4.相似三角形的應(yīng)用過(guò)教材要點(diǎn)概覽利用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法(1)利用太陽(yáng)光線平行構(gòu)造相似,通過(guò)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例列比例式;(2)利用標(biāo)桿垂直地面構(gòu)造直角三角形相似;(3)利用鏡面反射構(gòu)造直角三角形相似.精講練新知探究探究點(diǎn)一利用相似測(cè)量物體高度例1

小明想利用太陽(yáng)光測(cè)量樓高,他帶著皮尺來(lái)到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對(duì)面墻上有這棟樓的影子,針對(duì)這種情況,他設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方案,具體測(cè)量情況如下:如圖所示(示意圖),小明邊移動(dòng)邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時(shí),可以使自己落在墻上的影子頂端與這棟樓落在墻上的影子頂端重疊.此時(shí),測(cè)得小明落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(點(diǎn)A,E,C在同一直線上).已知小明的身高EF是1.7m,請(qǐng)你幫小明求出樓高AB(結(jié)果精確到0.1m).鞏固訓(xùn)練1.為了測(cè)量成都熊貓基地觀光瞭望塔“竹筍”建筑物AB的高度,小軍同學(xué)采取了如下方法:在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子,并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記,然后人向后退,直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合(示意圖如圖所示),其中B,C,D三點(diǎn)在同一條直線上.已知小軍的眼睛距離地面的高度ED為1.75m,BC和CD的長(zhǎng)分別為40m和1m,求建筑物AB的高度.(說(shuō)明:由物理知識(shí),知∠ECF=∠ACF)探究點(diǎn)二利用相似測(cè)量寬度例2如圖所示,一條河的兩岸有一段是平行的,在河的南岸邊每隔4米有一棵樹,在河的北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊12米的點(diǎn)P處看北岸,發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住,并且在這兩棵樹之間還有兩棵樹,求河寬.鞏固訓(xùn)練2.如圖所示,某零件的外徑為10cm,用一個(gè)交叉卡鉗(兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等)可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3∶1,且量得CD=3cm,那么零件的厚度x為

cm.

0.53.如圖所示,平行于地面的圓桌正上方有一個(gè)燈泡(看作一個(gè)點(diǎn)),它發(fā)出的光線照射桌面后,在地面上形成圓形陰影,經(jīng)測(cè)量,地面上圓形陰影的半徑比桌面半徑大0.5米,桌面的直徑為2米,桌面距離地面的高度為1.5米,則燈泡到桌面的距離為

米.

3探究點(diǎn)三利用相似三角形證明線段之間的乘積關(guān)系例3如圖所示,在矩形ABCD中,AE⊥BD于點(diǎn)E.求證:BE·BC=AE·CD.鞏固訓(xùn)練4.如圖所示,在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),E為AC上的一點(diǎn),DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:BF·EC=AE·CF.4.相似三角形的應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固練1.在相同時(shí)刻,物高與影長(zhǎng)成正比,如果高為1m的標(biāo)桿影長(zhǎng)為2m,那么同一時(shí)刻影長(zhǎng)為30m的旗桿的高為()A.20m B.18m C.16m D.15mD2.學(xué)校門口的起降桿如圖所示,起降桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則起降桿的C端應(yīng)下降的垂直距離CD為()A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5mC3.如圖所示,小明為了測(cè)量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的臺(tái)階DE(DE=BC=0.5m,A,B,C三點(diǎn)共線),把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處,測(cè)得CG=15m,然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處,這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測(cè)得EG=3m,小明眼睛到地面的高度為1.6m,則涼亭的高度AB為()A.8.5m B.9m C.9.5m D.10mA4.已知旗桿高為8m,同時(shí)測(cè)得旗桿頂端與水平地面上的影子頂端距離是10m,如果此時(shí)附近小樹在水平地面上的影長(zhǎng)為3m,那么小樹高為

m.

5.(2025邢臺(tái)期中)有一個(gè)側(cè)面為梯形的容器,高為8cm,內(nèi)部倒入高為6cm的水.將一根長(zhǎng)為18cm的吸管如圖所示(單位:cm)放置,若有2cm露出容器外,則吸管在水中部分的長(zhǎng)度為

.

412cm6.陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi),在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)(如圖所示),已知亮區(qū)到窗口下墻腳的距離EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,則窗口底邊離地面的高BC=

m.

47.如圖所示,M,N為山兩側(cè)的兩個(gè)村莊,為了兩村交通方便,政府決定打一直線隧道,工程人員為計(jì)算工程量,必須計(jì)算M,N兩點(diǎn)之間的直線距離.選擇測(cè)量點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)B,C分別在AM,AN上,現(xiàn)測(cè)得AM=1km,AN=1.8km,AB=54m,BC=45m,AC=30m,求M,N兩點(diǎn)之間的直線距離.能力提升練D9.數(shù)學(xué)文化我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題:“今有邑方不知大小,各開中門,出北門三十步有木,出西門七百五十步見(jiàn)木,問(wèn):邑方幾何?”其大意是:如圖所示,一座正方形城池,A為北門中點(diǎn),從點(diǎn)A往正北方向走30步到B處有一樹木,C為西門中點(diǎn),從點(diǎn)C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木,則正方形城池的邊長(zhǎng)為()A.100步 B.150步 C.200步 D.300步D10.如圖所示,一教學(xué)樓AB的高為20m,教學(xué)樓后面水塔CD的高為30m,已知BC=30m,小張的目高EF為1.6m.當(dāng)小張站在教學(xué)樓前E處時(shí),剛好看到教學(xué)樓頂端A與水塔頂端D在一條直線上,則此時(shí)他與教學(xué)樓的距離BE為

m.

55.211.如圖所示,電線桿上有盞路燈O,小明從點(diǎn)F出發(fā),沿直線FM運(yùn)動(dòng),當(dāng)他運(yùn)動(dòng)2m到達(dá)點(diǎn)D處時(shí),測(cè)得影長(zhǎng)DN=0.6m,再前進(jìn)2m到達(dá)點(diǎn)B處時(shí),測(cè)得影長(zhǎng)MB=1.6m(圖中線段AB,CD,EF表示小明的身高).(1)請(qǐng)畫出路燈O的位置和小明位于F處時(shí),在路燈燈光下的影子;解:(1)如圖所示.(2)求小明位于F處的影長(zhǎng).素養(yǎng)培優(yōu)練12.“創(chuàng)新實(shí)踐”小組想利用鏡子與皮尺測(cè)量大樹AB的高度,因大樹底部有障礙物,無(wú)法直接測(cè)量,聰明的小穎借鑒《海島算經(jīng)》的測(cè)量方法設(shè)計(jì)出如圖所示的測(cè)量方案:測(cè)量者站在點(diǎn)F處