數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)專題13旋轉(zhuǎn)綜合的4大幾何變換（本專題難度較大，部分解題方法需要后面學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)情況選做）◎類型一：線段問(wèn)題1．（2021·重慶市綦江區(qū)趕水中學(xué)三模）如圖①，在等腰和等腰中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，，．(1)若，求的長(zhǎng)度；(2)若將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請(qǐng)證明，；(3)如圖③，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，若，請(qǐng)直接寫出的最大值．2．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校八年級(jí)期中）如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接CP，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使CE與CB重合，得到，連接PQ．(1)求證：是等邊三角形；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；◎類型二：面積問(wèn)題3．（2021·遼寧丹東·八年級(jí)期末）如圖在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，，連接，，點(diǎn)M，P，N分別為的中點(diǎn)，連接，．(1)圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是___________；位置關(guān)系是____________．(2)將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2位置，連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)將繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．4．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；(2)探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．◎類型三：角度問(wèn)題5．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，．對(duì)角線相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)證明：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，四邊形BEDF是菱形，請(qǐng)給出證明．6．（2022·河北唐山·八年級(jí)期末）如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，點(diǎn)到邊的距離為_(kāi)___________，旋轉(zhuǎn)角____________；(2)如圖2，G為的中點(diǎn)，且，求證：；(3)小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說(shuō)明理由．◎類型四：其它問(wèn)題7．（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，，點(diǎn)DE、分別在邊AB、AC上，，連接DC，點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)，連接MQ、PM．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求PMQ的度數(shù)；(3)將△ADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，若，判斷△ADE的形狀，并說(shuō)明理由．8．（2022·江蘇淮安·二模）二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_______，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________；(2)如圖①，是該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，是直線上方的二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)連接，是平面內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、、．若的、兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．培優(yōu)專題13旋轉(zhuǎn)綜合的4大幾何變換（本專題難度較大，部分解題方法需要后面學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)情況選做）◎類型一：線段問(wèn)題1．（2021·重慶市綦江區(qū)趕水中學(xué)三模）如圖①，在等腰和等腰中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，，．(1)若，求的長(zhǎng)度；(2)若將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，請(qǐng)證明，；(3)如圖③，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，若，請(qǐng)直接寫出的最大值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的長(zhǎng)，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，，，先證明≌，從而證得≌，進(jìn)一步命題得證；（3）取的中點(diǎn)，連接，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可證得≌，進(jìn)而得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)交于，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，最大，然后解和，進(jìn)而求得結(jié)果．（1）解：在等腰中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在等腰中，，，，，在中，，，，；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，≌，，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，，是等腰直角三角形，，，；（3）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，≌，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接并延長(zhǎng)交于，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，最大，作于，在中，，，，，，．即的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．2．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校八年級(jí)期中）如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接CP，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使CE與CB重合，得到，連接PQ．(1)求證：是等邊三角形；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)（2＋）cm．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△PCE≌△QCB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定證明即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△BCE為等邊三角形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到△PBQ的周長(zhǎng)為2+CP，然后垂線段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解即可；（1）證明：∵繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使CE與CB重合，得到，∴△PCE≌△QCB，∴CP=CQ，∠PCE=∠QCB，∴△CPQ是等腰三角形，∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝60°，∴∠PCQ=∠PCE＋∠ECQ＝∠BCQ＋∠ECQ＝∠BCE＝∠BCD＝60°，即∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形.（2）存在∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=，∵在平行四邊形ABCD中，∴ABCD，∴∠ABC=180°﹣120°=60°，∴△BCE為等邊三角形，∴BE=CB=2cm，∠CBE＝60°，∵繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使CE與CB重合，得到，∴△PCE≌△QCB，∴EP=BQ，∴△PBQ的周長(zhǎng)＝PB＋BQ＋PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=2+CP，∴CP⊥AB時(shí)，△PBQ周長(zhǎng)最小，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，∠CPB＝90°，∴∠BCP＝180°－∠CPB－∠CBE＝30°，∴PB＝BC＝1cm，∴CP＝cm，∴△PBQ周長(zhǎng)最小為（2＋）cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形變化的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎類型二：面積問(wèn)題3．（2021·遼寧丹東·八年級(jí)期末）如圖在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，，連接，，點(diǎn)M，P，N分別為的中點(diǎn)，連接，．(1)圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是___________；位置關(guān)系是____________．(2)將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2位置，連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)將繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PMCE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出BD最大時(shí)，△PMN的面積最大，而B(niǎo)D最大是AB+AD=10，即可得出結(jié)論．（1）解：∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PNBD，PN=BD，∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PMCE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PNBD，∴∠DPN=∠ADC，∵PMCE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；（2）解：△PMN是等腰直角三角形．證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠BAD＝∠CAE又∵AB＝AC，AD＝AE∴△BAD≌△CAE∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE∵點(diǎn)P，M分別是DC，DE的中點(diǎn)∴PM是△DCE的中位線∴PM＝CE且PMCE同理PN＝BD且PNBD∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°∴△PMN是等腰直角三角形．（3）解：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，∴BD=AB+AD=11，∴PM=5，∴S△PMN最大=PM2=×()2=．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出PM=CE，PN=BD，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解（3）的關(guān)鍵是判斷出MN最大時(shí)，△PMN的面積最大．4．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；(2)探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【答案】(1)，(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出，，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出，得出，，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大值是，即可得出結(jié)論．（1）解：點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，．（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：，，即，，，，，，由三角形的中位線得，，，，，，，是等腰三角形，，，，，，是等腰直角三角形．（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，則面積為，最大時(shí)，面積最大，如圖，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，最大值為，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．◎類型三：角度問(wèn)題5．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，．對(duì)角線相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)證明：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF與EC總保持相等；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，四邊形BEDF是菱形，請(qǐng)給出證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)45°，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得,根據(jù)已知條件可得，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊證明即可；（2）通過(guò)證明△AOF≌△COE（ASA）．即可得證；（3）根據(jù)題意與勾股定理求得,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,得到，結(jié)合菱形的性質(zhì)和判定求解．（1）證明：如圖，∵平行四邊形ABCD中，ADBC，∴AFBE，∵旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，∠AOF＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴ABEF，∴四邊形ABEF是平行四邊形．（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，ADBC，∴∠OAF＝∠OCE，∵∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF＝CE．∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF與EC總保持相等．（3）當(dāng)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度時(shí)，四邊形BEDF是菱形．理由如下：由（2）知：AF＝CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD＝BC，∴DF＝BE，DFBE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．如圖：∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝AC＝1，∴AO＝AB，∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°∵AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，∴∠AOF＝45°，∴∠BOF＝90°，∴EF⊥BD．∴四邊形BEDF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及菱形性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)和判定是求解本題的關(guān)鍵．6．（2022·河北唐山·八年級(jí)期末）如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，點(diǎn)到邊的距離為_(kāi)___________，旋轉(zhuǎn)角____________；(2)如圖2，G為的中點(diǎn)，且，求證：；(3)小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)1，30(2)見(jiàn)解析(3)能，為或【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知點(diǎn)到邊的距離等于F到邊的距離，即DF=1，可知點(diǎn)到邊的距離為1；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即可判定，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到；（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，然后根據(jù)“SAS”可判斷，則；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而，則和為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)?，?dāng)和為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)和為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315°．（1）解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，點(diǎn)到邊的距離等于F到邊的距離，即DF=1，∴點(diǎn)到邊的距離為：1，∵CE=1，，∴在中，，∵，∴，故答案為：1，30；（2）證明：∵G為中點(diǎn)，∴，∴，∵長(zhǎng)方形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，在和中，∵∴，∴；（3）能，理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵，∴和為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角=，當(dāng)和為銳角三角形時(shí)，，則=，即旋轉(zhuǎn)角的值為135°或315°時(shí)，和全等．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．◎類型四：其它問(wèn)題7．（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，，點(diǎn)DE、分別在邊AB、AC上，，連接DC，點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)，連接MQ、PM．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求PMQ的度數(shù)；(3)將△ADE繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，若，判斷△ADE的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)△ADE是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形中位線定理解決問(wèn)題；（2）證明∠PMQ=∠B+∠ACB，可得結(jié)論；（3）證明△BAD≌△CAE(SAS)，∠ABD=∠ACE，再證明∠PMQ=∠ABC+∠ACB=120°，推出∠BAC=60°，可得結(jié)論．（1）證明：∵，，∴，∵P，M分別為DE，DC的中點(diǎn)，∴，，∵M(jìn)，Q分別為DC，CB的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）解：∵點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)，∴，，∴，∴；（3）解：△ADE是等邊三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴，，∵P，M為DE，DC的中點(diǎn)∴∴∵M(jìn)，Q為DC，BC的中點(diǎn)∴∴∴，∴，∴，又∵，∴△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題是幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．8．（2022·江蘇淮安·二模）二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_______，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________；(2)如圖①，是該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，是直線上方的二次函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)連接，是平面內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、、．若的