2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中仿真模擬試卷01

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知單位向量弓超2的夾角為120°,則（2耳一62）芻=（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)閱挝幌蛄縬,02的夾角為120。,

—.一一-__2

所以(2e1-e2)-e2=2eie2-e2

=2卜小卜21cos120。-同2

=2xlxlx-I2=-2,

故選：A

l-2i

2.已知z=-----,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

[2,(l-2i)(l-i)_l-j-2i-213.

【解析】因?yàn)閦=U---------1

(l+i)(j)=-2-22

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第三象限,

故選：C.

3.如圖，VAO'B'是水平放置的的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A'、

3'均在坐標(biāo)軸上，且cAOfi的面積為12,則0'8'的長(zhǎng)度為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)镺'A、均在坐標(biāo)軸上，設(shè)O'3'=f,

所以由圖。4和。3分別在以。為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)的x和y軸上,

且CM=0A=6、OB=2O'B'=2t,

所以SAQR=—OAxOB='x6x2%=6%=12=>%=2,

222

所以O(shè)'5'=2.

故選：B

zymsATT

4.在“。中，角A5c的對(duì)邊分別為"C,若一=-----,c=—?jiǎng)tA5C的形狀是（）

bcosB3

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

.,acosA

【解析】因?yàn)橐?-----,

bcosB

所以A、J=l.acosB=/?cosA,

2.272i2.22_

所以由余弦定理得=b-a,整理得a=b,又。=—,

lac2bc3

71

11--------

所以43?！福蔰4BC是等邊三角形.

A=BD=-----=—=C

23

故選：B

5.在長(zhǎng)方體ABC?！?片。2中，AB=AD=5M=1,則與AG所成角的余弦值為（）

A.-B.交C.BD.逅

4444

【答案】D

【解析】如圖，連接AC,CD「

在長(zhǎng)方體中，因?yàn)?G//AC,所以與AG所成角等于與AC所成的角；

在三角形ACR中，AC=^/6,ADl=CDl=2,

由余弦定理得cosZDtAC=-2c2=2?+年—22=好.

2xACxADl2xV6x24

故選：D.

6.中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》

而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度蛇在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物48,高約為37m,

在地面上點(diǎn)。處（B,C,"三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部4鸛雀樓頂部〃的仰角分別為30°和45。，在/處

測(cè)得樓頂部〃的仰角為15。，則鸛雀樓的高度約為（）

A.64mB.74mC.52mD.91m

【答案】B

【解析】因?yàn)镽tZXABC中，AB±BC,AB=37m,NAC3=30，

所以AC=2AB=74m,

因?yàn)镽t△初VC中，NCLMN，ZMCN=45，

所以MN=MC-sin45=—MC，

2

由題意，ZMAC=45，NMG4=180-45-30=105，

貝i|NAMC=180-105-45=30，

在小。/中，由正弦定理得——MC—二——AC—,即‘M竺C一二」74一，

sinZMACsinZAMCsin45sin30

74sin45

故=二74垃皿,

sin30

i^CMN=—x74y/2=74m.

2

故選：B

7.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中，AD=2DCBD=4BE，則AE-AC=（）

D.2

【答案】C

【解析】由題意知AD=-AC,

43

則AE=AB+3E=46+工3。=AB+“A+

44、

3131

=-AB+-AD=-AB+-AC,

4446

(31]312

所以AE-AC=-AB+-AC\AC=-ABAC+-AC

146J46

3i39

二一x3x3xcos60°+—x32=——.

468

故選：C.

8.在ABC中，角A5C所對(duì)的邊分別為a,4c,若c—〃=2灰osA,則一仁的取值范圍是（)

a-b

A.（」，2）g"C.D.（2,3）

【答案】D

【解析】因?yàn)閏—〃=2〃COSA,則由正弦定理得51!1。一5近5=251115（：054,

又sinC=sin[兀一(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsin5—sin5=2sinBcosA,

則sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

又入￡（0,兀），Be（0,7i）,則A-54一元,兀）

所以5=4—3或3+（A—3）=兀，即A=25或4=兀（舍去）,

則。=兀一A—5=兀一35,

0<2B<7T兀1

所以1，解得0<5<一，則一<cos3<l,

0<71-35<7132

grp,c_sinC_sin(兀-33)_sin33

a—bsinA-sinBsin2B-sinBsinIB-sinB

sin(2B+B)sinIBcosB+cosIBsinB

2sinBcosB-sinB2sinBcosB-sinB

2sinBcos2B4-(2cos2B-l)sinB八、

=-------------------------------------------=2cosB+le

sin3(2cos3-1)

所以'丁的取值范圍是(2,3).

ci-b

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是()

A.。為點(diǎn)4B,。所在直線外一點(diǎn)，且OC=xOA+0.4O3，則x=0.6

B.已知非零向量。=(1,2)/=(1,1),且。與a+的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是-g,+8

C.已知向量AB=(2百,2),AC=(—1,—百)，則在AC上的投影向量的坐標(biāo)為(6,3)

D.若點(diǎn)G為VABC中線的交點(diǎn)，則G4+G8+GC=0

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由4B,C三點(diǎn)共線，。為點(diǎn)4B,C所在直線外一點(diǎn)，

有OC=XOA+〃OB,其中2+〃=1,即%+0.4=1,所以光=0.6,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：a+Ab=(1,2)+2(1,1)=(1++2),若。與。+刀，的夾角為銳角,

則a,(a+XZ?)=l+X+2(2+X)=5+3/1>0,解得X〉—,

當(dāng)。與a+&?共線時(shí)，2(1+2)=2+2,解得;1=0，

此時(shí)。=(1,2),。+/1人=(1,2),“與a+彳匕夾角為0,不符合題意，

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍是，;,o]u(O，+"),故B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?=2,

所以AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)為1AB~-ARC-「ACI=-4J31--------L=K/3,3、,故C正確;

|AC||AC|22V>

對(duì)于選項(xiàng)D：若點(diǎn)G為VABC中線的交點(diǎn)，延長(zhǎng)AG與5c交于M，

則M為5c的中點(diǎn)，所以AG=2GM=2xgx（G3+Gd）=G3+GC,

所以G4+G3+GC=0，故D正確.

故選：ACD.

10.在VA3C中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是（）

A.若A>B，貝!JsinA>sin5

B.a=bcosC+ccosB

C.若b=5,c=4,5=45。，則三角形有兩解

D.若優(yōu)+k=片—此，c=l，則VA3C的外接圓半徑為走

3

【答案】ABD

【解析】由可得即2RsinA>2RsinB（R為VA3C的外接圓的半徑），即有sinA>sin5,

故A正確；

由正弦定理可得。cosC+ccos5=2Ksin5coscI+2HsinCcos5=2Rsin（5+C）=2HsinA=a,故B正確；

4e

若Z?=5,c=4,6=45°,貝ij.「csinB4X^-20］，而c<b,即C<5,則C為銳角，

b55

三角形有且只有一解，故C錯(cuò)誤；

2.?221

若cr+b^^-ab，c=l,可得cosC=a~C=--,內(nèi)角C=120°,即有

lab2

c=1=2出廠

=碇=①=丁，即氏=半，故D正確?

故選：ABD.

11.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—44GR中，AB=4,BC=BB]=2,E,尸分別為棱454A的中點(diǎn)，則

A.直線C5與為相交直線

B.異面直線。用與CE所成角為90。

C.若尸是棱C2上一點(diǎn)，且2尸=1,則E、C、尸、E四點(diǎn)共面

D.平面CEF截該長(zhǎng)方體所得截面可能為六邊形

【答案】AC

【解析】因?yàn)锳R//5C且AFwNC,可得四邊形CE413為梯形,

所以CF與54必相交，所以A正確；

由題意，在正方體ABC?！狝4GO1中，因?yàn)?用，平面ABCD,

CEu平面ABCD,所以

假設(shè)異面直線DBX與CE所成角是90。，即DBX1CE,

DBl,BB[u平面BBQ,DB}BBX=Bx,

可得CE_L平面而DBu平面3耳。，

則CELDB,

在長(zhǎng)方形ABC。中，因?yàn)锳3=4,5C=2,

取CD中點(diǎn)產(chǎn)，可知正方形BCFE中CE,呼，

可得05與CE不垂直，矛盾,

所以異面直線。片與CE所成角不是90。，所以B錯(cuò)誤;

點(diǎn)尸是棱GA上一點(diǎn)，且AP=i，取G2的中點(diǎn)/，連接A”，“c,PR,

因?yàn)椤笔謩e是AA和2G的中點(diǎn)，所以,

由四邊形AMCE為平行四邊形，所以PF//CE,所以E,C,P,尸四點(diǎn)共面，所以c正確;

由選項(xiàng)C可知，PRPCCE為截面的邊，截面又與平面ABB14及AD24相交，

可得截面的兩條邊，所以截面共有五邊形，所以D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓臺(tái)下底面的半徑為4cm,高為4cm,母線長(zhǎng)為2J5cm，則圓臺(tái)的體積為cm3.

112

【答案】71

3

【解析】設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為?r<4),軸截面如下圖所示：過8作BE，。。，垂足為E,

則有AB=r，DC=4,AD=BE=4,BC=2?因?yàn)?c?=BE?十0石2,

所以有(26?=4?+(4—r)20廠=2或r=6(舍去)，

1112

所以圓臺(tái)的體積為：—,(TT-29+乃?2?4+萬?4"9)?4=—^―乃cm、,

a112

故答案為：---兀

3

13.已知平面向量Z”5滿足同=后,人=(1,6),卜一2司=，11,則|.+同=

【答案】JH

【解析】因?yàn)?=(1,退)，所以|6|=，1+3=2,

因?yàn)閨。-26|=而，所以兩邊同時(shí)平方得：a2-4a-b+4b2=11,

即3-4。?6+4x4=11，解得a-b=2

所以|a+〃|="(a+1)2=A/<72+2a-b+b2=j3+2x2+4=-

故答案為：而.

14.VA3C中，角A,B,C對(duì)邊分別為。，。，c,點(diǎn)P是VA3C所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足

OP=OB+Z~~+~~(幾>。).射線3P與邊AC交于點(diǎn)￡).若asinA+csinC-Z?sin5=asinC,

{\BC\\BA\)

BD=2,則角3的值為,VABC面積的最小值為.

【答案】①.y②.理##:代

【解析】匹表示BC方向的單位向量，梟表示加方向的單位向量，

\BC\\BA\A1

根據(jù)向量加法的幾何意義可知尸在三角形ABC的角平分線上，

即是三角形ABC角平分線，

由asinA+csinC-bsin5=asinC可得，a2+c2-b1=ac，

,日D片+寸—/]

得cosB=---------=—>0,

lac2

TT

則3為銳角，所以3=—,

3

依題意BD=2,

17T17T1JT

根據(jù)三角形面積公式有一?〃Lsin—=—?〃?2?sin—十—?c?2?sin-,

232626

整理得y[3ac=2a+2c>2^2a-2c=Ayfac，

所以疝與，當(dāng)且僅當(dāng)°=c=拽時(shí)等號(hào)成立，

J333

所以三角形ABC面積的最小值為工x3xsine=生叵.

2333

故答案為：①一；①'

33

四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

C*

15.已知復(fù)數(shù)Z=（2+i）加+——（其中i是虛數(shù)單位，meR）.

1-i

（1）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求也的值;

（2）求|z+l|的取值范圍.

【答案】（1）m=-(2)|z+l|2乎

2

【解析】（1）

/、2i/、2i(l+i)

z=(2+i)m+——=(2+i\m+-——\)、

I71-iV'(l-i)(l+i)

=(2+i)m+i(l+i)=2m-l+(m+l)i

若復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)，則2m—1=0,m+120,所以機(jī)=L

2

(2)由(1)得z=2m-l+(m+l)i,z+1=2m+(m+l)i,

|z+l|=+=A/5m2+2m+\

4

因?yàn)閥=5加?+2加+1是開口向上的拋物線，有最小值彳,

所以|z+l|2--------.

一5

16.如圖,在-ABC中，BD=2DC<￡是皿的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b-

（1）試用a，b表示AD,BE；

（2）若|a|=l,|b|=l,a與人的夾角為60，求|BE|

__12--51

【答案】(1)AD=-d+-b,BE=一一a+-b⑵半

3363

【解析】（1）因BD=2DC>

所以BD=&BC.

3

221212

所以AD=AB+BZ)=AB+—BC==AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-a+-b.

333333

因?yàn)椤晔?，的中點(diǎn)，

^BE=-(BA+BD\=-\-AB+-BC\=--a+-b.

2、，213J63

(2)由(1)知，BE=—aH—b,

63

__,2<i25S11

所以忸同=(—aH—Z7)2=—a1—2x—x—a-b—b2

6336639

-2x—x—|a||z?|cos(d,b\+—b2="xF-2x—x—xlxlxcos60+—xI2=—,

3663lIII\/93663936

所以忸E=二士

116

17.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的橫線上，并給出解答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答,

則按第一個(gè)解答計(jì)分）

@2a—b=2ccosB；②sin[c+k]=cosC+,；③向量加=(a+c,Z?—a),〃=(a—c,Z?),m

在「ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且___________.

⑴求c；

(2)若c=G，求JRC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1)y(2)373

【解析】(1)若選①：2a—b=2ccosB,

由正弦定理得2sinA-sin_B=2sinCcos5,又sin(5+C)=sinA,

所以2sin5cosc=sinB,XsinB>0,所以2cosc=1,即cosC='，

2

71

又0<。<兀，所以c=—；

3

.(兀)17171)

若選②：因?yàn)閟inC+—=cosC+—,所以$111。以光一+8$。$111—=以%。+—,

I6j2662

JTTT|!，因?yàn)镺VCVTI,

所以sinCcos——cosCsin—=—,所以sin

6622

所以春。3d，所以吟所以0g

若選③：因?yàn)橄蛄繖C(jī)=(a+c3-a),〃=(a-c,/?),相

所以(a+(?)?(〃-(?)+(/?—a),/?二(),化簡(jiǎn)得a?+〃—，=々6,

所以cosC=a+/_L=’,又0<。<兀，所以C=巴；

2ab23

(2)由余弦定理得c?=a?+b2-2a/?cosC，

所以3=a?+/-ab=(a+b)~-3ab>(a+/7)2--^■(a+Z?)2=；(a+Z7)~,

所以(a+Z?)2<12,所以a+6<2退，當(dāng)且僅當(dāng)a=6=石時(shí)等號(hào)成立，

所以。+6+。＜3代，即JRC周長(zhǎng)的最大值為3#-

18.如圖1,設(shè)半圓的半徑為2,點(diǎn)8、。三等分半圓，點(diǎn)M、N分別是。8、0C的中點(diǎn)，將此半圓以。4

為母線卷成一個(gè)圓錐(如圖2).在圖2中完成下列各題：

(1)求在圓錐中的線段的長(zhǎng);

(2)求四面體ACMN的體積；

(3)求三棱錐M-ABC與三棱錐N-ABC公共部分的體積.

【答案】(1)B⑵得

2

【解析】(1)在圖2中，設(shè)圓錐的底面圓半徑為小

則2兀r=！x2x2兀，解得r=1,

2

因?yàn)樵趫D1中，點(diǎn)3、C三等分半圓，

所以在圖2中，點(diǎn)3、C為圓錐的底面圓周的三等分點(diǎn),

所以A5C為等邊三角形,

BC

所以=2r=2,所以5C=也,

sin60°

又因?yàn)辄c(diǎn)/、N分別是08、OC的中點(diǎn),

所以MN=^3C="；

22

(2)SABC=；X6義拒義R=中,圓錐的高＞=，22—F=6,

所以%.ABC=gx孚xG=；,

所以%-ACN=~VM-ACO=〈x、Vg_ACO=~：VO-ABC=T7'

222416

3

即四面體AQWN的體積為一；

16

(3)連接3N,Q以交于點(diǎn)尸，連接0P并延長(zhǎng)0P交BC于點(diǎn)E,

則三棱錐M-A5C與三棱錐N-ABC公共部分即為三棱錐尸-ABC,

因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是。8、0C的中點(diǎn)，

所以石為5C的中點(diǎn)，且PE=』O￡,

3

所以VP-ABC=~^O-ABC=；,

所以三棱錐人-ABC與三棱錐N-ABC公共部分的體積為

兀

19.已知中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,A=—,〃=

(2)過點(diǎn)8作9的垂線/,〃為/上一點(diǎn).

①若NR4D=§,/,=后，求線段4）的長(zhǎng)；

27r

②若ABDA=——且，點(diǎn)在_ABC外部，求線段長(zhǎng)的取值范圍.

3

【答案】（1）]■1—=—（2）①AD=+2\/^;②（0,2）

、上=^=^_=正=2b.c

【解析】（1）由正弦定理sinBsinCsinA.兀，?*.sinB=—,sinC=—,

SmJ

代入sin5+sinC=sin5-sinC,整理得人+c=-be,—+—=—

2bc2

6_①

ab

（2）①在「ABC中，由正弦定理得sin^―sin/ABC，

sinABACsinZABC

3

sin/A5C=NABC='或亞（舍），