=501-^-|cos-Z,+—8111—^=5（

I2J1512151）（咤斗。償,一）

（夜）一夕）＜（

=25&_254、-0）,（tane=2+6）

故選：D.

8.如圖，在棱長為2的正四面體ABC。中，M,N分別為棱AD,5c的中點，。為線段收V

的中點，球。的球面正好經過點"，則下列結論中正確的是（）

A.AB±MN

B.球。的的體積與四面體ABC。外接球的體積之比為1：小

C.直線與平面BCD所成角的正弦值為且

3

4冗

D.球。被平面5皿截得的截面面積為——

3

【答案】C

【解析】如圖：

對A：連接MB,MC,則MB=MC=G，又N為BC中點、,所以腦VLBC,

若MN工AB,AB,BCu平面ABC,且ABc5C=5,所以MN_L平面ABC,

可知這是不成立的，

所以ACV1A5不成立，故A錯誤；

對B：利用結論：若正四面體的棱長為。，則該四面體的外接球半徑為7?=如。，

4

內切球半徑為廠=逅/

12

在△MBC中，MN7MC?-NC?=13-1=母,所以球。的半徑為日，

四面體ABCD的外接圓半徑為父2=1，

42

所以球。的的體積與四面體ABCD外接球的體積之比二=5.9,故B錯誤;

V6

<-2">

對C：連接。N,取△BCD的中心G,則G在。N上，連接AG,

則AGJ_平面BCD,

作ME，平面BCD,則E為。G中點.ZMND為直線MN與平面BCD所成的角,

在Rt.WE中，MN=亞,ME=LAG=丑,ME1EN,

23

指

所以?八"T6,故c正確；

V23

對D：因為點。到平面BCD的距離為工ME=逅，

26

工

所以球。被平面BCD截得的截面圓半徑為

3’

7T

所以截面面積為；，故D錯誤.

3

故選：C

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是()

A.一組數據5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23的第25百分位數為7

B.若隨機變量XN(2,4),且尸(X<4)=0.75,則尸(0<X<4)=0.5

C.袋中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，從袋中不放回地依次抽取2個球，

則第二次取到紅球的概率為工

3

D.在對高二某班學生物理成績的分層隨機抽樣調查中，抽取男生12人，其平均數為75,

89

方差為一；抽取女生8人，其平均數為70,方差為23,則這20名學生物理成績的方差

3

為33

【答案】BCD

【解析】對A：把數據按從小到大的順序排列得：3,5,7,8,9,10,12,15,18,20,

21,23,

因為12x0.25=3,所以第25百分位數是第3,4兩個數的平均數，為7.5,故A錯誤；

對B：因為XNR,。?），且P（X<4）=0.75,所以P（X<0）=P（X>4）=025,

所以尸（0<X<4）=1—P（X<0）—/（X>4）=05,故B正確;

對C：設第二次取到紅球為事件A,第一次取到紅球為事件3,

則P（A）=P（5）P（A|5）+P（X）P（A|豆）=|x|+|x|=|,故C正確；

對D：這20名同學物理成績的平均數為：12X75+8X70=73,

20

所以這20名同學物理成績的方差為：

198QRr-i

—X學+（73—75）9+—x^23+（70-73）9J=33,故D正確.

故選：BCD.

22

10.在橢圓=+二=1（?！?〉0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點必在同一個與橢圓

ab

同心的圓上，稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，且半徑為.已知長方形ABC。的四條邊

22

均與橢圓E:±+匕=1相切，則下列說法正確的有（）

63

A.橢圓E的離心率為工

2

B.橢圓E的“蒙日圓”的方程為x2+y2=9

C.長方形ABCD的面積的最大值為18

D.若橢圓E的上下頂點分別為M、N,則其蒙日圓上存在兩個點尸滿足|。攸|=石|。叫

【答案】BCD

【解析】由題意得。=指，c="^=J§，所以0=￡=巧=交，故A錯；

ay/62

因為兩=3,所以橢圓E的“蒙日圓”的方程為d+V=9,故B正確；

根據“蒙日圓”的定義可得長方形ABCD的對角線AC=BD=6,

所以當時，面積最大，為,x6x6=18,故C正確；

2

設PQr,y),貝！jJ/+(.一石)=J/+(y+G),

整理的丁+(>+2后『=9,

所以點尸的軌跡為圓心為尸倒,-24)，半徑為3的圓，

因為3<。尸=26<6,所以點尸的軌跡與蒙日圓相交，有兩個交點，即蒙日圓上存在兩

個點P滿足|PM|=G|PN|,故D正確.

故選：BCD.

11.已知函數〃x)=cosW+ln|coM，則()

A.函數“力的一個周期為兀

B.函數“X)在區(qū)間\,兀]上單調遞增

C.函數八％)區(qū)間"上沒有零點

D.函數〃力的最大值為1

【答案】BD

【解析】因為|cos%|>0,所以函數/(x)的定義域為｛xlxw^+E，左eZ

對于A,因為/(x)=cos|x|+In|cosx|=cosx+ln|cosx|,

所以f(x+兀)=cos|x+?i|+ln|cos(x+7i)|=COS|X+TI|+In|cosx|wf(x),

所以兀不是/(%)的一個周期，故A錯誤；

對于B,因為工￡[I■，兀J時，所以/(%)=cosx+ln(—cosx),

11

所以f\x)二一sin九+------xsinx=-sinx(l+------),

-cosxcosx

且cosxe(-1,0),sinxe(0,1),

所以+

COSXCOSX

所以/'(x)>0,故/(x)在［m，］］單調遞增，故B正確；

對于C,因為時，所以/(*)=cosx+ln(cosx),

所以「(x)二-sinx+---x(-sin%)=-sinx(l+--一),

cosxcosx

且cosxe(0,1),sinxG(0,1),

所以+,

COSXCOSX

根據零點存在性定理，函數/(X)在有零點，故C錯誤；

對于D,因為/(-%)=cos|-x|+ln|cos(-x)|=cosx+ln|cosx|=/(x),

所以/(x)為偶函數，

當x20,且于(x+2兀)=cos(x+2兀)+In|cos(x+2兀)|=cosx+ln|cosx|=/(x),

所以/(%)在為周期函數，

同理“X)在xWO也為周期函數.

由BC得，/(%)在［o,］］單調遞減，在兀］單調遞增，

且〃。)=1，/(兀)=-1

當了￡［兀,萬J時，

所以于(x)=cosx+ln(-cosx),

所以/'(%)=-sinx+--------xsinx=-sinx(l+-------),

-cosxcosx

且cosxe(-1,0),sinxe(-1,0),

所以」一<—In——+1<0,

cosXcosX

所以/'(犬)<0,故/(X)在［兀單調遞減，

當時，所以/(x)=cosx+ln(cosx),

所以/'(九)=-sinx+——-——xsinx=-sinx(l+―--),

-cosxcosx

且cos%G(0,1),sinxe(-l,0),

所以」一>ln^^+l>0,

cosXCOSX

所以八x)>0,故/⑴在4,2兀1單調遞增，

綜上所訴，/(x)在［o,］］單調遞減，在［方，兀］單調遞增，

在］兀,，［單調遞減，在1年,2兀］單調遞增，

且/(0)=/(2兀)=1,/(兀)=一1,

且當x?0時，函數/(%)在周期T=2兀內，都有/(幻<1,

故函數/(x)的最大值為1,故D正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(x+l)(x—2)5的展開式中，/的系數是.(用數字作答).

【答案】-40

5rr

【解析】(》—2)5展開式的通項公式為rr+i=c；x-(-2),

令5-r=2,解得r=3,所以A=C53?N,(—8)=-80N；

令5-r=3,解得r=2,所以T3=4C52*x3=40x3；

所以(％+1)(%—2)5展開式中x3的系數為-80+40=-40.

故答案為-40.

13.己知直線/］：y=2x和/2：y=-2x,過動點M作兩直線的平行線，分別交人“于

兩點，其中點A在第一象限，點3在第四象限.若平行四邊形QWB(。為坐標原點)的

面積為3,記動點M的軌跡為曲線E,若曲線E與直線丁=左(％-2)有且僅有兩個交點,

則k的取值范圍為.

【答案】左＞2或左＜—2

【解析】設/(/,%),過點M且平行的直線方程為丁―%=—2(%—%)，

y-%=_2（%_尤0）解得獷浮,

由＜

、y=2x

則網二或萬區(qū)產=亨同+引,

又點M到直線乙的距離為

所以平行四邊形QWB(。為坐標原點)的面積為今2%+刈」21%1=3,

由題意點A在第一象限，點8在第四象限可知，點M在直線y=2x下方，在直線

y=—2x上方，

22

化簡得會—H=l(/〉0),其漸近線方程為y=±2x,

如圖所示：

因直線丁=左(1—2)過定點(2,0),若直線丁=左(*—2)與曲線有兩個交點,

則k的取值范圍為左＞2或左＜—2,

故答案為：左＞2或左＜—2

14.已知函數〃x),g(x)的定義域為R,g'⑺為g(x)的導函數,且/(x)+g'(x)-1=0,

2024

/（x-2）-g,（4-x）-l=0,若g（x）為偶函數，則X/（"）=.

n-{

【答案】2024

【解析】因為g(x)是偶函數，則g(—x)=g(x),兩邊求導得—g'(—x)=g'(",

所以g'(x)是奇函數，故g，(0)=0,

由/(X)+g'(x)T=。①，則/(x—2)=l—g'(x—2),

代入2)-g'(4-力-1=。②，

可得1—2)—g[4—x)—1=0,即g〈4—x)=—g?！?),

即g'(2+x)=—g'(-x),又g'(x)是奇函數，

所以g'(2+x)=g'(x),所以g'(x)是周期為2的周期函數，

又/(x)+g'(X)—1=0,可知/(%)也是周期為2的周期函數，

令x=4代入②，得/(2)=g,0)+l=l,

令x=l代入①，得/(l)+g'(l)—1=0,

令x=3代入②，得/(I)—g'。)—1=0,

聯立士d—⑴m-1=0解得//⑴、j

2024

所以/⑴+〃2)++/(2024)=1012]〃1)+〃2)]=1012x2=2024.

n=l

故答案為：2024.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數〃x)=gsin12x+m：A3c的內角A,B,C所對的邊分別為反c,且

f,sinC(1+cosB)=sinB^-1-cosC^.

(1)求角3；

(2)設。為邊AC的中點，且VA6C的面積為上也，求的長.

4

解：(1)因為/(x)=gsin[2x+m)所以=+=

所以sin[8+火]=走.因為0<5<兀，所以3+/=生，所以3=巴.

I3)2333

(2)因為sinCO+cos^)=sinfif^--cosC3

,所以sinC+sinCcosB+cosCsinB=—sinB.

2

3

所以sinC+sin(B+C)=—sinB.因為A+B+C=TI,所以sinC+sinA=—siiiB.

3

所以c+〃=—b.

2

jr

由余弦定理，得/=/+,2—2〃80s5,且3=1,

所以尸=々2+02—比，即/=(a+c)?-3ac.

(RYc

所以片=±b\_3ac,即。。=不/.

(2J12

因為S=—acsmB=-iycsin—=，所以ac=5.

ABC2234

所以，〃=5,即以=12,6=2指.所以a+c=34.

因為2￡>=g(&4+3C),所以|3￡>『=：(|府|2+1BC|2+2BABC).

所以|BD2〃11

|-^[,+2+2°.QC0sgac

~2

所以如手

16.如圖，四棱臺45co-A與CQi中，下底面ABCO為平行四邊形，DD｝，平面ABCD,

AB=2A4=2,5C=8,"=4夜,〃為的中點，平面CDD?1平面DXDM.

（1）求四棱臺A5CD-A與G2的體積;

（2）求平面與平面BCG4夾角余弦值.

解：（1）取A￡＞的中點N,則AR〃沏,A2=ND,

所以，四邊形ARON為平行四邊形.

因為。A，平面ABC。，所以AN,平面ABC。，即梯形的高為RO（或AN）.

在直角三角形ANA中，求得用=《5—AN?=—42=4.

因為，平面A3CD,CDu平面ABC。，所以。2LCD.

因為平面CD2G，平面2。加，交線為Dp,

因為CD，。。，所以CD,平面2DM.

所以CDLMD，所以DM7MC?_C?=2出

在直角三角形CDW中，求得邊CM的高。=2百*2,

MC4

所以，底面ABCD的面積5鉆8=6。*指=8百.

同理求得上底面面積“BBC=-X8A/3=2V3.

個巧巧5A

由。平面ABCD,知梯形的高為。。=AN=4,

所以丫=*4*卜百+26+應瓦5673

3

（2）以。為坐標原點，分別以DM,DC,所在直線為x軸，V軸和z軸建立空間直線

則。（0,0,0）,M（2立,0,0）,C（0,2,0）,G（0,1,4）.

由（1）知，平面2?！钡囊粋€法向量為QC=（0,2,0）.

設平面5CG用的一個法向量為元=（居y,z）,

因為CG=（O,-1,4）,CM=（2A/3,-2,O）,

小—y+4z=0

所以《cq=0_

n-CM=02A/3X-2y=0

=亙所以/后￥、.

令x=l,則y=Z=

47

設平面D}DM和平面BCCiB1夾角為。,

_\n-DC\_4^/201

則cos6(=cos(n,DC

-|n|-|DC|-67

17.甲、乙兩位學生進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題,

若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得-10分；若兩人都答對或都答錯,

則兩人均得0分.根據以往答題經驗，每道題甲答對的概率為工，乙答對的概率為2,且甲

23

、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響.

(1)求在一局比賽中，甲的得分X的分布列與數學期望;

(2)設這次比賽共有4局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概

率.

解：(1)甲的得分X的取值可能為-io,o,io.

X-10010

1]_￡

P

326

所以E(X)=(—10)xg+0xg+10x：=—g

(2)由(1)知，在一局比賽中,

乙獲得io分的概率為]x[i—11,

23

121

乙獲得0分的概率為+-—§

232,

乙獲得-10分的概率為;x|l2

6

在4局比賽中，乙獲得40分的概率為q=1

I

在4局比賽中,乙獲得30分的概率為心

3

在4局比賽中,乙獲得20分的概率為A=C；IX

2

乙獲得10分的概率為乙=c；1

在4局比賽中,IX

所以，乙最終獲勝的概率為p=q+8+A+舄=j.

18.已知圓可：（x+1了+必=16和點6（1,0）,點p是圓上任意一點，線段PG的垂直平

分線與線段p耳相交于點。，記點。的軌跡為曲線r.

（1）求曲線「的方程；

3

（2）若過原點的兩條直線分別交曲線「于點AC和民。，且《1c?心》=-/（。為坐標

原點）.判斷四邊形ABC。的面積是否為定值？若為定值，求四邊形ABCD的面積；若不

為定值，請說明理由.

解：⑴由題意知，圓心為&（-1,0）,半徑為4,且尸|=|。閭，寓用=2.

如圖：

因為|Q耳|+|Q閭=|。耳|+|。4=|尸周=4＞忸聞=2,

所以，點。的軌跡為以耳,心為焦點的橢圓.

設橢圓方程為二+[=l（a〉6〉0）,則2a=4,2c=2,解得a=2,c=l,

ab

22

所以，廿="—02=3.所以，曲線「的方程為三+2_=1.

43

（2）四邊形ABCD的面積為定值，理由如下：如圖：

當直線的斜率不存在時，直線ABIx軸，此時四邊形ABCD為矩形，且右c=—心戲

因為.演。=卷=一：

不妨設左AC=乎，則kBD=

（

取A⑤,AA/2,—

k

則四邊形ABCD的面積S=4S^=4x1x76x72=473.

當直線AB的斜率存在時，設="+且/（%1f1）,8（%2/2）?

聯立直線A5與橢圓C的方程，消去V并整理，得（4左2+3）_?+8物a+4加2—12=0.

由△=(86)2—4(4左2+3)(4/—12)>。，得4F—/+3>o.

8km4m2-12

所以百+%2=—

4P+3

所以X%=（七+加）（辰,+加）=左2石%2+右〃（石+%2）+）.

4m2-12+^x?〕+蘇3m2-12k2

所以=Ex——；---

4左2+3I4左2+3)4/+3

因為;登=一：'所以磬魯=T即旅+3=2/

因為[AB]=J1+/|%1-X2|=J1+左2.J(演+冗2)2-4%I%2'

\m\

因為原點。到直線AB的距離d=-fU=,且四邊形ABCD為平行四邊形,

V1+F

m\軍J技

所以四邊形A3CD的面積S=4SOAB=4x-x-^^x2gx

2TiTFm\

所以，四邊形ABCD的面積為定值46.

19.帕德近似是法