江蘇省蘇北七市2025屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={%卜1<尤<1},3=x<2},則AB=()

B.1x|0<%<2}

【答案】C

【解析】因?yàn)锳={R—l<x<l},5={x[0<x<2},

所以AB={x|0<x<l),

故選：C

2.復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=i,則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】因?yàn)楣?」

(l+i)z=i,z1=——=—I—1,

(l+i)0-i)2222

故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1萬,5),

故復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

故選：A

3.第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉行，參加自由式滑雪女子大跳臺(tái)決賽的六位選手的得分如下:

119.50,134.75,154.75,159.50,162.75,175.50,則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為()

A.134.75B.144.75C.154.75D.159.50

【答案】C

【解析】六位選手得分由小到大排列如下：

119.50,134.75,154.75,159.50,162.75,175.50,

因?yàn)?x40%=2.4,

所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)154.75.

故選：C

4.已知函數(shù)/(x)=x3—3ax—1,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"⑴)處的切線與X軸平行，則。=

()

A.-3B.-1C.OD.1

【答案】D

【解析】因?yàn)?'(x)=3t2—3a,且曲線y=/(x)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線與x軸平行，

所以左=/'(1)=3—3a=0,解得。=1,

故選：D

5.在正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中，設(shè)甲：am+n^aman,乙：｛%,｝是等比數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】A

【解析】令機(jī)=〃=1,則出=a；，

令m=1,n.=2,則a3=axa2=a：,

以此類推，得%=可，

則數(shù)列｛?！埃且陨鸀槭醉?xiàng)，6為公比的等比數(shù)列.

若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,則為

所以4+”=。q""'1，a,"a“=W，

當(dāng)?shù)?1時(shí)，am+n=aman-

%

當(dāng)?W1時(shí)，am+n=aman不成立.

所以甲是乙的充分不必要條件.

故選：A

6.己知函數(shù)/(x)=6sin2x—2cos2》的圖象關(guān)于直線x=x°對(duì)稱，則tan2/=()

A.3B.—立C.拒D._73

33

【答案】D

【解析】因?yàn)?(%)=V3sin2x-2cos2x=V3sin2x-cos2x-l

?石?。1°110.八叫1

=2——sinzx——cos2x-1=2sin2x----1,

122JI6；

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=Gsin2x-2cos2_x的圖象關(guān)于直線x=/對(duì)稱，

兀兀

所以2%o—=kjtH—,左￡Z,

62

2兀

所以2尤0=ku+—,左￡Z,

~,八(1271^12兀兀n；

所以tan2%o—tanIkuH——I=tan及——tan———,3,左￡Z.

故選：D

7.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,%(XoWO)是/(x)的極大值點(diǎn)，則()

A.-%是/(—%)的極小值點(diǎn)B.-%是—/(左)的極大值點(diǎn)

C.—天是—/(一%)的極小值點(diǎn)D.—%是/(W)的極大值點(diǎn)

【答案】C

【解析】A選項(xiàng)，/(一%)的圖象和/(X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

因?yàn)椋?%W0)是/(%)的極大值點(diǎn)，故-/是/(―尤)的極大值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

BD選項(xiàng)，取〃%)=—(%+1)2,則/=-1是/(幻的極大值點(diǎn)，

_/(x)=(x+l)2,故1不是-/(x)的極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

2

/(|%|)=_(|X|+1),其為偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

1不是/(|%|)的極大值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，-/(-X)的圖象和/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)橛?(%W0)是f(x)的極大值點(diǎn)，故-/是—/(r)的極小值點(diǎn)，c正確.

故選：C

8.己知橢圓。：±+/=1（。>/,〉0）的離心率為辛，左，右焦點(diǎn)分別為耳,且，過歹2的

\AFA

直線交C于A,B兩點(diǎn).若4耳，4工，則匕。=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】設(shè)|鉆|=/。>0）,|筋|=2?！?,

因?yàn)闄E圓的離心率e=￡=《Z，則a=J5c，

a2

由則|A片「+卜閭2=閨閭2,

即(2。—)2+/=402,解得”00,則|A6|=0c,\AF\=41C,

又I狗2+向「=忸制2,則2c2+(仙閭+忸閭)2=(2a—忸閭)2,

222

即2c+(s/2c+\BFj)=(2a-\BF2\),

、5IARI

解得怛周=乎°，所以謁=3.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知。=108210/=1。83：，則（）

abba

A.ab<0B.4-9=1C.--->1D.log56=~

abab-b

【答案】ABD

【解析】因?yàn)閍=log210>log21=0/=log3、^<log31=0，所以。6<0，故A正確;

,1Y2

log2110§3log2101

因?yàn)?"?9"=4°-9^_2.3og3w10x—I=1,故B正確;

710

因?yàn)楣えD！=坨2—(―lg3)=lg6<lglO=l,故C錯(cuò)誤;

ab

11

因?yàn)椋?4—=log56,故D正確.

ab-b]_工l-lg2lg5

a

故選：ABD

22

io.已知雙曲線C：土—工=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳,B，直線/：y=近交C于A,B兩

63

點(diǎn)，貝U（）

A.\k\＜與B.||A周—忸制=26

C.區(qū)的最小值為-3D.工至心的距離的最大值為代

【答案】AC

【解析】A：由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±變尤，

2

要使直線，=履與雙曲線交于點(diǎn)43,需冏〈當(dāng)，故A正確;

B：由雙曲線的定義知M片|A7?|=2a=2

又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形A￡8區(qū)為平行四邊形,

有忸4|=|伍所以||前1明|=||前|-|9|=2?,故B錯(cuò)誤;

221

C：設(shè)A（九〃），則竺一幺=1（加4—或加2）,得〃2=不加2一3,

632

又F[又3,0),F?(3,0),所以AFX—(—3—m,—n),AF2=(3—m,—ri),

222222

貝I]AFt-AF2=m-9+n=m-9+^m-3=^m-n>^x^l6-12=-3,

即人丹?隹的最小值為-3,故C正確.

D：8(3,0),易知當(dāng)上=0時(shí)，/：y=O,則F2到直線/的距離為0；

d一網(wǎng)一書—p9-

當(dāng)上W0時(shí)，歹2到直線y=履即區(qū)-y=。的距離為“一哀j一丫尸石—―f

r+F

又一乎〈女〈豐且左。0,所以，＞2,則〈信=6，

即8到直線/的距離小于G，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.定義：一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”.在

VA5C中，3C=1,3。邊上的高等于tanA,以VA5C的各邊為直徑向VA6C外分別作

三個(gè)半圓，記三個(gè)半圓圍成的平面區(qū)域?yàn)閃,其“直徑”為d,則()

A.AB-+AC2=3B.VA5C面積的最大值為亞

4

C.當(dāng)NABC=工時(shí)，d=^^-D.』的最大值為逅±1

222

【答案】ABD

【解析】設(shè)角A8,C所對(duì)的邊長為。，"c

由三角形的面積公式可得S次=g人csinA=gtanA,

所以COSA=L,由余弦定理，可得尸+02—儲(chǔ)=2,所以^+,2=3,故A正確;

be

由SMr二工/csinA=t&n",Xb2+c2=3>2bc=---,所以cosA^Z,

22cosA3

/1-cos2A

所以tanA=且僅當(dāng)

Vcos2A

b=c=時(shí)取等，B正確;

2

設(shè)A&AC邊上的中點(diǎn)分別為石，尸，在A5上取一點(diǎn)M，在AC上取一點(diǎn)N,

M

A

5TIC

由兩點(diǎn)間線段最短可得MN<ME+所+FN=g(a+b+c),當(dāng)且僅當(dāng)M,N,E,尸

1jr

四點(diǎn)共線時(shí)取等，所以d=Q(a+b+c),又NA3C=5，

所以tanA=」：，解得A=2,所以c=a=l,b=E所以1=交+1，故C錯(cuò)誤；

tanA42

由前可知，d=-(a+b+c)<-+J^^=^^->當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=邁時(shí)取等，故D

2V72V222

正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若隨機(jī)變量X~N(l,4),2P(X<0)=P(X<2)=m,則加=.

【答案】-

3

【解析】由XNQd)，2P(X<0)=機(jī)，得P(X<0)=P(X>2)=￡；

所以P(Q<X<2)=1—P(X<O)-P(X>2)=1—m，

所以「(乂42)=0.5+與多，又尸(XW2)=m，

所以0.5+^~—=m>解得根=2.

23

故答案為：—

3

-71

2cos—%,-1<%<1

13.已知函數(shù)/(%)滿足/'(x+2)=f(x-2),且/'(x),2,則方程

1-|x—2|,1<九<3

3/(%)=x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

【答案】5

【解析】由函數(shù)/(%)滿足/(x+2)=/(x—2),則〃x+4)=〃x),所以的周期

為4，

兀

2cos—x,—1<%?1/、/、

由/'(乃二^2,則/(8)=/(0)=2cos0=2,

1—|x—2|,1<x<3

可得了(九)的圖象如圖，

方程3/(%)=%的解，即為“X)與y=的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

[8

且當(dāng)x>8時(shí)y=§x〉§〉2,

由圖可知兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5,即方程3/(x)=x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為5.

故答案為：5.

14.某封閉的圓錐容器的軸截面為等邊三角形，高為6.一個(gè)半徑為1的小球在該容器內(nèi)自

由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為.

【答案】1571

【解析】由軸截面為等邊三角形的高為6,易得圓錐的母線長與底面圓的直徑均為46.

小球的半徑為1,在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開后是一個(gè)扇環(huán),

27rx

可知扇環(huán)的半徑為3百，也,扇環(huán)所在扇形的圓心角為八=71,

4V3

所以扇環(huán)其面積為1?兀

127r

2

在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為26-6=百其面積為

（6）71=371?

綜上，圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的區(qū)域面積為15兀.

故答案為：1571

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟.

15.已知某校有甲，乙兩支志愿服務(wù)隊(duì)，甲隊(duì)由3名男生和3名女生組成，乙隊(duì)由4名男生

和1名女生組成.

（1）先從兩隊(duì)中選取一隊(duì)，選取甲隊(duì)的概率為2,選取乙隊(duì)的概率為工，再從該隊(duì)中隨

33

機(jī)選取一名志愿者，求該志愿者是男生的概率；

（2）在某次活動(dòng)中，從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì)，記X為乙隊(duì)中男生與女生

人數(shù)之差，求X的分布列與期望.

解：（1）設(shè)事件A為“選甲隊(duì)”，事件B為“選乙隊(duì)”，事件C為“選中男生”

貝1JP（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C忸+

（2）從甲隊(duì)中隨機(jī)選取2名志愿者支援乙隊(duì),X的可能取值為1、3、5,

則P（X=1）=亂=」=，P（X=3）==—=-=5）=—=—=-

'」I或155,（）或155,（）或155,

故X分布列為:

X135

131

P

555

數(shù)學(xué)期望為E（X）=1x—F3x—F5x——3

555

16.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，記其前〃項(xiàng)和為S”，且$3=%，a2n=2an+j.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

①求也｝的前20項(xiàng)和;

②證明：77+77++"<32.

A&bn

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為2,

由S3=%，得3q+3d=q+4d,即2q=d,

由=2an+[，取〃=1,得%=2q+—=q+d,即q=d—-?

解得4=；,d=牙所以4=g幾一1；

,人1n(n-l)1=-n\所以向=』〃=&,

(2)①由(1)知，Sn=-n+-^——Lx—

n4224v"24

…112n-l

因?yàn)閝=n=,

〃244

1120x191105

所以2=]〃，所以S2o=2Ox]+—^—x-------?

42'

16J11\

,19116

②證明：因?yàn)?——n,所以，2一2<,7------7=16-----------(n>2)

\n-ln)'

16bnnn5-1)

所以當(dāng)〃=1時(shí)，A=16<32.

次

111

當(dāng)“22時(shí)，死+記+

仄瓦bn

7(\(1nio916

<16+161——+---------++------------=J2-----<JZ,

2)(23J一17J]n

111cc

綜上可得”+77++”"<32.

b「b-bn

17.如圖，在直三棱柱A3C—4與￡中，點(diǎn)。在上，AD1DCi-

4Ci

B

(1)證明：AD，平面B4GC；

(2)若AB=AC=2&,AB，AC,二面角C—A￡—。的大小為;.

①求AC與平面ADC,所成角的正弦值；

4

②點(diǎn)E在側(cè)面內(nèi)，且三棱錐E-ADG的體積為§，求E的軌跡的長度.

(1)證明：在直三棱柱ABC-45cl中，CQ±平面ABC,

因?yàn)锳Ou平面ABC,所以CG，AD

又因?yàn)锳。_L￡>G,CqnDC]=C1；CQ,DC｝u平面BBgC,

所以平面B4GC.

(2)解：①在直三棱柱ABC—45cl中，平面ABC,ABJ,AC,

以｛A3,AC,A4｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0),設(shè)4(2應(yīng),0,a),G(o,2V2,a),

設(shè)平面ADC,的法向量勺=(x,y,z),

n,-AD=-Jlx+V2y=0，、萬

由廠.，取x=l,得y=—1/=工，

r\?ACX=2y/2y+az=0a

（2五、

所以平面ADC1的一個(gè)法向量4=L—L、一，

IaJ

又平面C4G的法向量％=（1,0,0），

兀_1nl._1_1

所以8s3=同加「住+2=5,解得a=2.

所以勺=（1,—1,后）,AC=（0,20,0）,

-2J21

所以cos4,AC=—、=——.

2x2拒2

設(shè)AC與平面ADG所成角為6,則sin6=g.

②因?yàn)锳D，￡>Ci，AD=2,￡>G=2夜，

=

所以^,△A￡>C121

4

因?yàn)槿忮FE-ADQ的體積為

所以E到平面ADQ的距離為V2.

因?yàn)镋在側(cè)面ABB|A上，可設(shè)E（x,0,z）,

E到平面ADQ的距離為d=皿旭==任=叵,

1nli2

即軌跡方程為Z=—1X+2,而A（0,0,2）,3（2點(diǎn),0,0）,

所以E在側(cè)面ABgA上的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段45,

所以E的軌跡長度為=26.

18.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線G：產(chǎn)=2x與G：^=2Px（p>0）的焦點(diǎn)分別為耳,巴,耳為

線段。K的中點(diǎn).點(diǎn)4，片在G上（A在第一象限），點(diǎn)A，不在c2上，4與=244.

（I）求曲線C2的方程;

（2）設(shè)直線44的方程為y=2x—2,求直線44的斜率;

（3）若直線44與用鳥的斜率之積為—2,求四邊形444與面積的最小值.

解：（1）拋物線G：V=2x的焦點(diǎn)為巴］；,0

由《為線段。工的中點(diǎn)，可得F2（1,0）,

所以曲線c?的方程為/=?；

(2)設(shè)4(%,%),4(尤2,%)，4(%，%)，62(x4,%),

y=2x-2.

聯(lián)立＜2c，消去X整理得V—丁―2=0,解得x=2,y3=-l,

[y=2%

則A(2,2),哈，"，

..XA__3

因?yàn)?與二244,則＜/

[%_,2=_6

2222

因x,=叢，4=叢，則&—&=—3,所以”+%=2,

24444一

v2/、4-2

所以刈=4,々=字=4,即4（4,4）,直線A4的斜率為m=1；

（3）因?yàn)锳（為，x）,4（*2，%），4（%，%），4（x4，%），

所以44=（七一%,%—%），4與=（尤4一九2，”一%），

x4-x2=2(X3一%)，

因?yàn)?與=2A4，所以

%-%=2(%-

2222

因?yàn)?=]-，%2=會(huì)工3后,％=5

2?/22、

所以々「I,①

由%—%=2(%—%)代入①得y4+y2=2(y3+y1),

y+y=2(y+)

42”3yi\得外%

%-%=2(%-%)，2

22

因?yàn)?=?_,%=號(hào)，所以西=當(dāng)，所以04=2。^，同理062=204,

所以△。414s△。42為且S0ABi-SOA2B2=1:4,

所以S四邊形A&島4=3S.°4用，因?yàn)橐?2=-2,所以左2,々OB]=—2,

所以2_.&=_2,得y；y；2,即％%=—2,

%退TT

\2=2x

設(shè)A4：%=加，+〃，聯(lián)立《'消去羽得y2-2my-2n=Q,

[x=my+〃，

所以x%=—2〃=—2,所以〃=1,則A^:%=沖+1，所以A區(qū)過定點(diǎn)(LO),

c1、12心2仙,=四,

則S4瑪=不'lx%—%=7%+一

22%

2

當(dāng)且僅當(dāng)聞=圖，即岡=四時(shí)取等號(hào)，所以S四邊形A&B24=3S0Al3]—3匹,

所以四邊形面積的最小值為3JI

19.記=aAa2-an.已知函數(shù)/(x)和g(x)的定義域都為。，若存在

為,々,,,，/e￡>,使得"(x)—g(x)]-n(x-xJWO,當(dāng)且僅當(dāng)x=x3i=1,2,，機(jī)時(shí)等

號(hào)成立，則稱/(%)和g(x)在D上"次纏繞”.

(1)判斷/(x)=sinx和g(x)=cosx在(0,2兀)上“幾次纏繞”，并說明理由；

(2)設(shè)/。)=111工+e，若/(幻和/■[￡)在(0,+s)上“3次纏繞”，求。的取值范圍；

(3)記所有定義在區(qū)間上的函數(shù)組成集合A,證明：給定weN*，對(duì)任意

F(x)eA,都存在/(x),g(x)wA,使得尸(x)=/(%)+g(x),且/(x)和g(x)在(a,6)

上“7〃次纏繞

(1)解:函數(shù)/(x)=sinx,x?(。,2兀)和8(X)=85%,%6(0,2不)"2次纏繞"，

理由如下：xe(0,2/r),當(dāng)x=2■和x=2■時(shí)，sinx=cosx,

5TI

則對(duì)任意xe(0,2?i),x—-(sinx-cosx)<0,

7T，兀

當(dāng)且僅當(dāng)了=—和x=一時(shí)，等號(hào)成立,

所以由"根次纏繞"定義可知f(x)和g(x)在(0,2兀)上"2次纏繞

(2)解:設(shè)G(x)=/(x)—/21nxH---ax,

因?yàn)?(%)和F在(0,+8)上"3次纏繞

所以存在互異的三個(gè)正數(shù)X1,%%,使得G(x)?口(x-xjW0,

當(dāng)且僅當(dāng)％=七,，=1,2,3時(shí)等號(hào)成立,

所以石,馬,退是G(x)的三個(gè)零點(diǎn).

注意到G⑴=0,所以1是G(x)的一個(gè)零點(diǎn).

_2(cix^_%2+a)

GG)=-_3-----

X

①當(dāng)aW0時(shí)，G'(x)>O,G(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

1是G(x)的唯一零點(diǎn)，不合題意.

②當(dāng)a2工時(shí)，G'(x)<0,F(x)在(0,+co)上單調(diào)遞減，

2

1是G(x)的唯一零點(diǎn)，不合題意.

③當(dāng)0<a<1?時(shí)，令G'(x)=0,ax4—x2+a=0,存在兩根0<%<1<L，

當(dāng)XG(0')時(shí)，G'(%)<0,G(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe&4)時(shí)，G'(%)〉0,G(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)XG?2，+8)時(shí)，G'(X)<0,G(%)單調(diào)遞減，

所以G(4)<G(1)=0,因?yàn)镚(a)=21na+--a3>21na+--a,