知識(shí)點(diǎn)37：動(dòng)能定理及應(yīng)用

【知識(shí)思維方法技巧】

（1）動(dòng)能定理的理解：

①動(dòng)能定理內(nèi)容：在一個(gè)過程中合力對物體所做的功，等于物體在這個(gè)過程中動(dòng)能的變化.

②動(dòng)能定理表達(dá)式：％,".=必14=匕“曠22—1盟打2或fF,K=Ek2—Eki.

-22-

“外力”指的是合外力，可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其他力，它們可以同時(shí)作用，也可

以不同時(shí)作用.“外力”既可以是恒力，也可以是變力.

③動(dòng)能定理的物理意義：合力的功是物體動(dòng)能變化的量度.

（2）運(yùn)用動(dòng)能定理解題的優(yōu)越性：

①動(dòng)能定理既適用于恒力做功、直線運(yùn)動(dòng)、單過程問題，也適用于變力做功、曲線運(yùn)動(dòng)、多過程問題、電

場與磁場。

②動(dòng)能定理不涉及勢能，解決的是合力做功與動(dòng)能變化的問題，各力做功的情況都要進(jìn)行分析。列動(dòng)能定

理方程時(shí)，必須明確各力做功的正、負(fù)，確實(shí)難以判斷的先假定為正功，最后根據(jù)結(jié)果加以檢驗(yàn).求克服

某力做的功，可以直接帶入負(fù)號(hào)。

③動(dòng)能定理中的位移和速度一般以地面或相對地面靜止的物體為參考系。動(dòng)能定理是一個(gè)標(biāo)量式，不存在

方向的選取問題.當(dāng)然動(dòng)能定理也就不存在分量的表達(dá)式。

（3）應(yīng)用流程

一

解

分階

方

或

段

確定研究程

過

全

、

對象和研得

列

程

究過程出

程

方

第

考點(diǎn)一：動(dòng)能定理在直線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

題型一：動(dòng)能定理在直線型單過程問題中的應(yīng)用

【典例1提高題】相同材料制成的工、5兩物塊，以相同初速度同時(shí)滑上水平桌面，兩物塊質(zhì)量分別為機(jī)力、

且7%＞加B，則（）

A.物塊N慣性大，滑行距離大

B.物塊5阻力小，滑行距離大

C.兩物塊滑行的時(shí)間相等

D.兩物塊克服阻力做功相等

【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】一物塊沿傾角為e的斜坡向上滑動(dòng)，當(dāng)物塊的初速度為v時(shí)，上升的最大高度

為"，如圖所示；當(dāng)物塊的初速度為2V時(shí)，上升的最大高度記為瓦重力加速度大小為g.物塊與斜坡間的

動(dòng)摩擦因數(shù)〃和〃分別為（）

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A.tan6和2H

(Ln，和2〃

題型二：動(dòng)能定理在直線型多過程問題中的應(yīng)用

【知識(shí)思維方法技巧】

運(yùn)用動(dòng)能定理解決多過程問題時(shí)，有兩種思路：一種是全過程列式，另一種是分段列式。

全過程列式時(shí)，涉及重力、彈簧彈力，大小恒定的阻力或摩擦力做功時(shí)，要注意運(yùn)用它們的功能特點(diǎn)：重

力做的功取決于物體的初、末位置，與路徑無關(guān)；大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小與路程的

乘積。彈簧彈力做功與路徑無關(guān)。

類型一：水平式多過程運(yùn)動(dòng)模型

【典例2a提高題】質(zhì)量為膽的物體，在水平面上以初速度也開始滑動(dòng)，經(jīng)距離”時(shí)，速度減為5%。物

體與水平面各處的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，則()

A.物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為言

8gd

B.克服摩擦力做的功為亍”片

c.物體再前進(jìn);d便停止

D.要使物體前進(jìn)總距離為24,其初速度應(yīng)為舊打

【典例2a提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，運(yùn)動(dòng)員把冰壺沿水平冰面投出，讓冰壺在冰面上滑行，在不與其

他冰壺碰撞的情況下，最終停在遠(yuǎn)處的某個(gè)位置，按比賽規(guī)則，冰壺投出后，可以用毛刷在其滑行前方來

回摩擦冰面，減小冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)以調(diào)節(jié)冰壺的運(yùn)動(dòng)，將冰壺的運(yùn)動(dòng)簡化為直線運(yùn)動(dòng)且不考慮

冰壺的轉(zhuǎn)動(dòng).已知未摩擦冰面時(shí)，冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.02.重力加速度g取10m/s2.

(1)運(yùn)動(dòng)員以3.6m/s的水平速度將冰壺投出，未摩擦冰面的情況下，求冰壺能在冰面上滑行的最大距離s；

⑵設(shè)未摩擦冰面時(shí)，冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為"，摩擦冰面后二者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)槔渲?/p>

0<&<1,若運(yùn)動(dòng)員仍以某一水平速度將冰壺投出，設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中，冰壺運(yùn)動(dòng)中累計(jì)滑過被毛刷摩擦過的冰

面長度為2,求與未摩擦冰面相比，冰壺運(yùn)動(dòng)可以多滑行的距離As.

V

類型二：斜面式多過程運(yùn)動(dòng)模型

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【典例2b提高題】（多選）如圖所示，直桿與水平面成a角固定，在桿上套一質(zhì)量為膽的小滑塊，桿

底端3點(diǎn)處有一彈性擋板，桿與板面垂直，滑塊與擋板碰撞后原速率返回?，F(xiàn)將滑塊拉到4點(diǎn)由靜止釋

放，與擋板第一次碰撞后恰好能上升到N3的中點(diǎn)，設(shè)重力加速度為g,由此可以確定（）

A.滑塊下滑和上滑過程加速度的大小的、a2

B.滑塊第1次與擋板碰撞前的速度。1

C.滑塊與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃

D.滑塊第k次與擋板碰撞到第M次與擋板碰撞的時(shí)間間隔At

【典例2b提高題對應(yīng)練習(xí)】將三個(gè)木板1、2、3固定在墻角，木板與墻壁和地面構(gòu)成了三個(gè)不同的三角

形，如圖所示，其中1與2底邊相同，2和3高度相同。現(xiàn)將一個(gè)可以視為質(zhì)點(diǎn)的物塊分別從三個(gè)木板的

頂端由靜止釋放，并沿斜面下滑到底端，物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃均相同。在這三個(gè)過程中，下列

說法正確的是（）

A.沿著1和2下滑到底端時(shí)，物塊的速度不同；沿著2和3下滑到底端時(shí)，物塊的速度相同

B.沿著1下滑到底端時(shí)，物塊的速度最大

C.物塊沿著3下滑到底端的過程中，產(chǎn)生的熱量是最少的

D.物塊沿著1和2下滑到底端的過程，產(chǎn)生的熱量是一樣多的

類型三：豎直式多過程運(yùn)動(dòng)模型

【典例2c提高題】如圖所示，質(zhì)量為加的小球，從離地面高〃處由靜止開始釋放，落到地面后繼續(xù)陷入

泥中〃深度而停止，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

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地面

小球落地時(shí)動(dòng)能等于mg（H+h）

B.小球在泥土中受到的平均阻力為學(xué)

C.整個(gè)過程中小球克服阻力做的功等于MH+h）

D.小球陷入泥中的過程中克服泥的阻力所做的功等于剛落到地面時(shí)的動(dòng)能

【典例2c提高題對應(yīng)練習(xí)】人們有時(shí)用“打夯”的方式把松散的地面夯實(shí)。設(shè)某次打夯符合以下模型：

兩人同時(shí)通過繩子對重物各施加一個(gè)恒力下方向都與豎直方向成，角，重物離開地面a后人停止施力，最

后重物自由下落把地面砸深了從已知重物的質(zhì)量為V,下列說法正確的是（）

A.整個(gè)過程重力做功為零

B.拉力做功為FHcos”

C.重物剛落地時(shí)的動(dòng)能為期〃

D.重物克服地面的沖擊力做的功為2EHcosd+吸A

類型四：水平式+斜面式運(yùn)動(dòng)模型

【典例2d提高題】如圖所示，小物體從N處由靜止開始沿光滑斜面40下滑，又在粗糙水平面上滑動(dòng)，

最終停在3處，已知/距水平面05的高度為〃，物體的質(zhì)量為叫現(xiàn)用力將物體從5點(diǎn)靜止沿原路拉回

至距水平面高為|/?的C點(diǎn)處，已知重力加速度為g,需外力做的功至少應(yīng)為（）

A.^mghB.^mghC.^mghD,Imgh

【典例2d提高題對應(yīng)練習(xí)】滑梯是幼兒園必備的一種玩具，它可以培養(yǎng)孩子堅(jiān)定的意志和信心，可以培

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養(yǎng)孩子的勇敢精神.現(xiàn)有一滑梯，高處水平臺(tái)面距地面高Z/=1.5m,傾斜槽傾角為37。，下端為水平槽，

長1=0.5m,厚度不計(jì).傾斜部分和水平部分用一忽略大小的圓弧連接，示意圖如圖所示，一質(zhì)量為20kg

的小孩由靜止從高處水平臺(tái)面沿傾斜槽下滑，當(dāng)滑到水平槽末端時(shí)速度大小為。=2m/s.(結(jié)果保留兩位小

數(shù)，重力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37。=0.8)求：

(1)若滑梯的傾斜槽和水平槽動(dòng)摩擦因數(shù)相同，求出動(dòng)摩擦因數(shù)〃的值；

(2)若小孩滑到水平槽末端速度大于1m/s時(shí)危險(xiǎn)性較大，為了小孩能滑到水平槽且保證安全，將滑梯

水平槽粗糙處理.［傾斜槽的動(dòng)摩擦因數(shù)與(1)問中相同］,請求出水平槽處理后的動(dòng)摩擦因數(shù)”的取值范圍.

考點(diǎn)二：動(dòng)能定理在曲線型運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

題型一：動(dòng)能定理在曲線型單過程問題中的應(yīng)用

【知識(shí)思維方法技巧】

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的基本思路是“兩點(diǎn)一過程

(1)“兩點(diǎn)”即最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對物體進(jìn)行受力分析，確定向心力，根據(jù)牛頓第二定律

列方程。

⑵“一過程”即從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，往往由動(dòng)能定理將這兩點(diǎn)聯(lián)系起來。

類型一：斜面式圓周運(yùn)動(dòng)

【典例1a提高題】如圖所示，光滑斜面與水平面成a角，斜面上一根長為/=0.30m的輕桿，一端系住質(zhì)

量為0.2kg的小球，另一端固定在。點(diǎn)，現(xiàn)將輕桿拉直至水平位置，然后給小球一沿著平板并與輕桿垂

直的初速度vo=3.Om/s,取g=10m/s2,貝?。?)

A.此時(shí)小球的加速度大小為#0m/s2

B.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)桿的彈力沿斜面向上

C.若增大vo,到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)桿對小球的彈力一定增大

D.若增大vo,到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)桿對小球的彈力可能減小

【典例1a提高題對應(yīng)練習(xí)】(多選)如圖所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，能繞水平固定軸

MN自由轉(zhuǎn)動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角.板上有一根長為/=0.5m的輕繩，一端系住一個(gè)質(zhì)量

為膽=0.5kg的小球，另一端固定在板上的。點(diǎn).當(dāng)平板傾角為a時(shí)，先將輕繩平行于水平軸拉直，

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然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度vo=2m/s,g取10m/s2,貝!!（）

MN

A.若〃=0。，則輕繩對小球的拉力大小為尸r=4N

B.若a=90。，則小球相對于初始位置可上升的最大高度為0.3m

C.小球能在平板上繞。點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，a必須滿足的條件為sinaw|

D.小球能在平板上繞。點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，a必須滿足的條件為sinaW士

類型二：豎直式圓周運(yùn)動(dòng)

【典例1b提高題】如圖所示，一小球以一定的初速度從圖示位置進(jìn)入光滑的軌道，小球先進(jìn)入圓軌道1,

再進(jìn)入圓軌道2,圓軌道1的半徑為R,圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m,若小球恰

好能通過軌道2的最高點(diǎn)5,則小球在軌道1上經(jīng)過N處時(shí)對軌道的壓力為（）

A.2mgC.4mgD.5/wg

【典例1b提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，半徑為衣的細(xì)圓管（管徑可忽略）內(nèi)壁光滑，豎直放置，一質(zhì)量為

膽、直徑略小于管徑的小球可在管內(nèi)自由滑動(dòng)，測得小球在管頂部時(shí)與管壁的作用力大小為〃陪，g為當(dāng)?shù)?/p>

重力加速度，則（）

A.小球在管頂部時(shí)速度大小一定為雨無

B.小球運(yùn)動(dòng)到管底部時(shí)速度大小可能為啦或

C.小球運(yùn)動(dòng)到管底部時(shí)對管壁的壓力可能為5mg

D.小球運(yùn)動(dòng)到管底部時(shí)對管壁的壓力一定為77Mg

題型二：動(dòng)能定理在曲線型多過程問題中的應(yīng)用

【知識(shí)思維方法技巧】

（1）曲線型多過程模型特點(diǎn)：物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)歷直線運(yùn)動(dòng)、曲線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)

或三種運(yùn)動(dòng)兩兩組合.

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(2)運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式：直線運(yùn)動(dòng)有水平面上的直線運(yùn)動(dòng)、斜面上的直線運(yùn)動(dòng)、傳送帶上的直線運(yùn)動(dòng)；圓周

運(yùn)動(dòng)有繩模型圓周運(yùn)動(dòng)、桿模型圓周運(yùn)動(dòng)、拱形橋模型圓周運(yùn)動(dòng)；平拋運(yùn)動(dòng)有與斜面相關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)、與

圓軌道相關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)。

(3)動(dòng)能定理在曲線型多過程問題中的應(yīng)用技巧：這類模型一般不難，各階段的運(yùn)動(dòng)過程具有獨(dú)立性，

只要對不同過程分別選用相應(yīng)規(guī)律即可，兩個(gè)相鄰的過程連接點(diǎn)的速度是聯(lián)系兩過程的紐帶，是解決問題

的重要突破口。

類型一：圓弧運(yùn)動(dòng)+豎直圓周運(yùn)動(dòng)模型

【典例2a提高題】如圖所示，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊從高"=12m處的N點(diǎn)由靜止沿光滑的軌道N3滑

下，進(jìn)入半徑為r=4雨的豎直圓環(huán)，圓環(huán)內(nèi)軌道與滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同，當(dāng)滑塊到達(dá)圓環(huán)頂點(diǎn)C

時(shí)，滑塊對軌道的壓力恰好為零，滑塊繼續(xù)沿C/生滑下，進(jìn)入光滑軌道3D,且到達(dá)高度為人的。點(diǎn)時(shí)

速度為零，則〃的值可能為(重力加速度大小g取10m/s2)()

A.8mB.9mC.10mD.11m

類型二：圓弧運(yùn)動(dòng)+平拋運(yùn)動(dòng)模型

【典例2b提高題】如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧成和拋物線從組成，圓弧半

徑O”水平，A點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn).已知h=2m,s=@m.取重力加速度大小g=10m/s2.

(1)一小環(huán)套在軌道上從。點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在加段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，求圓弧

軌道的半徑；

(2)若環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動(dòng)而開始滑下，求環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時(shí)速度的水平分量的大小.

【典例2b提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示為某游樂場內(nèi)水上滑梯軌道示意圖，粗糙軌道4BC在同一豎直平面

內(nèi)，點(diǎn)/距水面的高度為"，點(diǎn)。距水面的高度為/?=，，5c部分可視為半徑為/?=旦的圓弧。一質(zhì)量為

42

”，的游客(視為質(zhì)點(diǎn))從軌道N點(diǎn)由靜止滑下，到C點(diǎn)時(shí)沿水平方向滑離軌道，最終落在水面上的。點(diǎn)，

若游客在C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為3〃陪，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,求：

(1)運(yùn)動(dòng)過程中，游客克服摩擦力所做的功；

(2)游客剛?cè)胨畷r(shí)的速度與水平方向夾角的正切值及重力的瞬時(shí)功率。

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H

cB

D

類型三：平拋運(yùn)動(dòng)+豎直圓周運(yùn)動(dòng)

【典例2c提高題】如圖所示，尸是水平面上的固定圓弧軌道，從高臺(tái)邊5點(diǎn)以速度vo水平飛出質(zhì)量為a

的小球，恰能從左端N點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入。。是圓弧的圓心，6是04與豎直方向的夾角。已知盟=

0.5kg,v0=3m/s,8=53。，圓弧軌道半徑A=0.5m,g取lOm/s2,不計(jì)空氣阻力和所有摩擦，求：

(1)4、5兩點(diǎn)的高度差；

(2)小球能否到達(dá)最高點(diǎn)C?如能到達(dá)，小球?qū)點(diǎn)的壓力大小為多少？

【典例2c提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示為水上樂園的設(shè)施，由彎曲滑道、豎直平面內(nèi)的圓形滑道、水平滑

道及水池組成，圓形滑道外側(cè)半徑R=2m,圓形滑道的最低點(diǎn)的水平入口3和水平出口正相互錯(cuò)開，

為保證安全，在圓形滑道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，要求緊貼內(nèi)側(cè)滑行。水離水平滑道高度〃=5m。現(xiàn)游客從滑道N點(diǎn)

由靜止滑下，游客可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切阻力，重力加速度g取lOm",求：

(1)起滑點(diǎn)N至少離水平滑道多高？

(2)為了保證游客安全，在水池中放有長度2=5m的安全氣墊其厚度不計(jì)，滿足(1)的游客恰落在

M端，要使游客能安全落在氣墊上，安全滑下點(diǎn)N距水平滑道的高度取值范圍為多少？

C

MN

------------------Y/////////A----------

考點(diǎn)三：動(dòng)能定理在直線+曲線多運(yùn)動(dòng)組合問題的應(yīng)用

【知識(shí)思維方法技巧】

(1)分析思路：

①受力與運(yùn)動(dòng)分析：根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)過程分析物體的受力情況，以及不同運(yùn)動(dòng)過程中力的變化情況;

②做功分析：根據(jù)各種力做功的不同特點(diǎn)，分析各種力在不同運(yùn)動(dòng)過程中的做功情況；

③功能關(guān)系分析：運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行分析，選擇合適的規(guī)律求解.

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(2)方法技巧：

①“合”——整體上把握全過程，構(gòu)建大致的運(yùn)動(dòng)情景；

②“分”——將全過程進(jìn)行分解，分析每個(gè)子過程對應(yīng)的基本規(guī)律；

③“合”——找出各子過程之間的聯(lián)系，以銜接點(diǎn)為突破口，尋求解題最優(yōu)方案.

題型一：直線運(yùn)動(dòng)+平拋運(yùn)動(dòng)模型

【典例1提高題】如圖所示，在粗糙水平臺(tái)階上靜止放置一質(zhì)量，"=0.5kg的小物塊，它與水平臺(tái)階表面

間的動(dòng)摩擦因數(shù)“=0.5,且與臺(tái)階邊緣。點(diǎn)的距離s=5m.在臺(tái)階右側(cè)固定了一個(gè)1圓弧擋板，圓弧半徑

4

R=lm,今以。點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.現(xiàn)用廠=5N的水平恒力拉動(dòng)小物塊，一段時(shí)間后撤去拉

力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板.

(1)若小物塊恰能擊中擋板上的尸點(diǎn)(O尸與水平方向夾角為37。，已知sin37o=0.6,cos37°=0.8,g=

10m/s2),求其離開。點(diǎn)時(shí)的速度大??；

(2)為使小物塊擊中擋板，求拉力尸作用的最短時(shí)間；

(3)改變拉力下的作用時(shí)間，使小物塊擊中擋板的不同位置.求擊中擋板時(shí)小物塊動(dòng)能的最小值.

【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的傾斜軌道48,與水平固定光滑軌道3C相連,

豎直墻壁CO高0.2m,在地面上緊靠墻壁固定一個(gè)和CD等高，底邊長L=0.3m的固定斜面.一個(gè)

質(zhì)量7M=0.1kg的小物塊(視為質(zhì)點(diǎn))在軌道AB上從距離B點(diǎn)￡2=4m處由靜止釋放，從C點(diǎn)水平拋出，

已知小物塊與AB段軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,通過B點(diǎn)時(shí)無能量損失；AB段與水平面的夾角為37。.(空

氣阻力不計(jì)，取重力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)

(1)求小物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大??；

(2)求小物塊從C點(diǎn)拋出到擊中斜面的時(shí)間；

(3)改變小物塊從軌道上釋放的初位置，求小物塊擊中斜面時(shí)動(dòng)能的最小值.

題型二：直線運(yùn)動(dòng)+圓周運(yùn)動(dòng)模型

【典例2提高題】圖所示，半徑A=0.4m的光滑半圓軌道與水平地面相切于B點(diǎn)，且固定于豎直平面內(nèi).在

水平地面上距3點(diǎn)x=5m處的4點(diǎn)放一質(zhì)量7M=3kg的小物塊，小物塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃

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=05小物塊在與水平地面夾角0=37。、斜向上的拉力F的作用下由靜止向3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到5點(diǎn)時(shí)撤去

R小物塊沿圓軌道上滑，且恰能到圓軌道最高點(diǎn)C圓弧的圓心為O,尸為圓弧上的一點(diǎn)，且OP與水平

方向的夾角也為，Q取lOm",sin37°=0.6,cos37。=0.8)求：

⑴小物塊在B點(diǎn)的最小速度vB的大小；

(2)在(1)情況下小物塊在P點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大??；

(3)為使小物塊能沿水平面運(yùn)動(dòng)并通過圓軌道C點(diǎn)，則拉力F的大小范圍.

【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖，在豎直平面內(nèi)，一半徑為尺的光滑圓弧軌道N3C和水平軌道在4

點(diǎn)相切，5c為圓弧軌道的直徑，。為圓心，04和03之間的夾角為a,sin。=|.一質(zhì)量為的小球沿

水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)N點(diǎn)沿圓弧軌道通過C點(diǎn)，落至水平軌道；在整個(gè)過程中，除受到重力及軌道作

用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點(diǎn)所受合力的方向指向圓心，且此時(shí)小球?qū)?/p>

道的壓力恰好為零.重力加速度大小為g.求：

(1)水平恒力的大小和小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大??；

(2)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小.

題型三：直線運(yùn)動(dòng)+圓周運(yùn)動(dòng)模型+平拋運(yùn)動(dòng)模型

【典例3提高題】如圖所示，質(zhì)量盟=3kg的小物塊以初速度。0=4m/s水平向右拋出，恰好從N點(diǎn)沿著

圓弧的切線方向進(jìn)入圓弧軌道。圓弧軌道的半徑為A=3.75m,3點(diǎn)是圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧軌道與水

平軌道平滑連接，N與圓心O的連線與豎直方向成37。角。肱V是一段粗糙的水平軌道，小物塊與腦V

間的動(dòng)摩擦因數(shù)"=0」，軌道其他部分光滑。最右側(cè)是一個(gè)半徑為，=0.4m的半圓弧軌道，C點(diǎn)是半圓弧

軌道的最高點(diǎn)，半圓弧軌道與水平軌道50在。點(diǎn)平滑連接。已知重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,

cos37°=0.8o

(1)求小物塊經(jīng)過3點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大?。?/p>

(2)若MV的長度為，=6m,求小物塊通過C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大??；

(3)若小物塊恰好能通過C點(diǎn)，求MN的長度V。

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BMND

【典例3提高題對應(yīng)練習(xí)1】如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角a=60。的斜面軌道43、半徑均為尺的半圓形

細(xì)圓管軌道3CDE和:圓周細(xì)圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，5、E兩處軌道平滑連接，軌道

所在平面與豎直墻面垂直。軌道出口處G和圓心。2的連線，以及a、E、。和5等四點(diǎn)連成的直線與水

平線間的夾角均為，=30。，G點(diǎn)與豎直墻面的距離”=#火?，F(xiàn)將質(zhì)量為膽的小球從斜面的某高度〃處靜

止釋放。小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計(jì)小球大小和所受阻力。

⑴若釋放處高度萬=癡，當(dāng)小球第一次運(yùn)動(dòng)到圓管最低點(diǎn)C時(shí)，求速度大小〃及在此過程中所受合力的

沖量/的大小和方向；

⑵求小球在圓管內(nèi)與圓心Oi點(diǎn)等高的D點(diǎn)所受彈力網(wǎng)與h的關(guān)系式;

(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點(diǎn)，高度h應(yīng)該滿足什么條件？

【典例3提高題對應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，水平軌道5c與傾角為，=37。的斜面軌道NB、螺旋狀圓軌道O

緊密平滑連接，43長度。=10m,18c長度〃=4m,圓軌道半徑K=0.72m.直角斜面體初VE的豎直

邊ME的長度L3=3m,水平邊NE的長度L=6m,M點(diǎn)在C點(diǎn)的正下方，的長度以=1.2m.小物

塊的質(zhì)量為盟=1kg,它與43軌道和5c軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，記為"，圓軌道光滑.小物塊在最高點(diǎn)

N由靜止釋放，沿軌道N5c運(yùn)動(dòng)，第一次到達(dá)C時(shí)恰好靜止.空氣阻力不計(jì)，取sin37o=0.6,8537。=

0.8.

(1)求動(dòng)摩擦因數(shù)“；

⑵小物塊在N點(diǎn)釋放的同時(shí)，對其施加一個(gè)水平向右的恒力R當(dāng)物塊沿3C運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)撤去尸，再繞

圓軌道運(yùn)動(dòng)一周后在與C同一高度的圓軌道末端以速度。水平向右拋出.小物塊在到達(dá)圓軌道末端前不脫

離軌道，求。與尸滿足的關(guān)系式，并確定。的取值范圍；

⑶若物塊自圓軌道末端以某一初速度水平拋出，經(jīng)一段時(shí)間后與過N點(diǎn)的豎直墻面發(fā)生彈性碰撞，碰撞

時(shí)間忽略不計(jì)，碰撞之后物塊速度的豎直分量不變，水平分量反向且大小不變，之后落于斜面腦V上的尸

點(diǎn)，已知物塊從圓軌道末端運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間為f=0.9s,求小物塊剛運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能.

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A

【典例3提高題對應(yīng)練習(xí)3］如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為7?=0.2kg的小滑塊靜止在水平軌道上的N

點(diǎn)，在水平向右的恒定拉力產(chǎn)=4N的作用下，從N點(diǎn)開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其滑行到N5的中點(diǎn)時(shí)

撤去拉力，滑塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到3點(diǎn)后進(jìn)入半徑為A=0.3m且內(nèi)壁光滑的豎直固定圓軌道，在圓軌道上運(yùn)行

一周后從5處的出口(未畫出，且入口和出口稍稍錯(cuò)開)出來后向C點(diǎn)滑動(dòng)，C點(diǎn)的右邊是一個(gè)“陷阱”，

。點(diǎn)是平臺(tái)邊緣上的點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)的高度差為〃=0.2m,水平距離為x=0.6m.已知滑塊運(yùn)動(dòng)到圓軌道

的最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小剛好為滑塊重力的3倍，水平軌道5c的長度為/2=2.0m,小滑塊與水平軌

道48、5C間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為2=0.5,重力加速度g=10m/s2.

⑴求水平軌道AB的長度A；

(2)試通過計(jì)算判斷小滑塊能否到達(dá)“陷阱”右側(cè)的。點(diǎn)；

(3)若在N3段水平拉力尸作用的距離可變，要達(dá)到小滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中，既不脫離豎直圓軌道，又不落入

C、。間的“陷阱”的目的，試求水平拉力下作用的距離范圍.

考點(diǎn)四：動(dòng)能定理在往復(fù)運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

【知識(shí)思維方法技巧】

動(dòng)能定理在往復(fù)運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用技巧：

(1)應(yīng)用動(dòng)能定理求解往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，要確定物體的初狀態(tài)和最終狀態(tài)。

(2)重力做功與物體運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)，用WG=mgh直接求解。

(3)滑動(dòng)摩擦力做功與物體運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)，用Wf=-fs求解，其中s為物體相對滑行的路程。

題型一：物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)最后靜止模型

【知識(shí)點(diǎn)的理解與運(yùn)用】

抓住物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)最后靜止的特點(diǎn)解題

類型一：往復(fù)次數(shù)可確定的情形

【典例la提高題】如圖所示，N3C0是一個(gè)盆式容器，盆內(nèi)側(cè)壁與盆底3c的連接處均為與3c相切的圓

弧，5c是水平的，其長度4=0.60m。盆邊緣的高度為〃=0.30m。在N處放一個(gè)質(zhì)量為"，的小物塊并讓

其從靜止下滑。已知盆內(nèi)側(cè)壁是光滑的，而盆底3c面與小物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為"=0.10。小物塊在盆內(nèi)

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來回滑動(dòng)，最后停下來，則停止位置到5點(diǎn)的距離為（)

A.0.50mB.0.60mC.0.10mD.0

【典例la提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示'皿。為豎直面內(nèi)一固定軌道'"尸是半徑為尺的《光滑圓弧軌道’

它與水平軌道PQ相切于P,。端固定一豎直擋板，尸0長為s。質(zhì)量為膽的物塊在M端由靜止開始沿軌

道下滑，與擋板發(fā)生一次碰撞后停在距。點(diǎn)為L的地方，與擋板碰撞過程中無機(jī)械能損失，重力加速度

為g。求：

（1）物塊滑至圓弧軌道P點(diǎn)時(shí)對軌道壓力的大??；

（2）物塊與PQ段動(dòng)摩擦因數(shù)"的可能值。

I

PQ

類型二：往復(fù)次數(shù)無法確定的情形

【典例1b提高題】（多選）如圖所示，直桿N5與水平面成a角固定，在桿上套一質(zhì)量為,"的小滑塊，桿

底端5點(diǎn)處有一彈性擋板，桿與板面垂直，滑塊與擋板碰撞后將以原速率返回.現(xiàn)將滑塊拉到4點(diǎn)由靜

止釋放，與擋板第一次碰撞后恰好能上升到N3的中點(diǎn)，設(shè)重力加速度為g,由此可以確定（）

A.滑塊下滑和上滑過程加速度大小“1、?2

B.滑塊第1次與擋板碰撞前的速度V!

C.滑塊與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃

D.滑塊第k次與擋板碰撞到第k+1次與擋板碰撞的時(shí)間間隔△t

【典例1b提高題對應(yīng)練習(xí)1】如圖所示，兩傾角均為，的光滑斜面對接后固定水平地面上，。點(diǎn)為斜面的

最低點(diǎn)。一個(gè)小物塊從右側(cè)斜面上高為H處由靜止滑下，在兩個(gè)斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。小物塊每次通過。

點(diǎn)時(shí)都會(huì)有動(dòng)能損失，損失的動(dòng)能為小物塊當(dāng)次到達(dá)。點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的5%。小物塊從開始下滑到停止的過程

中運(yùn)動(dòng)的總路程為（）

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AiB.dD.

sin0sin0sin0sin0

【典例lb提高題對應(yīng)練習(xí)2】如圖所示，4B為一固定在水平面上的半圓形細(xì)圓管軌道，軌道內(nèi)壁粗糙，

其半徑為尺且遠(yuǎn)大于細(xì)管的內(nèi)徑，軌道底端與水平軌道5c相切于5點(diǎn).水平軌道3C長為2凡動(dòng)摩擦

因數(shù)為"1=0.5,右側(cè)為一固定在水平面上的粗糙斜面.斜面。足夠長，傾角為。=37。，動(dòng)摩擦因數(shù)為管

=0.8.一質(zhì)量為陽，可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊從圓管軌道頂端N點(diǎn)以初速度。0=%/個(gè)水平射入圓管軌道，運(yùn)動(dòng)

到5點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為自身重力的5倍，物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度大小不發(fā)生變化，sin37°=0.6,cos

37。=0.8,重力加速度為g,求：

(1)物塊從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，阻力所做的功；

⑵物塊最終停留的位置.

%

BC

題型二：物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)最后永不停止模型

【知識(shí)思維方法技巧】

抓住物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)最后永不停止有周期性和對稱性的特點(diǎn)解題

【典例2提高題】如圖所示，豎直面內(nèi)有一粗糙斜面45,BCD部分是一個(gè)光滑的圓弧面，C為圓弧的最

低點(diǎn)，N3正好是圓弧在5點(diǎn)的切線，圓心。與N、。點(diǎn)在同一高度，8=37。,圓弧面的半徑R=3.6m,

一滑塊質(zhì)量，〃=5kg,與48斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.45,將滑塊從N點(diǎn)由靜止釋放6也37。=0.6,cos37。

=0.8,g取lOm").求在此后的運(yùn)動(dòng)過程中：

(1)滑塊在N3段上運(yùn)動(dòng)的總路程；

(2)在滑塊運(yùn)動(dòng)過程中，C點(diǎn)受到的壓力的最大值和最小值.

【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道N5的下端與光滑的圓弧軌道

相切于5,C是最低點(diǎn)，圓心角N3OC=37。，。與圓心O等高，圓弧軌道半徑火=1.0m,現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量

為"?=0.2kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，從。點(diǎn)的正上方E點(diǎn)處自由下落，D,E兩點(diǎn)間的距離〃=1.6m,物

體與斜面4B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)“=0.5,取sin37o=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2.求：

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(1)物體第一次通過C點(diǎn)時(shí)軌道對物體的支持力尸N的大??；

(2)要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度工猾至少要多長；

(3)若斜面已經(jīng)滿足(2)要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動(dòng)，求在此過

程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大小.

考點(diǎn)五：動(dòng)能定理與圖像問題的結(jié)合

【知識(shí)思維方法技巧】

動(dòng)能定理與圖像問題結(jié)合的解題方法：

(1)函數(shù)斜率面積法：先由物理學(xué)規(guī)律推導(dǎo)出兩個(gè)物理量間的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的斜率、

截距的意義求出相應(yīng)的問題，特別是解決對于不太熟悉的圖像等要注意這種轉(zhuǎn)化。

①v-f圖像：圖像與時(shí)間軸圍成的面積表示位移，時(shí)間軸上方位移為正，時(shí)間軸下方位移為負(fù)。

②“一，圖像：圖像與/軸圍成的面積表示物體速度的變化量；

③“一斤圖像：由"=』戶知“一萬圖像的斜率表示質(zhì)量的倒數(shù).

m

④F-x圖像：圖像與*軸圍成的面積表示力尸做的功.

⑤Ek-x圖像：由動(dòng)能定理AEk=Er知，Ek-x圖像的斜率表示合外力尸.

⑥Ep-x圖像：由重力做功與重力勢能變化的關(guān)系A(chǔ)Ep=一知，Ep—x圖像的斜率大小表示重力,"g.

(2)函數(shù)數(shù)據(jù)代入法：先由物理學(xué)規(guī)律推導(dǎo)出兩個(gè)物理量間的函數(shù)表達(dá)式，再把圖像中的特殊數(shù)據(jù)代入

函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。

題型一：動(dòng)能定理與運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象的綜合應(yīng)用

類型一：與VY圖象的綜合應(yīng)用

【典例1a提高題】靜止在粗糙水平面上的物塊在水平向右的拉力作用下做直線運(yùn)動(dòng)，，=4s時(shí)停下，其。

Y圖像如圖所示，已知物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同，則下列判斷正確的是()

Mv/(m-s-1)

A.整個(gè)過程中拉力做的功等于物塊克服摩擦力做的功

B.整個(gè)過程中拉力做的功等于零

C.t=2s時(shí)刻拉力的瞬時(shí)功率在整個(gè)過程中最大

D.f=ls至h=3s這段時(shí)間內(nèi)拉力不做功

【典例1a提高題對應(yīng)練習(xí)】質(zhì)量為m的小球在豎直向上的拉力作用下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，其v-t圖象如圖

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9所示（豎直向上為正方向，OE段為直線），已知重力加速度大小為g,下列說法正確的是（)

A.to?,2時(shí)間內(nèi)，合力對小球先做正功后做負(fù)功

B.0?a時(shí)間內(nèi)，小球的平均速度一定為巴

2

C.t3?，4時(shí)間內(nèi)，拉力做的功為"—03）+g?4—編］

D.t3?〃時(shí)間內(nèi)，小球豎直向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

類型二：與其他運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象的綜合應(yīng)用

【典例1b提高題】（多選）如圖甲所示，在豎直平面內(nèi)固定一光滑的半圓形軌道N3C,小球以一定的初

速度從最低點(diǎn)/沖上軌道，圖乙是小球在半圓形軌道上從N運(yùn)動(dòng)到C的過程中，其速度的平方與其對應(yīng)

高度的關(guān)系圖像。已知小球在最高點(diǎn)C受到軌道的作用力為2.5N,空氣阻力不計(jì)，5點(diǎn)為4C軌道的中

點(diǎn)，g=10m/s2,下列說法正確的是（）

A.圖乙中x=36B.小球質(zhì)量為0.2kg

C.小球在B點(diǎn)受到軌道的作用力為8.5ND.小球在4點(diǎn)時(shí)重力的功率為5W

【典例1b提高題對應(yīng)練習(xí)】電梯是一種以電動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的垂直升降機(jī)，用于多層建筑載人或載運(yùn)貨物.某

次電梯從地面由靜止啟動(dòng)，加速度”與離地高度的關(guān)系圖像如圖所示，貝?。ǎ?/p>

A.2/lo-3/io范圍內(nèi)電梯向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

B.電梯在0?癡和2如?3例范圍內(nèi)的速度變化量相等

C.電梯在3瓦處的速度大小為2辰

D.電梯上升的最大高度可能為3〃0

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