第3章圓3垂徑定理

一、選擇題

1、如圖，已知。。的直徑力6,弦。于點(diǎn)E,下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.AE=OEB.CE=DEC..OE=-CED.N/OU60。

答案：B

解析：解答：根據(jù)O。的直徑?弦8于點(diǎn)E

：.CE=DE.

故選B.

分析：根據(jù)直徑，旦L弦。于點(diǎn)E,由垂徑定理求出，CE=DE,即可得出答案.

2、。0的一條弦長(zhǎng)AB=12cm,直徑CDLAB千E,則Z廠的長(zhǎng)為（）

A.12cmB.6cmC.7cmD.8cm

答案：B

解析：解答：如圖：

。是直徑，CD±AB,/6=12cm,

AE=—AB=^cr（\（垂徑定理）.

2

故選B.

分析：根據(jù)垂徑定理解答即可，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.

3、如圖，在。0中，弦的長(zhǎng)為8cm,圓心0到的距離為3cm,則。0的直徑為（）

A.5cmB.10cmC.6cmD.14cm

答案：B

解析：解答：如圖，

過(guò)0作直徑CDLAB于E,連接OA,

則g3cm,AE=BE=—AB=4cm,

一2

在RtA/EO中，由勾股定理得：OA=vOE;+AE:=、恭不手=5（cm）,

則直徑8=20/=10cm,

故選B.

分析：過(guò)0作直徑于E,連接0Z,則g3cm,AE=BE=—/B=4cm,在RtA/EO中，由勾股定

2

理求出0/,即可得出答案.

4、如圖，已知。。弦46的長(zhǎng)6cm,OC±AB,0C=4cm,則。。的半徑為（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

答案：B

解析：解答：如圖：

連接0/.

OC±AB,/6=6cm,

AC=BC=-AB=3cm（垂徑定理）；

2

在RtAA0C中,根據(jù)勾股定理知，AO：=0C：+AC：,

.?.0A;=16+9=25,

Q4=5cm.

故選B.

分析：連接儀構(gòu)建RtAAOC,然后在RtAZOC中利用勾股定理求O。的半徑OA的長(zhǎng)即可.

5、如圖，已知。。的半徑為13,弦長(zhǎng)為24,則點(diǎn)。到/夕的距離是（)

A.6B.5C.4D.3

解析：解答：如圖：

???。。過(guò)圓心。，，8=24,

AC=BC=-AB=12,

2

在RtAZOC中，由勾股定理得：0C=vAO2-AC*=\13:-12:=5.

故選：B.

分析：過(guò)。作OJAB于C,根據(jù)垂徑定理求出AC.根據(jù)勾股定理求出即可.

6、如圖，O。的半徑為2,弦Z81。。于則。。等于（）

A.2\2B.v3C.1D.2-y3

A

答案：C

解析：解答:AB±OC,AB=2yj3,

1.

:.AC=BC=]AB=3；

又二O0的半徑為2,

OB=2,

：.在RtABOC中,g\0B二一BC：=1;

故選C.

分析：利用垂徑定理求得RtA6。。的直角邊6c的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理可以求得的長(zhǎng)度.

7、如圖，Z6是O。的弦，ODLAB于口，若47=10,OD=6,則的長(zhǎng)為（）

A.8B.16C.18D.20

解析：解答：：:是。。的弦，ODLAB于D,

=/。=加=』/6（垂徑定理），

2

:.AB=2AD,

在RtA中,ODVAB=^D,若/CM0,0g6,

心\AO：-OD、=vlO:-62=8（勾股定理）；

：.AB=16.

故選B.

分析：先根據(jù)勾股定理求出力。的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出46的長(zhǎng).

8、如圖，46是O。的直徑，弦于點(diǎn)&連接0C,若0G=5,68,則tanzCOE=（）

434

AB.-C.一D.

-i54

答案：D

解析：解答：:Z6是。。的直徑,弦CZU/I6于點(diǎn)E,CD=8,

：舊工。=4（垂徑定理）；

2

在RtA0"中：0c=5,CE=4,

：g3（勾股定理）.

CE4

tan/COE=----——

0E3

故選D.

分析：先由垂徑定理求得CE=4,然后在直角三角形OCE中，根據(jù)勾股定理求得0E,再根據(jù)三角函數(shù)的定

義求解.

9、已知O。的半徑為15,弦AB的長(zhǎng)為18,點(diǎn)P在弦AB上且0P=13,則AP的長(zhǎng)為（）

A.4B.14C.4或14D.6或14

答案：C

解析：解答：如圖：

作OCLAB于點(diǎn)C,

1

AC=—AB=9,

2

0C=yOA*-AC-=12,又OP=13,

?PC=、OP：-oc：=5,

當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí),AP=9-5=4,

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),AP=9+5=14.

故選：C.

分析：作OC,AB于點(diǎn)C,根據(jù)垂徑定理求出OC的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理求出PC的長(zhǎng)，分當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上

和當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上兩種情況計(jì)算即可.

10、如圖，OO的直徑為10,圓心0到弦AB的距離OM的長(zhǎng)為4,則弦AB的長(zhǎng)是()

A.3B.6C.4D.8

答案：B

解析：解答：如圖：

連接OA,

。0的直徑為10,

.OA=5,

V圓心0至I」弦AB的距離OM的長(zhǎng)為4,

由垂徑定理知，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，AM=-AB,

2

由勾股定理可得，AM=3,所以AB=6.

故選B.

分析：先根據(jù)垂徑定理求出AM=《AB,再根據(jù)勾股定理求出AD的值.

2

11、如圖，。。過(guò)點(diǎn)B、C,圓心0在等腰RtAABC的內(nèi)部，zBAC=90°,OA=1,BC=6.則。0的半徑為

()

A.6B.13C.\T3D.2.13

答案：C

解析：解答：如圖：

過(guò)點(diǎn)A作等腰直角三角形BC邊上的高AD,垂足為D,

所以點(diǎn)D也為BC的中點(diǎn).

根據(jù)垂徑定理可知0D垂直于BC.所以點(diǎn)A、0、D共線.

。0過(guò)B、C,

:。在BC的垂直平分線上，

AB=AC,圓心0在等腰RtAABC的內(nèi)部,

AD±BC,BD=DC=3,A0平分NBAC,

???ZBAC=90°,

ZADB=90°,ZBAD=45°,

ZBAD=zABD=45°,

AD=BD=3,

OD=3-1=2,

由勾股定理得：0B=\DO：-BD：=13.

故選C.

分析：延長(zhǎng)AO交BC于D,接OB,根據(jù)AB=AC,0是等腰RtAABC的內(nèi)心，推出AD±BC,BD=DC=3,

AO平分zBAC,求出NBAD=NABD=45°,AD=BD=3,由勾月殳定理求出OB即可.

12、坐標(biāo)網(wǎng)格中一段圓弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C,其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,1),則該圓弧

所在圓的圓心坐標(biāo)為()

A.(0,0)B.(2,-1)C.(0,1)D.(2,1)

答案：B

解析：解答：如圖：

連接AB、BC,分別作AB和BC的垂直平分線DM、EF,兩線交于M,則M為弧所在的圓的圓心，，

,?點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,3）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（6,1）,

二A的坐標(biāo)是（0,3,）,

?-.M點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,設(shè)M的縱坐標(biāo)為a,

M在AB與BC的垂直平分線的交點(diǎn)，

MA=MB=MC,

即M的坐標(biāo)是（2,-1）,

故選B.

分析：根據(jù)題意找出圓心M的位置，得出M在AB和BC的垂直平分線的交點(diǎn)上，求出A的坐標(biāo)，求出M的

橫坐標(biāo)，根據(jù)AM=BM,根據(jù)勾股定理求出AM和BM,即可得出方程，求出方程的解即可.

13、已知O0的直徑20,OP長(zhǎng)為8,則過(guò)P的弦中,弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有（）條.

A.1B.9C.17D.16

答案：D

解析：解答：如圖，

AB是直徑，OA=10,0P=8,過(guò)點(diǎn)P作CD±AB,交圓于點(diǎn)C,D兩點(diǎn).

由垂徑定理知，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，

PC=4,

在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6,

CD=12,則CD是過(guò)點(diǎn)P最短的弦長(zhǎng)為12；AB是過(guò)P最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)為20.

故過(guò)點(diǎn)P的弦的長(zhǎng)度都在12~20之間；

因此弦長(zhǎng)為12,13,14,15,16,17,18,19,20；

當(dāng)弦長(zhǎng)為12、20時(shí)，過(guò)P點(diǎn)的弦分別為弦CD和過(guò)P點(diǎn)的直徑，分別有一條；

當(dāng)弦長(zhǎng)為13,14,15,16,17,18,19時(shí)，根據(jù)圓的對(duì)稱性知，符合條件的弦應(yīng)該有兩條；

故弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有16條.

分析：求出過(guò)P點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度的取值范圍，取特殊解，根據(jù)對(duì)稱性綜合求解.

14、如圖所示,圓0的弦AB垂直平分半徑OC,則四邊形OACB()

A.是正方形B.是長(zhǎng)方形C.是菱形D.以上答案都不對(duì)

答案：C

解析：解答：因?yàn)閳A0的弦AB垂直平分半徑OC,

由垂徑定理可知，半徑OC垂直平分AB，即OC與AB互相垂直平分,所以四邊形OACB是菱形.

故選C.

分析：根據(jù)垂徑定理和特殊四邊形的判定方法求解.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

15、圓的半徑為13cm,兩弦:ABHCD,AB=24cm,CD=10cm,則兩弦AB、CD的距離是()

A.7cmB.17cmC.12cmD.7cm或17cm

答案：D

解析：解答：如圖：

第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時(shí)，已知CD=10cm,

DE=5cm.

???圓的半徑為13cm

0D=13cm,

利用勾股定理可得：0E=12cm.

同理可求0F=5cm,

/.EF=OE-OF=12-5=7cm.

第二種情況：只是EF=0E+0F=17cm.其它和第一種一樣.

故選D.

分析：此題可以分兩種情況，即兩弦在圓心的一側(cè)時(shí)和在兩側(cè)時(shí)，所以此題的答案有兩個(gè).

二、填空題

16、如圖,AB是。。的直徑，CD為。。的一條弦，CD_LAB于點(diǎn)E,已知CD=4,AE=1,則。。的半徑為

c.

答案：2.5

解析：解答：連接0C,如圖所示：

AB是OO的直徑，CD±AB,

CE=XCD=2,ZOEC=90°,

2

設(shè)OC=OA=x,則OE=x-l,

根據(jù)勾股定理得：CE：+OE:=OC;,

即22+01）2=/

解得:x=2.5;

故答案為：2.5.

分析：連接0C,由垂徑定理得出CE=?CD=2,設(shè)OC=OA=x,則OE=x-l,由勾股定理得出方程

解方程

2

即可.

17、如圖，O0的直徑AB=12,弦CD±AB于M,且M是半徑0B的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)

是____（結(jié)果保留根號(hào)）.

答案：

解析：解答：連。c,如圖,

直徑AB=12,M是半徑0B的中點(diǎn)，

二.0C=6,0M=3,

在RtAOCM中，CM=v0C；_0M：_v6：_3：3、口,

CD±AB,

1

CM=-CD,

2

CD=2CM=6,3.

故答案為

6V,3-.

分析：連OC,易得0C=6,0M=3，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CM=3-,由于CD^AB，根據(jù)垂徑定理得到

Vu

CM=[cD,即可計(jì)算出CD的長(zhǎng).

2

18、如圖，。0的半徑為5,弦AB的長(zhǎng)為8,M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段0M長(zhǎng)的最小值為

答案：3

解析：解答：如圖：

過(guò)。作OM_LAB于M,此時(shí)線段0M的長(zhǎng)最短，連接0A,

.,0M過(guò)0,OM±AB,

AM=—AB=—x8=4,

22

在RtAAMO中，由勾股定理得：OM=\o與一二M：=、釬；=3,

故答案為：3.

分析：過(guò)。作OMLAB于M,此時(shí)線段0M的長(zhǎng)最短，連接0A,根據(jù)垂徑定理求出AM,根據(jù)勾股定理求

出0M即可.

19、半徑等于12的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)為.

答案：123

解析：解答：如圖，

OD=CD=6,

???由勾股定理得AD=6m,

由垂徑定理得AB=12、我，

vQ

故答案為：12.-.

分析：先畫(huà)圖，根據(jù)題意得OD=CD=6,再由勾股定理得AD的長(zhǎng)，最后由垂徑定理得出弦AB的長(zhǎng)即可.

20、如圖，AB是O0的直徑CD是弦，若AB=10cm,CD=8cm,那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為

答案：6cm

解析：解答：過(guò)。作OG±CD于G,連接0C,如圖所示，

OG±CD,CD=8cm,

G為CD的中點(diǎn)，即CG=DG=4cm,

在RtAOCG中，OC=12AB=5cm,CG=4cm,

根據(jù)勾股定理得：OG=10c，CG：=3cm，

又AELEF,OG±EF,BF±EF,

.AEIIOGIIBF，又。為AB的中點(diǎn)，

G為EF的中點(diǎn),即OG為梯形AEFB的中位線,

1

OG=-(AE+BF),

2

貝!]AE+BF=2OG=6cm.

故答案為：6cm.

分析：過(guò)0作OG垂直于CD于G,由垂徑定理得到G為CD的中點(diǎn)，連接OC,在直角三角形OCG中，由

OC與CG的長(zhǎng)求出OG的長(zhǎng),再由AE、OG、BF都與EF垂直，得到三線平行，而。為AB的中點(diǎn)，利用平

行線等分線段定理得到G為EF的中點(diǎn)，利用梯形中位線定理得到AE+BF=2OG,求出即可.

21、已知：如圖,AB是。0的直徑，CD是。。的弦，fiAB±CD,垂足為E,連接0C,0C=5,CD=8,求

BE的長(zhǎng).

答案：2

解析：解答：：.?AB為直徑,AB±CD,

1

CE=DE=-CD=4,

2

在RtACOE中,0E=.0C:,

BE=OB-OE=5-3=2,

故BE=2.

分析：由于ABLCD,而AB是直徑，根據(jù)垂徑定理易求CE,再根據(jù)勾股定理可求CE,進(jìn)而可求BE.

22、如圖，O0直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求弦CD長(zhǎng).

解析：解答：如圖：

過(guò)。作OFJ_CD,交CD于點(diǎn)F,連接OD,

??.F為CD的中點(diǎn),即CF=DF,

■/AE=2,EB=6,

/.AB=AE+EB=2+6=8,

OA=4,

OE=OA-AE=4-2=2,

在RtAOEF中，NDEB=30°,

1

OF=-OE=1,

2

在RtAODF中，OF=1,0D=4,

根據(jù)勾股定理得：DF=,QQ2-op：=\五，

則CD=2DF=2、正.

分析：過(guò)。作OF垂直于CD,連接0D,利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn)，由AE+EB求出直徑AB的長(zhǎng)，

進(jìn)而確定出半徑0A與0D的長(zhǎng),由OA-AE求出0E的長(zhǎng)，在直角三角形OEF中，利用30。所對(duì)的直角邊等

于斜邊的一半求出OF的長(zhǎng)，在直角三角形ODF中,利用勾股定理求出DF的長(zhǎng),由CD=2DF即可求出CD

的長(zhǎng).

23、已知在以點(diǎn)0為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C,