3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系（第1課時(shí)）人教B版（2019）必修第一冊(cè)第二章

等式與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)了解函數(shù)的零點(diǎn)01理解二次函數(shù)的零點(diǎn)02理解三個(gè)二次之間的關(guān)系03探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)已知函數(shù)

f

(x)

＝x－1，我們知道，這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____，而且可以求出，方程

f

(x)

＝0的解集為_(kāi)_____，不等式

f

(x)＞0的解集為_(kāi)______，不等式

f

(x)＜0的解集為_(kāi)______.R{1}{x|x＞1}{x|x＜1}Oxy11在下圖中作出函數(shù)

f

(x)＝x－1的圖象，總結(jié)上述方程、不等式的解集與函數(shù)定義域、函數(shù)圖象之間的關(guān)系．探索新知由嘗試與發(fā)現(xiàn)中的例子可以看出，根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)能夠把函數(shù)的定義域分為幾個(gè)不相交的集合.具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若A＝{x

∈

D|

f(x)＜0}，B＝{x

∈

D|

f(x)＝0}，C＝{x

∈

D|

f(x)>0}，顯然，A，B，C

兩兩的交集都為空集，且

D＝A∪B∪C.探索新知函數(shù)零點(diǎn)的概念一般地，如果函數(shù)

y＝f

(x)在實(shí)數(shù)

α

處的函數(shù)值等于零，即

f(α)＝0，則稱α為函數(shù)

y＝f

(x)的零點(diǎn)．上述集合

B就是函數(shù)所有零點(diǎn)組成的集合．(1)

函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn).例如，函數(shù)

f

(x)＝x＋1

的零點(diǎn)是－1，而不是(－1，0)(2)

并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn).例如，

y＝1

，y＝x2＋1

就沒(méi)有零點(diǎn)(3)

若函數(shù)有零點(diǎn)，則零點(diǎn)一定在函數(shù)的定義域內(nèi).不難看出，α

是函數(shù)

f

(x)

零點(diǎn)的充分必要條件是，(α,0)是函數(shù)圖象與

x軸的公共點(diǎn).因此，由函數(shù)的圖象可以方便地看出函數(shù)值等于

0

的方程的解集，以及函數(shù)值與0比較相對(duì)大小的不等式的解集.探索新知函數(shù)零點(diǎn)的意義(1)

函數(shù)

F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程

f(x)＝g(x)的根，也就是函數(shù)

y1＝f(x)與

y2＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)

如果方程

f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

x，那么

x稱為函數(shù)

y＝f(x)的二階零點(diǎn)(二重零點(diǎn)).如

x＝2就是函數(shù)

f(x)＝(x－2)2

的二階零點(diǎn).典型例題例1如圖所示是函數(shù)

y＝f(x)的圖象，分別寫(xiě)出

f(x)＝0，

f(x)＞0，

f(x)≤0

的解集.解：由圖可知，

f(x)＝0

的解集為{－5

,－3

,－1

,2

,4

,6}.

f(x)＞0的解集為(－5

,－3)∪(2

,4)∪(4

,6)f(x)≤0

的解集為_(kāi)____________________________.[－6

,－5]∪[－3

,2]∪{4

,6}

探索新知函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)等，就能得到類似

f(x)＞0等不等式的解集我們已經(jīng)知道怎樣求解一元二次方程，而且也知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，因此可以借助二次函數(shù)的圖象得到一元二次不等式的解集.典型例題例2利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)x2－x－6＜0；(2)x2－x－6≥0．解：設(shè)

f

(x)

＝x2－x－6，令

f

(x)

＝0，得x2－x－6＝0，即

(x－3)(x＋2)

＝0，從而

x＝3或

x＝－2．因此3和

－2都是函數(shù)

f

(x)

的零點(diǎn)，從而

f

(x)

的圖象與

x軸相交于

(3，0)

和

(－2，0)

，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象是開(kāi)口向上的拋物線，所以可以作出函數(shù)圖象示意圖如下圖所示．典型例題例2利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)x2－x－6＜0；(2)x2－x－6≥0．由圖可知：(1)所求解集為

(－2，3)；(2)所求解集為

(－∞，－2］∪［3，＋∞)．典型例題例3利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)－x2－2x－3≥0；(2)－x2－2x－3＜0．解：設(shè)

f

(x)

＝－x2－2x－3，令

f

(x)

＝0，得x2＋2x＋3＝0，即

(x＋1)

2＝－2，該方程無(wú)解．因此函數(shù)

f

(x)

無(wú)零點(diǎn)，從而

f

(x)

的圖象與

x軸沒(méi)有交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象是開(kāi)口向下的拋物線，所以可以作出函數(shù)圖象示意圖如下圖所示．典型例題例3利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)－x2－2x－3≥0；(2)－x2－2x－3＜0．由圖可知：(1)所求解集為

?；(2)所求解集為

R．典型例題例4利用函數(shù)求下列不等式的解集：(1)x2－4x＋4＞0；(2)x2－4x＋4≤0．解：設(shè)

f

(x)＝x2－4x＋4，令

f

(x)＝0，得x2－4x＋4＝0，即

(x－2)2＝0，從而

x＝2．因此，函數(shù)

f

(x)

的零點(diǎn)為2，從而

f

(x)

的圖象與

x軸相交于

(2，0)，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象是開(kāi)口向上的拋物線，所以可知：(1)所求解集為

(－∞，2)∪

(2，＋∞)；(2)所求解集為{2}．探索新知二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，由一元二次方程解集的情況可知，對(duì)于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：(1)當(dāng)

?＝b2－4ac＞0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有兩個(gè)元素

x1，x2，且x1，x2

是f

(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，f

(x)的圖象與

x

軸有兩個(gè)公共點(diǎn)

(x1,0)，(x2,0)；探索新知二次函數(shù)的零點(diǎn)(2)當(dāng)

?＝b2－4ac＝0

時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0

的解集中只有一個(gè)元素

x0，且

x0是

f

(x)唯一的零點(diǎn)，f

(x)的圖象與

x

軸有一個(gè)公共點(diǎn)(x0,0)；(3)當(dāng)

?＝b2－4ac＜0

時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0

沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)

f

(x)無(wú)零點(diǎn)，f

(x)的圖象與

x

軸沒(méi)有公共點(diǎn).探索新知更進(jìn)一步，可以由二次函數(shù)的圖象得到對(duì)應(yīng)的不等式的解集.判別式

?＝b2－4acy＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的的解集沒(méi)有實(shí)根注意端點(diǎn)值的取舍有兩相等實(shí)根

大于取兩邊，小于取中間典型例題例5求函數(shù)

f(x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1)的零點(diǎn)，并作出函數(shù)圖象的示意圖，寫(xiě)出不等式f(x)＞0和

f(x)≤0的解集.解：函數(shù)零點(diǎn)為－2，－1，1．函數(shù)的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分成了四部分，每一部分函數(shù)值的符號(hào)如下表所示.x(－∞，－2)(－2，－1)(－1，1)(1，＋∞)

f(x)－＋－＋典型例題例5求函數(shù)

f(x)＝(x＋2)(x＋1)(x－1)的零點(diǎn)，并作出函數(shù)圖象的示意圖，寫(xiě)出不等式f(x)＞0和

f(x)≤0的解集.由此可以畫(huà)出函數(shù)圖象的示意圖，如下圖所示．