專題05一次函數(shù)

【知識回顧】

【思維導圖】

【知識清單】

【自變量的取值范圍考慮因素】

（1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

1

【一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】

正比例函數(shù)一次函數(shù)

概念一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k#0）的一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kWO）,那么y叫

函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例做x的一次函數(shù).當b=0時，是丫=1?,所以說正比例函

系數(shù)數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

自變量X為全體實數(shù)（實際問題根據(jù)實際情況判斷）

范圍

圖象一條直線

必過點(0,0)、(1,k)b

(0,b)和0)

k

走向k〉0時，直線經(jīng)過一、三象限；k>0,b>0,直線經(jīng)過第一、二、三象限

k<0時，直線經(jīng)過二、四象限k>0,b<0直線經(jīng)過第一、三、四象限

k<0,b>0直線經(jīng)過第一、二、四象限

k<0,b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限

增減性k〉0,y隨x的增大而增大；（從左向右上升）

k<0,y隨x的增大而減小。（從左向右下降）

傾斜度k越大，越接近y軸；k越小，越接近x軸

圖像的

b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移”個單位，得到y(tǒng)=kx+b；

平移

b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移”個單位，得到y(tǒng)=kx+b.

平移口訣：左加右減，上加下減

【函數(shù)解析式的確定】

用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：

（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方

程；

（3）解方程得出未知系數(shù)的值；

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

二、【考點類型】

考點1：函數(shù)的定義

典例1：（22-23八年級下?吉林長春?階段練習）下列關(guān)系式中y不是x的函數(shù)的是（）

A.y2=xB.y=xC.y=x2D.y=-x

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，在一個變化的過程中，有兩個變量y與％,若%每取一個值，y都有唯一的

一個值與它相對應(yīng)，貝的是工的函數(shù)，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：選項B、C、D中，每一個x值都有一個y值與它對應(yīng)，

.??選項B、C、D中y是x的函數(shù)，

2

選項A中，給久一個正值，y有兩個值與之對應(yīng),

二選項A中y不是x的函數(shù)，

故選：A.

【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，解此類題的關(guān)鍵是掌握，在一個變化的過程中，有兩個變量y與x,

若x每取一個值，y都有唯一的一個值與它相對應(yīng)，則y是x的函數(shù).

【變式1］（22-23八年級下?陜西西安?期中）下列圖形中，不能表示y是x函數(shù)的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)關(guān)系，據(jù)此

即可確定答案.

【詳解】A、對于自變量x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，

不符合題意；

B、對于自變量x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，不符合

題意；

C、對于自變量x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，不符合

題意；

D、對于自變量x的每一個確定的值，y都有兩個值與之對應(yīng)，不能表示y是x的函數(shù)，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了函數(shù)的定義.函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x,y,對于x的每一

個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y是久的函數(shù)，x叫自變量.

【變式2］（22-23八年級下.福建福州?期中）下列圖象中，能表示y是x的函數(shù)的是

3

【答案】B

【分析】對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)值有且只有一個值與之對應(yīng)，根據(jù)函數(shù)的概念即可求出

答案.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，

其中A,C,D選項中的圖，對于自變量x的某個值，y有兩個值與自變量x的值對應(yīng)，不符合函數(shù)定

義，不符合題意；

所以能表示y是x的函數(shù)是B選項的圖.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的概念.函數(shù)的意義反映在圖象上簡單的判斷方法是：作垂直x軸的直

線在左右平移的過程中與函數(shù)圖象只會有一個交點.

【變式3］（22-23八年級下?北京石景山?期末）如圖，用一根長40cm的鐵絲圍成一個矩形，小石發(fā)

現(xiàn)矩形的鄰邊a,b及面積S是三個變量，下面有三個說法：①6是。的函數(shù)②S是a的函數(shù)③a

是S的函數(shù).其中所有正確的結(jié)論的序號是（）

---------------\D

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得b+a=20,從而可得匕=20-a,即可判斷①;再利用矩形的面積可得S=ab,

從而可得S=-a2+20a,即可判斷②；根據(jù)-a?+20a=S,然后利用配方法可得（a-=100-S,

從而可得a=10士V100-S,即可判斷③.

4

【詳解】解：由題意得:

2(a+b)=40,

b+a=20,

b=20—a,

二b是a的函數(shù)，

故①正確；

???S=ab,

S=a(20—a)

———a2+20a,

S是a的函數(shù)，

故②正確；

v-a2+20a=S,

a2-20a=-S,

a?-20a+100=100—S,

???(a-10)2=100-S,

???a-10=±“00-S,

a=10±V100-S,

a不是S的函數(shù)，

故③不正確；

所以，所有正確的結(jié)論的序號是：①②，

故選：A.

【點睛】本題考查了函數(shù)的概念，常量與變量，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

考點2：自變量的取值范圍

典例2：(23-24九年級下?廣東江門?階段練習)函數(shù)y=空中，自變量x的取值范圍是()

X—3

A.x>2B.%>2且x豐3C.%>2D.%43

【答案】B

【分析】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負，以及分式分母不為零，建立

不等式求解，即可解題.

【詳解】解：由題意得，X—220且X-370,

解得%>2且%豐3,

故選：B.

5

【變式1】（23-24九年級下?四川綿陽?階段練習）函數(shù)y=高-V7不I自變量x的取值范圍在數(shù)軸

上表示為（）

r1

H「I2

A2OCO

-1

0廠A

D2

【分析】本題考查了求函數(shù)自變量取值范圍，二次根式有意義的條件及分式有意義的條件、一元一次

不等式組的解集在數(shù)軸上的表示.利用二次根式有意義的條件及分式有意義的條件即可求得X>1,

把解集在數(shù)軸上表示出來即可求解.

【詳解】解：由題意得：

（2-x>0

1%+1>0'

解得：一1W%<2,

把-1<%<2在數(shù)軸上表示為：

J?_<!>~>

-102

故選：A.

【變式2］（22-23八年級下.寧夏固原.期末）若函數(shù)y=量有意義，則自變量％的取值范圍在數(shù)軸

上表示正確的是（）

1?

o

-2

Ac.

Io

-2X

【答案】B

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0以及分式有意義的條件，進行計算即可得出x的取值范圍，然后在數(shù)

軸上表示即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可知2-尤20且花三豐0,

2—%>0,

解得：%<2,

在數(shù)軸上表示如下：

-2-1012

6

故選：B.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是從三個方面考慮:

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母

不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

【變式3（2023?黑龍江綏化?二模）在函數(shù)、=焉+?！?）。中，自變量x的取值范圍是（）

A.%>—3B.%>—3C.久H3D.x>—3且久H3

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負性、分式的分母不能為0、。的0次方?jīng)]有意義即可得.

【詳解】由二次根式的被開方數(shù)的非負性、分式的分母不能為0、0的0次方?jīng)]有意義得：仔+

解得「二

即自變量x的取值范圍是x>一3且匯豐3

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的被開方數(shù)的非負性、分式的分母不能為0、零指數(shù)幕的定義，掌握各

性質(zhì)和定義是解題關(guān)鍵.

考點3：函數(shù)圖像的識別

典例3：（22-23七年級下?四川成都?期末）如圖是兩圓柱形連通容器，向甲容器勻速注水，下面可以

近似的刻畫甲容器的水面高度4（cm）隨時間f（min）的變化情況的圖形是（）

C.

【答案】C

【分析】此題考查了用圖象描述實際問題中變化情況的能力，根據(jù)三個階段甲容器的水面高度隨時

間的增長速度確定出此題正確的結(jié)果.

7

【詳解】解：剛開始時注水都在甲容器，水面高度增長速度不變；

當甲容器中水位到達連通部分后注水開始流向乙容器，此時甲容器的水面高度不變；

當乙容器水位也到達連通部分后，甲、聯(lián)通部分和乙三個容器水面一起升高，但升高速度較慢；

當水面超過聯(lián)通部分，甲、乙兩容器中水位同時上升，此時水面高度上升比三個容器一起上升的快,

但速度比只有甲容器時慢，

選項C中圖象符合該變化過程.

故選：C.

【變式1】（2023?北京石景山?一模）勻速地向如圖所示的一個空瓶里注水，最后把空瓶注滿，在這

個注水過程中，水面高度力與注水時間/之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

【答案】A

【分析】本題考查函數(shù)的圖象，能根據(jù)瓶子的形狀判斷出水面上升的高度與注水時間的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)空瓶的形狀，對水面高度和注水時間的關(guān)系依次進行判斷即可解決問題.

【詳解】解：由題知，

因為勻速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圓錐的一部分，

所以在剛開始注水的時候，水面隨著注水時間的增加，高度逐漸升高，且單位時間內(nèi)升高的高度越來

越高.

因為瓶子的上半部分是圓柱，

所以水面隨著注水時間的增加，高度逐漸升高，且單位時間內(nèi)升高的高度相同，即勻速上升.

故選：A.

【變式2］（2023?黑龍江綏化?模擬預(yù)測）一段筆直的公路4C長20千米，途中有一處休息點B,長

8

15千米，甲以15千米/時的速度勻速跑至點B,原地休息半小時后，再以10千米/小時的速度勻速跑

至終點C；乙以12千米/時的速度勻速跑至終點C,下列選項中，能正確反映甲、乙兩人出發(fā)后2小時

內(nèi)運動路程y（千米）與時間久（小時）函數(shù)關(guān)系的圖象是（

【答案】A

【分析】分別求出甲乙兩人到達C地的時間，再結(jié)合已知條件即可解決問題.

【詳解】解；由題意得：甲跑到B地所花費的時間為：15+15=lh,甲在B地休息的時間為0.5h,甲

從B地跑到C地花費的時間為：（20—15）+10=0,5h,總共花費時間為1+0.5+0.5=2h,

乙跑到C地所花費的時間為：20+12=|h<2h,

由此可知正確的圖象是A,

故選：A.

【點睛】本題考查函數(shù)圖象，路程、速度、時間之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意求出兩人到達C地

的時間，屬于中考?？碱}型.

【變式3］（22-23八年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期末）周末，小麗同學做了以下幾件事情：

第一件：小麗去文具店購買黑色水筆，支付費用與購買黑色水筆支數(shù)的關(guān)系：

第二件：小麗去奶奶家吃飯，飯后，和奶奶聊一會天，然后再按原速度原路返回，小麗離家的距離與

時間的關(guān)系；

第三件：小麗和奶奶聊天時，了解到：奶奶用的手機是含有月租費的計費方式，奶奶每月支付的話費

與通話時間的關(guān)系.

用下面的函數(shù)圖像刻畫上述事情，排序正確的是（）

9

(3)B.(2)(1)(3)C.(1)(3)(2)D.(2)

（3）（1）

【答案】C

【分析】小麗去文具店購買黑色水筆，支付費用與購買黑色水筆支數(shù)成正比例關(guān)系；小麗去奶奶家吃

飯，小麗離家的距離從。開始變大，到達奶奶家吃飯的時候與家的距離不變，返回時與家的距離變小

直至變?yōu)?;奶奶用的手機是含有月租費的計費方式，奶奶每月支付的話費與通話時間成一次函數(shù)的

關(guān)系，據(jù)此即可得到答案.

【詳解】解：???小麗去文具店購買黑色水筆，支付費用與購買黑色水筆支數(shù)成正比例關(guān)系，

???該變化對應(yīng)圖象（1）,

???小麗去奶奶家吃飯，飯后，和奶奶聊一會天，然后再按原速度原路返回，

???該變化對應(yīng)圖象（3）,

???奶奶用的手機是含有月租費的計費方式，奶奶每月支付的話費與通話時間成一次函數(shù)關(guān)系，

???該變化對應(yīng)圖象（2）,

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是了解兩個變量之間的關(guān)系，解決此類題目還應(yīng)有一定

的生活經(jīng)驗.

考點4：由函數(shù)圖像獲取信息

典例4：（2023?河南周口?模擬預(yù)測）根據(jù)研究，人體內(nèi)血乳酸濃度升高是運動后感覺疲勞的重要原

因，運動員未運動時，體內(nèi)血乳酸濃度通常在40mg/L以下；如果血乳酸濃度降到50mg/L以下，運動

員就基本消除了疲勞，體育科研工作者根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，繪制了一幅圖象，它反映了運動員進行高強度

運動后，體內(nèi)血乳酸濃度隨時間變化而變化，下列敘述錯誤的是（）

，'血乳酸濃度（mg/L）

200

圖中實線表示采用慢跑活動方式放松

150

時血乳酸濃度的變化情況；

100

虛線表示采用靜坐方式休息時血乳酸

50

濃度的變化情況。

°20406080100120r（min）

A.體內(nèi)血乳酸濃度和時間是變量

B.當t=20min時，兩種方式下的血乳酸濃度均超過150mg/L

10

C.采用靜坐方式放松時，運動員大約30min后就能基本消除疲勞

D.運動員進行完劇烈運動，為了更快達到消除疲勞的效果，應(yīng)該采用慢跑活動方式來放松

【答案】C

【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象橫縱坐標表示的意義判斷即可求解，理解函數(shù)圖象橫

縱坐標表示的意義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，

A、體內(nèi)血乳酸濃度和時間t均是變量，該說法正確，故選項A不合題意；

B、當t=20min時，兩種方式下的血乳酸濃度均超過150mg/L,該說法正確，故選項B不合題意；

C、采用靜坐方式放松時，運動員大約70min后就能基本消除疲勞，原說法錯誤，故選項C符合題意；

D、運動員進行完劇烈運動，為了更快達到消除疲勞的效果，應(yīng)該采用慢跑活動方式來放松，該說法

正確，故選項D不合題意；

故選：C.

【變式1】（23-24七年級下?河南?期中）如圖1,四邊形4BCD是長方形，點P從邊4D上點E出發(fā),

沿直線運動到長方形內(nèi)部一點處，再從該點沿直線運動到頂點2,最后沿BC運動到點C,設(shè)點P運

動的路程為的面積為》圖2是y關(guān)于x變化的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象下列判斷不正確的是（）

A.AB=6

B.點E為4D的中點

C.當x=3時，A2PE的面積為6

D.當3<x<8時，AP長度的最小值為1

【答案】D

【分析】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，三角形面積的相關(guān)計算，垂線段最短，在解題時根據(jù)

函數(shù)的圖象求出有關(guān)的線段的長度，分析各個選項即可得到答案.

【詳解】解：由題意知，當尸與8重合時，x=8,SMDP最大，

當點P在BC上運動，SACDP逐漸減小，直至P與C重合時，則x=16,

BC=16-8=8,SACDP的最大值=-CD=24,

CD=AB=6,A正確；

11

由函數(shù)圖象可知，當0WxW3時，△CDP的面積始終為12,

設(shè)八CDP邊C0的高為人

此時S^CDP=-CD?hf

如圖，點P在EF上，

DE=4,

???點E是/。的中點，B正確；

???點七是40的中點，EF=3,

???AE=4,

?,?當％=3時，S^AEP=^AE-EF=6,C正確；

點尸從ZD的中點出發(fā)，作GFLAB,連接ZF,

11

■■-SAABF=-AB-GF=-BF-AH,

AH=y,

???當3SXW8時，4P長度的最小值為g,

??.D錯誤.

故選：D.

【變式2］（23-24八年級下?上海閔行?期中）已知：如圖，甲、乙兩個工程隊合作修一條長為3000

米的公路，假設(shè)甲、乙兩個工程隊的工作效率是一定的.甲隊單獨做了20天后，乙隊加入合作完成

剩下的全部工程.完成的工程量y（米）與工程時間無（天）的關(guān)系如圖所示.下列結(jié)論中錯誤的是

（）

12

A.完成該工程一共用了30天B.乙工程隊在該工程中一共工作了10天

C.甲工程隊每天修路50米D.乙工程隊每天修路200米

【答案】D

【分析】本題考查了函數(shù)圖象獲取信息以及一元一次方程的工程問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)甲隊單獨做了20天，完成1000米，得出甲工程隊每天修路50米，因為甲、乙兩個工

程隊的工作效率是一定的，則列式3000—1000=10x（x+50）,得出乙工程隊每天修路150米，結(jié)

合圖象性質(zhì)，即可作答.

【詳解】解：從圖象可知，工程時間x=30,所對應(yīng)的是y=3000

完成該工程一共用了30天，故A是正確的；

V30-20=10（天）

乙工程隊在該工程中一共工作了10天，故B是正確的；

:甲隊單獨做了20天，完成1000米，

...1000+20=50

即甲工程隊每天修路50米；故C是正確的；

設(shè)乙工程隊每天修路x米，

則3000-1000=10x（x+50）

解得％=150

乙工程隊每天修路150米，故D是錯誤的

故選：D

【變式3］（23-24八年級下.重慶?階段練習）甲、乙兩工程隊分別同時鋪設(shè)兩條600米長的管道，所

鋪設(shè)管道長度y（米）與鋪設(shè)時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

13

A.甲隊每天鋪設(shè)管道100米；

B.從第三天開始，乙隊每天鋪設(shè)管道50米；

C.甲隊比乙隊提前3天完成任務(wù)；

D.當久=2或6時，甲乙兩隊所鋪設(shè)管道長度相差100米.

【答案】C

【分析】本題考查了函數(shù)圖像，從函數(shù)圖像獲取信息是解題的關(guān)鍵；由圖像知，甲隊6天鋪設(shè)了600

米，則可求得甲隊每天鋪設(shè)管道的長度，從而判斷選項A；由圖像知，乙從第三天開始到第六天，4

天共鋪設(shè)了200米，則可求得每天鋪設(shè)管道的長度，從而判斷選項B；根據(jù)乙從第三天開始鋪設(shè)的速

度可計算出完成管道鋪設(shè)的時間，與甲完成的時間比較即可判斷選項C；根據(jù)前面選項A與B的計

算，即可對選項D作出判斷，最后確定答案.

【詳解】解：由圖像知，甲隊6天鋪設(shè)了600米，則甲隊每天鋪設(shè)管道的長度為600+6=100（米），

故選項A正確；

由圖像知，乙從第二天后到第六天,4天共鋪設(shè)了200米，則每天鋪設(shè)管道的長度為（500-300）+（6-

2）=50（米）,故選項B正確；

?.?乙從第三天開始鋪設(shè)的速度為每天50米，

...乙完成剩下管道鋪設(shè)的時間為：（600-300）-50=6（天），完成整個管道鋪設(shè)的時間為2+6=8

（天），

.??甲比乙提前完成的時間為8—6=2（天），故選項C錯誤；

當％=2時，甲乙兩隊所鋪設(shè)管道長度相差（100—50）X2=100（米）；

當久=6時，甲乙兩隊所鋪設(shè)管道長度相差600-500=100（米），

故選項D正確，

故選：C.

考點5：動點問題的函數(shù)圖像

典例5：（23-24八年級下?河南鄭州?期中）如圖1,在AaBC中，N8=60。動點P從點A出發(fā)沿折線

28-BC勻速運動至點C后停止.設(shè)點尸的運動路程為x,線段4P的長度為y,圖2是y與x的函數(shù)

關(guān)系的大致圖象，點M為曲線DE的最低點，貝IJBC邊的長為（）

14

圖1圖2

A.2V3B.2C.3V3D.3

【答案】C

【分析】作4D1BC,當動點P運動到點D時，線段AP的長度最短，止匕時4B+BD=3W，當動點P

運動到點C時，運動結(jié)束，此時4C=內(nèi)，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：作4D1BC,垂足為D,

當動點尸運動到點。時，線段4P的長度最短，此時點P運動的路程為3次，即48+8。=3次，

當動點尸運動到點C時，運動結(jié)束，線段4P的長度就是4c的長度，此時AC=舊，

?：Z.ABC=60°,

：.^BAD=30°,

：.AB=2BD,

：.AB+BD=3BD=36,

：.BD=V3,AB=2V3,

：.AD=7AB2-BD2=3,

在RtAACD中，AC=TH,

CD=7AC2—AD2=2V3,

：.BC=BD+CD=3V3,

故選：C.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，含30度角的直角三角形的特征.讀

懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2024.甘肅天水.一模）如圖：菱形4BCD的對角線4C上有一動點P,BP的長y關(guān)于點P運

動的路程比的函數(shù)圖像如圖，則該菱形的面積為（）

15

【答案】D

【分析】本題考查了函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，點到直線的距離，連接BC,根據(jù)函數(shù)圖象知當BPLAC

時，BP=6,IAC=8,即可得到BD=12,根據(jù)菱形的面積公式即可求解.

【詳解】解：連接交BD于點0,

由函數(shù)圖象知當BP1AC時，BP最短,

此時BP=6,即8。=6,A0=8,

???BD=12,AC=16,

??.該菱形的面積為：1AC-BD=96,

故選：D.

【變式2】（23-24八年級下?湖南郴州?階段練習）如圖①，在四邊形4BCD中，BC||AD,乙4=90。,

點尸從點A出發(fā)，沿4-BTC—D運動到點D.圖②是點尸運動時，△PAD的面積S與點P運動的

路程x之間的關(guān)系圖象，則a的值為（）

圖②

A-1B.4C.5D.6

【答案】D

16

【分析】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確題意，能

從函數(shù)圖象中找到我們需要的信息，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

過點C作CE1AD于點E,首先根據(jù)44CP的面積是9得到4D=7,然后得到四邊形4BCE是矩形,

設(shè)BC=x,貝1JQE=7-久，CD=8-%,根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】如圖，過點C作CE14D于點E,

由圖象可知，點P從A到3運動的路程是3,

當點尸與點2重合時，AADP的面積是日，

.ADAB_AD-3_21

"2?2?2，

解得4。=7,

又BC||AD,4=90°,CE1AD,

4B=90°,/.CEA=90°,

二四邊形4BCE是矩形，

???CE=AB=3,BC=AE,

設(shè)BC=x,則DE=7-x,CD=8-x,

在Rt△￡)￡■￡■中，DE2+CE2=CD2,

即(7—％)2+32=(8-%)2,

解得x=3,

二a=3+3=6.

故選：D.

【變式3](2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)圖1是一座立交橋的示意圖(道路寬度忽略不計)，A為入口，

RG為出口，其中直行道為28,CG,EF,且AB=CG=EF,彎道為以點。為圓心的一段弧，且此，

m比所對的圓心角均為90。.甲、乙兩車由A口同時駛?cè)肓⒔粯?，均?0m/s的速度行駛，從不同

出口駛出，其間兩車到點O的距離y(m)與時間x(s)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說

法錯誤的是()

17

A.甲車在立交橋上共行駛8s；B.從/口出比從G口出多行駛40m；

C.甲車從G口出，乙車從P口出；D.立交橋總長為160m

【答案】D

【分析】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，由圖象可知，兩車通過糜，m近弧時每段所用時

間均為5-3=2s,通過直行道ZB,CG,EF時，每段用時為3s,據(jù)此逐一判斷即可.

【詳解】解：由圖象可知，兩車通過此，CB,比弧時每段所用時間均為5-3=2s,通過直行道

AB,CG,EF時，每段用時為3s.

因此，甲車所用時間為3+2+3=8s,故A正確，不符合題意；

根據(jù)兩車運行路線，從尸口駛出比從G口多走弧長比＞,處之和，用時為4s,則多走4x10=40m,

故B正確，不符合題意；

根據(jù)兩車運行時間，可知甲先駛出，應(yīng)從G口駛出，乙車從P口出，故C正確，不符合題意；

根據(jù)題意立交橋總長為（3x2+3x3）xl0=150m,故D錯誤,符合題意；

故選：D.

考點6：一次函數(shù)、正比例函數(shù)定義

典例6：（2023八年級下?全國?專題練習）下列各關(guān)系中，符合正比例關(guān)系的是（）

A.正方形的周長C和它的一邊長a

B.距離s一定時，速度v和時間，

C.長40米的繩子減去x米，還剩y米，x和y

D.正方體的體積V和棱長m

【答案】A

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)定義即可得答案.

【詳解】A.根據(jù)正方形的周長公式可得C=4a,這是一個正比例函數(shù)；

B.根據(jù)速度=路程+時間可得"=這是一個反比例函數(shù)；

C.根據(jù)剩下的長度=總長-減去的長度可得y=40-%,這是一個一次函數(shù)；

D.根據(jù)正方體的體積公式，可得了=巾3,是一個三次函數(shù)，不是正比例函數(shù).

18

故選：A.

【點睛】本題考查正比例函數(shù)定義和表達式，掌握其概念是解題關(guān)鍵.

【變式1】（22-23八年級上.江蘇揚州.期末）規(guī)定：［k,b］是一次函數(shù)y=kx+b（Kb為實數(shù)，k去

0）的“特征數(shù)”.若“特征數(shù)”是［4,爪-4］的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點（2+小，2-m）所在的

象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義求出機的值，然后求出點的坐標即可判斷.

【詳解】解：由題意得：

特征數(shù)”是［4,帆-4］的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，

:.m-4=0,

2+m=6,2-m=-2,

...點（6,-2）在第四象限，

故選：D.

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式21（23-24八年級上?江蘇連云港?階段練習）下列函數(shù)：①y=-%；②y=2x+11；③丫=-%2+

（%+1）（%-2）；④y=:中，關(guān)于尤的一次函數(shù)的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題主要考查一次函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的定義（y=kx+b的定義條件是：鼠b為常

數(shù)，k手0,自變量次數(shù)為1）是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進行逐一分析即可.

【詳解】解：一次函數(shù)有：①y=-x；②y=2x+11；③y=-x2+（%+1）（%-2）=-%-2；@y=1

不是一次函數(shù)；

綜上所述，正確的有3個，

故選：B.

【變式3］（22-23八年級上?湖北宜昌?期中）如果y=（zn—2）x/-3+2是一次函數(shù)，那么根的值是

（）

A.2B.-2C.±2D.±V2

【答案】B

19

【分析】根據(jù)一次函數(shù)定義：①含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)最高次數(shù)為1次；③整式方程，并且注意，

一次項系數(shù)不能為0,列式求解即可得到答案.

【詳解】解：=（m-2）xm2-3+2是一次函數(shù)，

/.m2—3=1,且??1—2力0,解得?=-2,

故選：B.

【點睛】本題考查根據(jù)一次函數(shù)定義求參數(shù)，掌握一次函數(shù)定義：①含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)最高

次數(shù)為1次；③整式方程，并且注意，一次項系數(shù)不能為0,準確列式是解決問題的關(guān)鍵.

考點7：判斷一次函數(shù)圖像

典例7：（22-23八年級上?江蘇鹽城?期末）下列圖象中，可以表示一次函數(shù)y=kx-b與正比例函數(shù)

y=kbx（k,b為常數(shù)，且協(xié)40）的圖象不可能的是（）

【答案】A

【分析】本題考查正比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象，

可以得到班的正負和k、b的正負，然后即可判斷哪個選項符合題意.

【詳解】A、由一次函數(shù)的圖象可知k<0,b<0,由正比例函數(shù)的圖象可知初<0,故選項A不可

能，符合題意；

B、由一次函數(shù)的圖象可知k>0,b<0,由正比例函數(shù)的圖象可知協(xié)<0,故選項B可能，不符合

題意；

C、由一次函數(shù)的圖象可知k<0,b<0,由正比例函數(shù)的圖象可知kb>0,故選項C可能，不符合

題意；

D、由一次函數(shù)的圖象可知k>0,b>0,由正比例函數(shù)的圖象可知劭>0,故選項D可能，不符合

題意；

故選：A.

【變式1】（2024九年級下?廣東?專題練習）關(guān)于x的正比例函數(shù)y=kx與一次函數(shù)y=kx+久一k的

大致圖象不可能是（）

20

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，根據(jù)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象性質(zhì)作

答，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象

的性質(zhì).

【詳解】解：令+=時，x—k,

當k>0時，正比例函數(shù)y=kx圖象經(jīng)過一、三象限，一次函數(shù)y=kx+x-k=(k+l)x-k的圖象

經(jīng)過一、三、四象限，兩直線的交點在第一象限；

當一1<k<0時，正比例函數(shù)y=kx圖象經(jīng)過二、四象限，一次函數(shù)y=kx+x—k=Qk+l)x-k的

圖象經(jīng)過一、二、三象限，兩直線的交點在第二象限；

當k<-l時，正比例函數(shù)y=kx圖象經(jīng)過二、四象限，一次函數(shù)丫=kx+x-k=(k+l)x-k的圖

象經(jīng)過一、二、四象限，兩直線的交點在第二象限；

故選：D.

【變式2](2024八年級?全國?競賽)在同一坐標系內(nèi)，直線匕:)/=依和％：y=(k-3)x+k的位置

可能是().

21

【答案】c

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的判斷，熟練掌握一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題詞的關(guān)鍵.

銜求得兩一次函數(shù)圖象的交點，根據(jù)交點可排除A,D選項，再根據(jù)當k>0時，C選項符合題意,

當k<0時，排除B選項.

【詳解】解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：親―，

——5JX十K

X=-

解得：Q

（"I"

與比的交點坐標為修，斗,

?：k寸0,

—>0,

3

???交點必在久軸上方，故可排除A,D選項.

當k>0時，C選項符合題意，

當k<0,%與y軸的交點應(yīng)在y軸下方，故又可排除B選項.

故選：C.

【變式3]（22-23八年級下?福建福州?期末）已知函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，函數(shù)y=bx+k的

圖象大致是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=kx+匕的圖象可知k>0,b<0,然后根據(jù)一次函數(shù)是性質(zhì)即可判斷.

22

【詳解】解：由一次函數(shù)y=kx+b的圖象可知k>0,b<0,

二一次函數(shù)y=bx+k的圖象經(jīng)過一、二、四象限，

故選：C.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是通過圖像知道k和b的取值范圍以及熟知一次函數(shù)

的圖像性質(zhì).

考點8：一次函數(shù)圖像性質(zhì)一一增減性

典例8：（23-24八年級上?貴州貴陽?期末）下列函數(shù)中，y的值隨x增大而增大的是（）

A.y=-2x+1B.y=—|xC.y=2x+1D.y=—x+2

【答案】C

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性.熟練掌握一次函數(shù)y=/?+/卜不0）中，當k>0時，y

隨x的增大而增大.當k<0時，y隨x的增大而減小，是解決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)一次函數(shù)自變量的系數(shù)的正負，判定一次函數(shù)的增減性，進行解答即可.

【詳解】A.y=-2%+1,

V-2<0,

的值隨x增大而減小，

.??此選項不符合題意；

1

BD.y=--x,

3

???y的值隨元增大而減小，

???此選項不符合題意；

C.y=2x+1,

V2>0,

的值隨x增大而增大，

.?.此選項不符合題意；

D.y=—x+2,

V-1<0,

y的值隨x增大而減小，

此選項不符合題意.

故選：C.

【變式11（23-24八年級上?浙江寧波?期末）若一次函數(shù)y=（4-3k）x-2的圖象經(jīng)過點4（乙,力）和

點8（%2，、2），當％1>%2時，Y1<72>則k的取值范圍是（）

23

3344

A.fc<-B./c>-C.k<-D./c>-

4433

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次項的系數(shù)決定函數(shù)的增減性質(zhì)，掌握此性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可確定一次項系數(shù)的符號，從而可確定m的取值范圍.

【詳解】解：當%1>%2時，為<丫2，則y隨x的增大而減小，

A4-3fc<0,

解得：k>l

故選：D.

【變式2］（23-24八年級上?浙江?期末）已知（勺，k）,（x2,y2）,（%3,%）為直線y=2x-1上的三

個點，且/<%2<右，則以下判斷正確的是（）

A.若<0，則y，2>0B.若％2%3<0,則當光>0

C.若久2>0，則y2y3>0D.若％2%3<0，則y，3>0

【答案】B

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，先求出此直線交y軸于（0,-1）,交X軸于G，0）,畫出圖象，

結(jié)合一次函數(shù)的增減性，逐項判斷即可得出答案，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的

思想是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當％=0時，y=—1,則此直線交y軸于（0,-1）,

當y=0時，2%-1=0,解得：x=|,則此直線交x軸于（3，0），

畫出一次函數(shù)y=2x-1的圖象如圖所示：

若%1%3V°，且％1<X2<X3,

?*,X1V0,%3>0,

此時yi<o,但丫3的正負無法判斷，故A選項錯誤，不符合題意;

24

右工2%3<。，且％]<%2<%3，

A<X2<0'%3>0，

此時為<0,y2<0,故曠1丫2>0，故B選項正確，符合題意；

若％1久2>0，且X1<%2<x3'

?1?<%2<0或0<X]<%2，

當久1<%2<。時，為<，2<。，此時、3的正負無法判斷，故C選項錯誤，不符合題意；

右工2%3<。，且％]<%2<%31

X1<%2<0'X3>0,此時yi<0,但丫3的正負無法判斷，故D選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【變式3]（23-24七年級上?山東泰安?期末）一次函數(shù)y=—x+3的圖像過點（小,%）,（均+1,%），

（%1+2,乃），則（）

A.為<%<為B.yi<y2<為

C.y2<yi<%D.y3<71<丫2

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性求解即可.

本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，對于一次函數(shù)y=kx+b"為常數(shù)，k手Q）,當k>0時，y隨

x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小.

【詳解】「-3<0,

隨尤增大而減小，

<x1+1<+2,

?1?%>%>丫3，

即丫3<<y「

故選：A.

考點9：一次函數(shù)圖像性質(zhì)一一與k、b關(guān)系

典例9：（2023.云南?模擬預(yù)測）一次函數(shù)y=7x+6（620）的圖象一定不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，尤其是圖象的位置與K匕的關(guān)系.根據(jù)y=7x+

匕（620）確定入b的符號，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可確定其所過象限，即可解題.

【詳解】解：,??一?次函數(shù)解析式為y=7x+b（b20）,7>0,b>0,

???一次函數(shù)圖象可能經(jīng)過一、二、三象限，

二一次函數(shù)y=7x+b（b>0）的圖象一定不經(jīng)過第四象限，

25

故選：D.

【變式1］（23-24八年級下?四川攀枝花?期中）一次函數(shù)y=（加+1）%+5的圖像不經(jīng)過第四象限，

則小的取值范圍是（）

A.m>—1B.m<—1C.m=—1D.m<1

【答案】A

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：①々>0,b>0=y=依+b的圖象在一、二、三象

限；@k>0,b<0=y=kx+b的圖象在一、三、四象限；③k<0,b>0=y=kx+b的圖象

在一、二、四象限；④k<0,b<0=y=kx+b的圖象在二、三、四象限.

【詳解】解：=（6+1）%+5的圖象不經(jīng)過第四象限，

m+1>0,

解得：m>-1,

故選：A.

【變式2］（23-24九年級下?甘肅定西?階段練習）直線y=（2m-1）%+九經(jīng)過第一、三、四象限，則

點、P（-m,n）所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】此題考查了各象限點的特征，根據(jù)直線y=（2巾-l）x+n經(jīng)過第一、三、四象限得到加、n

的取值范圍，即可得到答案.

【詳解】解：???直線y=（2m—l）x+n經(jīng)過第一、三、四象限，

/.2m—1>0,n<0,

.,.m>-,n<0

2

—tn<——<0,n<0

.?.點P（-zn,n）所在象限為第三象限，

故答案為：C

【變式3］（22-23八年級下?新疆烏魯木齊?期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則k,b的

取值范圍是（）

26

C.fc<0,b>0D.fc<0,b<0

【答案】D

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系進行解答即

可，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：