C．2或 D．4【答案】B故選：B．A． B． C． D．6【答案】C故選：C．【答案】C則余下的部分是x．故選：C．A．5 B．6 C．3 D．8【答案】C，故選：C．A．28 B．39 C．61 D．68【答案】B故選：B．【分析】本題考查因式分解．提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．【答案】故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】2，故答案為：2．【答案】故答案為：．（1）最小的“如意數(shù)”是；【答案】【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、整式加減的應(yīng)用等知識點，正確理解“如意數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可得；【詳解】解：（1）∵自然數(shù)A的個位數(shù)字不為0，故答案為：；∴為5、4或者3，∴為5或者4，不符合題意，舍去；能被11整除，且m為1至9的自然數(shù)，滿足條件的整數(shù)只有3，故答案為：1088．【答案】4【分析】本題考查因式分解中的完全平方公