2025年武漢數(shù)學(xué)四調(diào)試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.實(shí)數(shù)5的相反數(shù)是（）A.5B.5C.$\frac{1}{5}$D.$\frac{1}{5}$2.下列事件中，是必然事件的是（）A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上B.打開電視機(jī)，正在播放廣告C.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°D.買一張電影票，座位號是奇數(shù)3.計(jì)算$(2x^2)^3$的結(jié)果是（）A.$6x^5$B.$6x^6$C.$8x^6$D.$8x^5$4.如圖是由5個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，該幾何體的左視圖是（）（此處應(yīng)插入一個(gè)由5個(gè)小正方體組成的幾何體的立體圖，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）A.（給出左視圖的圖形選項(xiàng)A）B.（給出左視圖的圖形選項(xiàng)B）C.（給出左視圖的圖形選項(xiàng)C）D.（給出左視圖的圖形選項(xiàng)D）5.點(diǎn)$A(3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$都在反比例函數(shù)$y=\frac{6}{x}$的圖象上，則$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小關(guān)系是（）A.$y_1<y_2<y_3$B.$y_3<y_2<y_1$C.$y_3<y_1<y_2$D.$y_2<y_1<y_3$6.一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率是（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$7.已知關(guān)于$x$的一元二次方程$x^22x+m=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則$m$的取值范圍是（）A.$m<1$B.$m>1$C.$m\leq1$D.$m\geq1$8.如圖，在$\odotO$中，弦$AB=8$，半徑$OC\perpAB$于點(diǎn)$D$，$OD=3$，則$\odotO$的半徑為（）（此處應(yīng)插入一個(gè)圓的圖形，圓心為$O$，弦$AB$，半徑$OC$垂直$AB$于$D$，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）A.4B.5C.6D.79.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形$ABCD$的頂點(diǎn)$A$在$y$軸正半軸上，頂點(diǎn)$B$，$C$在$x$軸上，$\angleABC=60^{\circ}$，點(diǎn)$D$的坐標(biāo)為$(4,3)$，則點(diǎn)$A$的坐標(biāo)為（）（此處應(yīng)插入一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中菱形的圖形，頂點(diǎn)位置按描述標(biāo)注，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）A.$(0,\frac{3\sqrt{3}}{2})$B.$(0,\frac{5\sqrt{3}}{2})$C.$(0,2\sqrt{3})$D.$(0,3\sqrt{3})$10.如圖，拋物線$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$與$x$軸交于點(diǎn)$A(1,0)$，$B(3,0)$，與$y$軸交于點(diǎn)$C$，頂點(diǎn)為$D$，下列結(jié)論：①$abc>0$；②$2a+b=0$；③當(dāng)$m\neq1$時(shí)，$a+b>am^2+bm$；④若$\triangleABD$是等腰直角三角形，則$a=\frac{1}{2}$；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）（此處應(yīng)插入一個(gè)拋物線的圖形，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)按描述標(biāo)注，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.計(jì)算：$\sqrt{16}\sqrt[3]{8}=$______.12.分解因式：$x^34x=$______.13.已知一組數(shù)據(jù)$2$，$3$，$5$，$4$，$4$，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.14.如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=1$，$DB=2$，$DE=3$，則$BC$的長為______.（此處應(yīng)插入一個(gè)三角形的圖形，$DE$平行$BC$，各點(diǎn)按描述標(biāo)注，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）15.如圖，扇形$OAB$的圓心角為$90^{\circ}$，半徑為$2$，將扇形$OAB$繞點(diǎn)$A$逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^{\circ}$得到扇形$O'A'B'$，則圖中陰影部分的面積為______.（此處應(yīng)插入一個(gè)扇形旋轉(zhuǎn)的圖形，按描述標(biāo)注各點(diǎn)及角度，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）16.已知關(guān)于$x$的不等式組$\begin{cases}xa\geq0\\52x>1\end{cases}$只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是______.三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.（本題8分）計(jì)算：$(\frac{a^2}{a1}a1)\div\frac{1}{a1}$.18.（本題8分）如圖，在四邊形$ABCD$中，$AB=CD$，$AD=BC$，對角線$AC$，$BD$相交于點(diǎn)$O$，$AE\perpBD$于點(diǎn)$E$，$CF\perpBD$于點(diǎn)$F$.求證：$AE=CF$.（此處應(yīng)插入一個(gè)四邊形的圖形，各邊及對角線、垂線按描述標(biāo)注，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）19.（本題8分）為了了解學(xué)生對籃球、足球、排球、羽毛球四種球類運(yùn)動(dòng)的喜愛情況，某中學(xué)對學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，要求每位學(xué)生只能選擇一種自己喜歡的球類運(yùn)動(dòng)，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.（此處應(yīng)插入兩幅統(tǒng)計(jì)圖，一幅是扇形統(tǒng)計(jì)圖，一幅是條形統(tǒng)計(jì)圖，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）求這次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)該校喜歡足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生人數(shù).20.（本題8分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，點(diǎn)$O$在$AB$上，以$O$為圓心，$OA$為半徑的圓與$BC$相切于點(diǎn)$D$，交$AB$于點(diǎn)$E$.（1）求證：$AD$平分$\angleBAC$；（2）若$AC=6$，$BC=8$，求$\odotO$的半徑.（此處應(yīng)插入一個(gè)直角三角形及圓的圖形，按描述標(biāo)注各點(diǎn)及相切關(guān)系，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）21.（本題8分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線$y=kx+b(k\neq0)$與雙曲線$y=\frac{m}{x}(m\neq0)$相交于$A(1,2)$，$B(2,n)$兩點(diǎn).（1）求直線和雙曲線的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式$kx+b>\frac{m}{x}$的解集.22.（本題10分）某商場銷售甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價(jià)15元，售價(jià)20元；乙種商品每件進(jìn)價(jià)35元，售價(jià)45元.（1）若該商場同時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2700元，求購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？（2）若該商場為使甲、乙兩種商品共100件的總利潤（利潤=售價(jià)進(jìn)價(jià)）不少于750元，且不超過760元，請你幫助該商場設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案.23.（本題10分）如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，點(diǎn)$E$是$BC$邊上一點(diǎn)，將$\triangleABE$沿$AE$折疊，使點(diǎn)$B$落在點(diǎn)$B'$處.（1）當(dāng)點(diǎn)$B'$落在對角線$AC$上時(shí)，求$BE$的長；（2）當(dāng)$\triangleCEB'$為直角三角形時(shí)，求$BE$的長.（此處應(yīng)插入一個(gè)矩形及折疊的圖形，按描述標(biāo)注各點(diǎn)及折疊情況，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）24.（本題12分）如圖，拋物線$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$與$x$軸交于點(diǎn)$A(1,0)$，$B(3,0)$，與$y$軸交于點(diǎn)$C(0,3)$.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)$P$是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)$P$作$x$軸的垂線，交直線$BC$于點(diǎn)$D$，設(shè)點(diǎn)$P$的橫坐標(biāo)為$m$，當(dāng)$m$為何值時(shí)，線段$PD$的長度最大？并求出最大值；（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)$Q$，使得以點(diǎn)$B$，$D$，$P$，$Q$為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（此處應(yīng)插入一個(gè)拋物線及坐標(biāo)軸、直線的圖形，按描述標(biāo)注各點(diǎn)，由于無法直接插入，可在實(shí)際出題時(shí)補(bǔ)充）答案一、選擇題1.A2.C3.C4.B5.C6.C7.A8.B9.B10.C二、填空題11.212.$x(x+2)(x2)$13.414.915.$\pi$16.$3<a\leq2$三、解答題17.\[\begin{align}&(\frac{a^2}{a1}a1)\div\frac{1}{a1}\\=&[\frac{a^2}{a1}(a+1)]\cdot(a1)\\=&\frac{a^2}{a1}\cdot(a1)(a+1)(a1)\\=&a^2(a^21)\\=&a^2a^2+1\\=&1\end{align}\]18.證明：因?yàn)?AB=CD$，$AD=BC$，所以四邊形$ABCD$是平行四邊形.所以$OA=OC$.因?yàn)?AE\perpBD$，$CF\perpBD$，所以$\angleAEO=\angleCFO=90^{\circ}$.又因?yàn)?\angleAOE=\angleCOF$，所以$\triangleAOE\cong\triangleCOF(AAS)$.所以$AE=CF$.19.（1）喜歡籃球的有20人，占比$40\%$，則抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為$20\div40\%=50$（人）.（2）喜歡足球的人數(shù)為$50\times30\%=15$（人），喜歡排球的人數(shù)為$50201510=5$（人）.補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（略）.（3）該校喜歡足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生人數(shù)約為$1200\times30\%=360$（人）.20.（1）證明：連接$OD$.因?yàn)?\odotO$與$BC$相切于點(diǎn)$D$，所以$OD\perpBC$.又因?yàn)?\angleC=90^{\circ}$，即$AC\perpBC$，所以$OD\parallelAC$.所以$\angleODA=\angleCAD$.因?yàn)?OA=OD$，所以$\angleOAD=\angleODA$.所以$\angleOAD=\angleCAD$，即$AD$平分$\angleBAC$.（2）設(shè)$\odotO$的半徑為$r$.在$Rt\triangleABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.因?yàn)?OD\parallelAC$，所以$\triangleBOD\sim\triangleBAC$.則$\frac{BO}{BA}=\frac{OD}{AC}$，即$\frac{10r}{10}=\frac{r}{6}$，解得$r=\frac{15}{4}$.21.（1）把$A(1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=2$，所以雙曲線的解析式為$y=\frac{2}{x}$.把$B(2,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$n=1$.把$A(1,2)$，$B(2,1)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=2\\2k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，所以直線的解析式為$y=x+1$.（2）由圖象可知，不等式$kx+b>\frac{m}{x}$的解集為$2<x<0$或$x>1$.22.（1）設(shè)購進(jìn)甲商品$x$件，則購進(jìn)乙商品$(100x)$件.由題意得$15x+35(100x)=2700$，解得$x=40$，則$100x=60$.所以購進(jìn)甲商品40件，乙商品60件.（2）設(shè)購進(jìn)甲商品$a$件，則購進(jìn)乙商品$(100a)$件.利潤$W=(2015)a+(4535)(100a)=5a+10(100a)=10005a$.由$750\leq10005a\leq760$，解得$48\leqa\leq50$.所以進(jìn)貨方案有三種：①購進(jìn)甲商品48件，乙商品52件；②購進(jìn)甲商品49件，乙商品51件；③購進(jìn)甲商品50件，乙商品50件.23.（1）在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，則$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=10$.設(shè)$BE=x$，則$B'E=x$，$EC=8x$，$AB'=AB=6$，$B'C=106=4$.在$Rt\triangleB'EC$中，根據(jù)勾股定理$B'E^{2}+B'C^{2}=EC^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8x)^{2}$，解得$x=3$.（2）分兩種情況：①當(dāng)$\angleEB'C=90^{\circ}$時(shí)，點(diǎn)$B'$落在$AC$上，由（1）知$BE=3$.②當(dāng)$\angleB'EC=90^{\circ}$時(shí)，因?yàn)?\angleBAE+\angleBEA=90^{\circ}$，$\angleB'EC+\angleBEA=90^{\circ}$，所以$\angleBAE=\angleB'EC$.又因?yàn)?\angleB=\angleC=90^{\circ}$，所以$\triangleABE\sim\triangleECB$.則$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{BC}$，設(shè)$BE=x$，則$\frac{6}{8x}=\frac{x}{8}$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=24$（舍去）.所以$BE$的長為3或2.24.（1）設(shè)拋物線的解析式為$y=a(x+1)(x3)$，把$C(0,3)$代入得$3=a(0+1)(03)$，解得$a=1$.所以拋物線的解析式為$y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3$.（2）設(shè)直線$BC$的解析式為$y=kx+d$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+d=0\\d=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\d=3\end{cases}$，所以直線$BC$的解析式為$y=x+3$.點(diǎn)$P$的橫坐標(biāo)為$m$，則$P(m,m^{2}+2m+3)$，$D(m,m+3)$.所以$PD=m^{2}+2m+3(m+3)=m^{2}+3m=(m\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$.當(dāng)$m=\frac{3}{2}$時(shí)，$PD$的長度最大，最大值為$