第39講章末檢測六

、單選題

1、（2023.江蘇南京.南京市秦淮中學?？寄M預測）復數(shù)z=己的虛部是（）

2-1

5.

A.iB.—D.1

33

【答案】D

5_5（2+i）_10+5i

=2+i

【解析】2^i-（2-i）（2+i）-5

即復數(shù)Z=R的虛部是1

2-i

故選：D.

—_.___._什1、.曰UUUUUU___.

2、（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）在融。中，AB=cfAC=b，右點M滿足MC=25M，貝=）

12-2「5-221-

A.—b7+—cB.—7b——cC.—c——brD.—b7+—c

33333333

【答案】A

uuuruunuuu'uuniuunuuni/uunuun、iuum9111111r2r

【解析】由題意可得：AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-{AC-AB]=-AC+-AB=-b+-c.

33、>3333

故選：A.

3、（2023?江蘇徐州彳余州市第七中學?？家荒＃┤魪蛿?shù)z的共軌復數(shù)I滿足i「=4+3i（其中i為虛數(shù)單位）,

則z。的值為（）

A.幣B.5C.7D.25

【答案】D

【解析】：由題意iX=4+3i，則［=3-4i，所以，z=3+4i,

/.z-z=（3+4i）-（3-4i）=25

故選：D.

4、（2023?云南紅河?統(tǒng)考一模）已知向量2=（2,⑹,b=（4,-1）,且+,則實數(shù)機=（）

A.2B.—C.8D.±J13

【答案】D

【解析】由題意得a+B=（6,〃z-l）,a-b=（-2,m+V）,

由（〃—石）_L（〃+方）.得—+=—12+蘇—1=o,所以加=±VT5\

故選：D.

5、（2023?江蘇南京?南京市第一中學校考模擬預測）已知￡=（-2,-1）,g=（1,2）,若向量￡在向量B上的投

影向量為2，貝隆二（）

’4五8百、

A.B.

55J

4884

C.D.

5555

【答案】C

I

=|^|COSb4（L2）48

a-b\-—4----------

【解析】設(shè)向量2與向量5的夾角為e,則0F5551

故選：C.

6、（2023?江蘇徐州?徐州市第七中學?？家荒＃┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，E、尸分別在邊AD、上，AE=3ED,

DF=_FC,AF與5石相交于點G,記A8=1,AD=B,則不存=（）

B..+彳

1111

45~c3-61

C.—a+—bD.——a-\—b

11111111

【答案】D

【解析】過點尸作FN平行于BC,交BE于點、M,

1133

因為。尸=巾，則尸為OC的中點，所以腦V〃AE且MN=-AE=-x-AD=-AD,

2248

35

因為NF=AZ）,所以MF=NF—MN=AD——AD=-AD

88f

AE—,所以型

由?△fMG可得：——

FMFGFGFM

因為15=9通=9（而+而）=9（而+!麗=上超+9疝,

11111121111

—.3—6—

所以AG=3a+?力,

7、（2022?江蘇南京市高淳高級中學高三10月月考）已知點A,B,0均在半徑為疵的圓上，若?=2,

則前,前1的最大值為（）

A.3+2&B.2+2A/2C.4D.6

【答案】B

【解析】根據(jù)圓。半徑為夜，|AB|=2得到Q4LO5,以為羽y軸建立直角坐標系,

則A（0,72）,3（0,0）,設(shè)C（0cos&夜sin4,

則都=（0cos6,忘sin。-0）?（亞cos。-應，應sin6?）=2-2VIsin[6+￡）,當

sin6+（=-1時有最大值2+2應.

故選：B.

8、（2023?江蘇蘇州?蘇州中學?？寄M預測）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一

片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪

花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形

成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，

再去掉底邊，重復進行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為3,則圖③中兩.兩的值為（）

N

IM

①②③④

A.3A/3B.643C.6D.6夜

【答案】C

【解析】在圖③中，以。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

\OM\=2,OM=(2cosy,2smy)=(l,^),

|7w|=1,由分形知PN〃加，所以兩=',去),

所以麗=麗■+礪+麗■=§，￥),

所以麗.麗=1*°+尋友=6.

26

故選：C.

二、多選題

9、(2023?江蘇南京?南京市第一中學校考模擬預測)若復數(shù)z滿足：z(z+2i)=8+6i,則()

A.z的實部為3B.z的虛部為1

C.zz=VioD.Z在復平面上對應的點位于第一象限

【答案】ABD

【解析】設(shè)z=a+6i(a,beR),因為z(z+2i)=8+6i,所以$+2iz=8+6i，所以-26)+2<7i=8+6i,

所以/+爐-26=8，2a=6,所以a=3,b=l,所以z=3+i,所以z的實部為3,虛部為1,故A,B正確;

zz=|z|2=10,故C不正確；z在復平面上對應的點(3』)位于第一象限，故D正確.

故選:ABD.

10、(2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預測)設(shè)Z,1是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是

()

A.若忖+q=*W，則B.若同=忖，則+

c.若72=“，貝二/不與"垂直D.0?詼-@評不與"垂直

【答案】AB

【解析】a,b,z是三個非零向量，

A選項，兩邊平方得：即:+2.B+片=藍一2狙+片，

故7加=0，則々_L刃，A正確；

B選項，(￡+1).(￡-1)=￡，-『=同2-同,因為M=W，所以=0,

故,B正確；

C選項，a-c=b-c>故72-“=(￡一方"=0,貝與"垂直，C錯誤；

D選項，［?c)a-(a.c問.c=(B.c)(a.c)-(a.c)(B.c)=0,故修?c)a-(a-c忸與"垂直，D錯誤.

故選：AB

11、(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)已知平面向量￡=(-2,1),否=(4,2),c=(2,r),則下列說法正確的是()

A.若Z/不，貝卜=-1B.若6_1"，貝!U=-4

3-

C.若f=l,則向量方在"上的投影向量為］cD.若f>T,則向量方與"的夾角為銳角

【答案】AB

_?2

【解析】若￡/不，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)可得丁=—，即f=-L,所以A正確；

1t

若B_l_c，可得B.C=0,BP4x2+2?=0,解得f=-4,所以B正確；

,ci9C-—4+1-3f

若f=l,c=(2,l),由投影向量定義可知向量一在之上的投影向量為彳°=級弄c=-y。，即C錯誤；

若0Y,則標=4x2+2r>0,所以8s?，")=磊>0；

但當r=l時，cos??=l@?=0。，即此時向量B與"的夾角為零角，所以D錯誤.

故選：AB.

12、（2023?廣東廣州?高三廣東實驗中學?？茧A段練習）"圓幕定理"是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它

包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，

已知圓。的半徑為2,點P是圓。內(nèi)的定點，且。尸=0,弦AC,B。均過點P,則下列說法正確的是（）

A.而.正為定值

B.市.反的取值范圍是12,0］

C.當AC18D時，麗.①為定值

D.AC13。時，|前H而|的最大值為12

【答案】ACD

【解析】如圖，設(shè)直線PO與圓。于E,F.則

PA-PC=-\PA\PC\=-\EP\\PF\

=-{\OE\-\PO\）（OE\+\PO\）=\PO\i-\OE\2=-2,故A正確.

取AC的中點為M,連接OM,

貝磔灰=（麗+麗.（曲■+覺心兩、/

--------k2--------*2--------Q.

=OM-（4-OM）=2OM-4，

而04兩2s函2=2,

故況?反的取值范圍是［-4，。］，故B錯誤；

當AC43。時，ABCD=(,AP+IiB)(CP+PD)=APCP+PBPD

=-\AP\\CP\-\PB\\PD\=-2\EP\\PF\=-4,故C正確.

當AC13。時，圓。半徑廠=2,取AC中點為M,5￡＞中點為N,

(4-叩『+4-西y

222

貝11市汗|麗|=4(r-|OAf|)-4(r一|兩卜<16

4

=4.(8-2)2=144,

最后等號成立是因為I兩7+|兩『=|麗『=2,

不等式等號成立當且僅當I兩7=1麗『=1,故D正確.

故選:ACD.

三、填空題

13、（2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預測）已知平面向量?=（-2,4），B=（九1）,若Z與方垂直，則實數(shù)彳=

【答案】2

【解析】因為￡與石垂直，所以2石=0，即一22+4=0,解得4=2.

故答案為：2

14、（2021?廣東高三模擬）復數(shù)Z="的虛部是

2-z

3

【答案】-

1+z(l+z)(2+z)1+3，13.

【解析】Z=7(2T)3,)=『M+M，

3

Elz的虛部為《,

3

故答案為：5.

15、（2023?江蘇南京?南京市第一中學?？寄M預測）已知點。為△ABC的邊BC的中點，品=a+b，

衣=12人同=2*2,%,后的夾角為?則|叫=.

【答案】叵

2

uumUUUUU1U/_____.\2/____._____.\2

【解析】因為2AD=AB+AC，所以（2AO）=（AB+AC）,

所以4畫2=(21.=4問2+件-4a-&=16+l-4x2xcos^=13,

所以西=孚.

叵

故答案為：F

16、（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）在等腰梯形ABCD中，已知A8〃CD,AB=4,BC=2,ZABC=60°,動

—.1__.

點E和F分別在線段BC和0c上，且詼=2能，DF^—DC,當2=__________時，則荏有最小

9/1

值為.

■258

【答案】J-

【解析】因為在等腰梯形ABCD中，已知AB〃C￡>,/R=4,BC=2,ZABC=60°,可知。C=2,

所以荏?I5=4X2X；=4,ABDC=2x4=8,

AD.BC=2x2x1=2,南配=2x2x1_；］=_2,

則通./=(而+而)?(而+5F)=(南+/1團)?(而+。成

__1t__1________________1______Q2

ABAD+—ABDC+ABCAD+-BCDC=4+—+22——

9299A9

、340/8-34c458

>----1-2」--24=---F2x—=—.

9V92939

當且僅當成=22,即2=1時取等號，即最小值守.

故答案為：:.

四、解答題

17、（2022?江蘇泰州市泰興期中）（本題滿分12分）已知向量7=（2,3）,面=2行.

（1）若〃///?,求人的坐標;

(2)若(5a~2b).L(a+b),求。與/?的夾角.

【解析】

f,—13x=2y

(1)設(shè)b=(x,y),由。〃b且|刈=2恒，得|出不5=2寸E，...................2分

(x=4{x=-4ff

或jy=_6，???0=(4,6),或0=(—4,一6)........................5分

(2),：(5~a-,2b)l(a+~b),：.(5a~2b)?(a+T)=0,

.\5a*2+3fl?~b~2b2=0,..............................................................................7分

~*,-?-?—?a?b13I

?，?〃?。=13,設(shè)〃與。的夾角為仇則cos9=—\zc

\a\\b\W3X2W3，

7t~*,~*■jr

又6￡[0,7i|,，e=W，，4與n的夾角為不......................12分

18、(2021?湖北武漢市期中)計算下列各題：

a-⑵

1-i1+Z(1—i)y1+Zy

54

(4-3Z)(1-V3Z),3,mQ

(3)——…——;(4)z+2r+3i3+…+2019*192O2Oz2020.

(4+2z)+

心匚4=")6+(15[(1+Q2]3[(1-/)2]3

【解析】⑴

1-z1+z(1-0(1+0(1+0(1-01-z21-Z2

戶+應=4"4』.

22

「上1+i(1+z)22i,1-i(1-z)2-2i

(2)因為---=-----------=—=I,---------------

1-i(1-z)(l+021+z(l+z)(l-02

(4_3，)5”后)41(4一3獷(1一百7)4||(4一37)51?I(1—百，)41

(4+2z)8―1(4+27)81一|(4+2Z)8|

_|4-345.|1-后|4_55/24_義24_9

一|4+2z|8—(2后-28X54—16

(4)i+2r+3『+…+2019泮19+2O2Oz2020

=(z-2-3z+4)+(5z-6-7z+8)+---+(2017z-2018-2019z+2020)

=(2—2z)+(2—2，)+…+(2-2z)

=505x(2—2，)

=1010-1010/.

19、(2022?江蘇泰州中學高三10月月考)已知"=(2sinx,l),B=(cosx-smx,l),函數(shù)

(1)求/'(x)的最小正周期；

(2)求〃無)的單調(diào)減區(qū)間；

(3)求/'(x)在區(qū)間[-2,二]上的最大值.

88

【解析】(1)由/(x)=a?b=2sinx(cosx-sinx)+l=2sinxcosx-2sin2j;+l=sin2x+cos2x=yj2sin(2x+—),

27r

—所以兀0的最小正周期為兀.

(2)要求〃無)的單調(diào)減區(qū)間，只需2版+￡上工+生及航+2，kRZ,

242

解得反H—<x<kn+—,k^Z,所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kK+—,k/v+——,kEZ.

88L88J

冗37r7137171

(3)因為尤e[—-,—],所以lxe[—-,—].所以2XH—e[0,乃],

88444

當2xH—=—,即x=一時，"r)在區(qū)間[--，—]上的最大值為J5.

42888

20、（2022?江蘇海門中學、泗陽中學期中聯(lián)考）（12分）已知點D,P在銳角AABC所在的平面內(nèi)，且滿足

AD=2DC,BP=3BD.

(1)若善=x15+y公，求實數(shù)x,y的值；

(2)已知淳?BC=4S,其中S為AABC的面積.

①求證：tanB+tanC=tanBtanC；

②求tanBtanC的最小值，并求此時tanA的值.

【解析】

uuiuuuui__,__,ADDP2

(1)如圖，因為AD=2DC，BP=3BD.所以R===丁，

DCBD1

所以！ZMPyOCB,所以NPAD=NBCD,AP=2BC=2a,所以AP/ABC,

AB=2BC=2(AC-AB)=-2AB+2AC,5LAP=xAB+yAC,所以x=-2,y=2.

(2)①由(1)4S=APBC=2a22a?=4S=4xgaZ?sinC,

a=bsinC，由正弦定理得sinA=sin5sinC,

所以sin(B+C)=sinA=sinBsinC,即sinBcosC+cos5sinC=sinBsinC

又COSJBCOSCWO,所以tan5+tanC=tan5tanC.

②tanB>0,tanC>0,所以tanBtanC=tanB+tanC>2VtanBtanC，

解得tan5tanC24,當且僅當tan5=tanC=2時等號成立，所以tan5tanC的最小值為4.

tanB+tanC2+2_4

此時tanA.——tan(3+C)——

1-tanBtanC1-22-3

21、（2020.福建省福州第一中學高一期末）在等腰梯形中，已知AB〃DC,AB=4,BC=2,

ZABC=60°，動點E和廠分別在線段5C和。。上（含端點），且說=m阮,而=〃成且（加、n

為常數(shù)），設(shè)AB=〃,BC-b-

（I）試用a、b表示瓦方和衣;

（H）若加+〃=1,求瓦左?大戶的最小值.

【解析】（I）如下圖所示，過點。作。暇〃5C,交AB于點"，

由于ABC。為等腰梯形，則4￡)=3。=2,且NR4D=NA3C=60°，

-.-AB//DC,BPCD/IBM,又YDMIIBC,所以，四邊形3CDM為平行四邊形,

則。暇=5。=4。=2,所以，AADM為等邊三角形，且AM=2，

:.CD=BM=AB-AM=2,:.AB=2CD,

AE=AB+BE=AB+mBC=a+mb,

AF=AB+BC+CF=AB+BC+(l-n)CD=a+b-^(l-n)a=^-a+b；

一2,-2

(II)〃16,<7-5=|AB|-|BC|COS120°=4X2X-4,b=4,

由題意可知，由根+〃=1得出〃=1一機，

”一"+1_71-m+l-72-m-

所以，AF=a+b----------a+b-a+br