搶分秘籍10幾何圖形中的最值問題

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目錄

題型概覽

【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題【題型二】幾何圖形中的面積

最值問題

【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題【題型四】幾何圖形中胡不歸

最值問題

【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題【題型六】幾何圖形中瓜豆原

理最值問題

考情分析：幾何圖形中的最值問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容.每

年都有一些考生因?yàn)橹R殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?

1.從考點(diǎn)頻率看，屬高頻考點(diǎn)，?，F(xiàn)于填空、選擇及解答壓軸題，多與三角形、四邊形、

圓結(jié)合，側(cè)重線段、面積最值.

2.從題型角度看，含線段最短（如將軍飲馬）、面積、周長最值，以幾何圖形動態(tài)或函數(shù)關(guān)

聯(lián)形式呈現(xiàn)，需用軸對稱等轉(zhuǎn)化.

備考策略：在中考數(shù)學(xué)備考中，熟掌握軍飲馬、胡不歸等模型，強(qiáng)化動態(tài)分析與轉(zhuǎn)化思

想，結(jié)合代數(shù)（二次函數(shù)）與幾何法，多練綜合題，總結(jié)通解通法.

6題型特訓(xùn)提分-----------------------------------------

【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題

【例1】（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）

1.在cABCD中，ZABC=45°,AB=10,BC=20,點(diǎn)P為BC上一動點(diǎn)、,連接AP,則AP

長的最小值為.

IN單線段最值解題技巧：先分析動點(diǎn)軌跡（直線或圓）.若軌跡為

直線，用“垂線段最短”或軸對稱（如將軍飲馬模型）轉(zhuǎn)化；若為圓，利用“點(diǎn)圓距離”（定

點(diǎn)到圓心距離土半徑）.借助幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)等）或三角形三邊關(guān)系（兩邊和差）

確定最值位置，注意結(jié)合圖形動態(tài)分析端點(diǎn)與臨界狀態(tài).

【例2】（2025?廣東韶關(guān)?一模）

2.如圖，在中，C4=4,CB=3,M為斜邊A8上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作交

C4于點(diǎn)。，上歸，。交8于點(diǎn)￡,則線段的最小值為.

【變式1］（2025?河南安陽?模擬預(yù)測）

3.如圖，菱形ABCZ）中，點(diǎn)。為對角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，且。P=

已知鉆=2,BD=2也.連接AP,則AP的最小值為,最大值為.

【變式2］（2025?江蘇連云港?一模）

4.如圖，菱形ABCD中，/3=60。，點(diǎn)E是A3邊上的點(diǎn)，AE=4,BE=8,點(diǎn)/是上

的一點(diǎn)，AEG尸是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，NEFG為30。角的直角三角形，連結(jié)AG,當(dāng)點(diǎn)尸在

直線3c上運(yùn)動時(shí)，求線段AG的最小值？

【變式3］（2025?安徽合肥?一模）

試卷第2頁，共18頁

5.如圖1,菱形ABC。中，NO=60。，AB=4,點(diǎn)、E,尸分別在邊48,ADh,AE=DF.

⑴求證：BEC空AFC；

(2)求的最小值；

(3汝口圖2,線段所的中點(diǎn)是點(diǎn)0,連接02,OD,求四邊形05CD的面積.

【題型二】幾何圖形中的面積最值問題

【例1】(新考法，拓視野)(2024?陜西西安?一模)

6.【問題提出】

(1)如圖1,已知在邊長為5的等邊VABC中，點(diǎn)D在邊2C上，8。=3,連接AD,則ACD

的面積為二

【問題探究】

(2)如圖2,已知在邊長為6的正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊8C上，點(diǎn)尸在邊CD上，且

ZEAF=45°,若EF=5,求△AEF的面積；

【問題解決】

(3)如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在AB=4米，AD=4坦米的矩

形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個(gè)△AEF的工作面，其中8、尸分別在3C、CD邊上(不與2、C、

。重合)，且㈤F=60。，為了減少對該路段的擁堵影響，要求aAEF面積最小，那么是否

存在一個(gè)面積最小的△AEF?若存在，請求出尸面積的最小值；若不存在，請說明理

由.

AA______nA___________D

DCBE

圖1圖2

IN面積最值解題技巧：先固定底或高，將問題轉(zhuǎn)化為單線段最值

（如高的最值）；或設(shè)變量建立二次函數(shù)模型，利用頂點(diǎn)式求極值；動態(tài)問題中分析動點(diǎn)

軌跡，結(jié)合幾何性質(zhì)（如平行線間距離不變）判斷最值位置；還可利用三角函數(shù)表達(dá)面積

（如S=；a6sin6）,通過角度或邊長最值求解，注意定義域與圖形臨界狀態(tài).

【例2】（新考法，拓視野）（2024?陜西咸陽?一模）

7.問題提出：

（1）如圖①，的半徑為4,弦凡8=46，則點(diǎn)。到A3的距離是.

問題探究：

（2）如圖②，。的半徑為5,點(diǎn)A、B、C都在I。上，AB=6,求VABC面積的最大值.

問題解決：

（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，。的直徑為60m,等邊，ABP的邊48是4，。的弦，

頂點(diǎn)尸在。內(nèi)，延長AP交于點(diǎn)C,延長成交。。于點(diǎn)D,連接CO.現(xiàn)準(zhǔn)備在qaAB

和△PCD區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算，草坪的面積盡可能大，求草

坪的最大面積.（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積（S.+S,。）的最小值）

【變式1］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,3c=4,點(diǎn)P為邊CO上一動點(diǎn)，連接AP交對角線8。

于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作砂，AP,EF交BC于點(diǎn)、尸,連接AF交8。于點(diǎn)G,在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程

中，AAEG面積的最小值為.

試卷第4頁，共18頁

【變式1](2025?安徽?二模)

9.如圖，在垃ABC中，ZC=90°,tanZABC=：,點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，連接D4,已

知￡?=ZM=3,點(diǎn)E是射線ZM上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段上一點(diǎn)，且/DFE=45。,

連接BE.

(1)DC=

(2)△3EF的面積最大值為

【變式3](2025?陜西西安?三模)

10.(1)問題提出：如圖①，在平行四邊形A38中，AB=\6,AD=n.E,H分別是AD,

AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在。C上，且止=10,NA=60。，點(diǎn)G在上，且3G=4,求四邊形E尸GA

的面積(結(jié)果保留根號);

(2)問題解決：如圖②，某市有一塊五邊形空地ABCDE,現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)部修建一個(gè)四

邊形公園0PMN,使點(diǎn)O,P,M,N分別在邊8C,CD,AE,AB±.,且滿足AN=CP,

AM=OC.已知在五邊形/1BCDE中，ZBAE=ZB=ZBCD=90°,AB=AE=600m,

BC=1000m,CD=400m,為使游客更好的放松游玩，公園0PMN的邊心〃AC,且面

積盡可能大.請問是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的四邊形OPMN?若存在，求出四邊

形OPMV面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離；若不存在，請說明理由.

B

圖①圖泛，

【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題

【例1】(2025?廣東?模擬預(yù)測)

11.如圖，正方形A2CD的邊長為4,點(diǎn)E在A8上，且AE=1,尸是對角線上一動點(diǎn),

則△AEP周長的最小值為.

將軍飲馬模型:條件：A,B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m

上的一個(gè)動點(diǎn)，求AP+BP的最小直

模型(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

模型(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè):模型(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

圖(1)圖(2)

模型(2)：如圖(1),連結(jié)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段

AB的長度.

模型(3)：如圖(2),作點(diǎn)A關(guān)于定直線機(jī)的對稱點(diǎn)連結(jié)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

最短，AP+3P的最小值即為：線段/3的長度.

試卷第6頁，共18頁

模型（L2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）

如圖（1-2）,作點(diǎn)8關(guān)于定直線w的對稱點(diǎn)夕，連結(jié)/夕，根據(jù)對稱得到：QB=QB',故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB\

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，以+PQ+QB的最小值即為：線段/夕的長度.

模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖（1-3）,作點(diǎn)8關(guān)于定直線〃的對稱點(diǎn)丁，作點(diǎn)A關(guān)于定直線機(jī)的對稱點(diǎn)N，，連結(jié)

A'B',

根據(jù)對稱得至I：QB=QB\PA=PA）,PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，出+PQ+QB的最小值即為：線段/'2'的長度.

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線加、”的對稱點(diǎn)/‘、A",連結(jié)48,

根據(jù)對稱得到：QA=0/'，PA=PA",PA+PQ+QA=PA-+PQ+QA

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到出+PQ+QA的最小值即為：線段的長度.

將軍遛馬模型：已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，尸、。是直線加上的兩個(gè)動點(diǎn)，尸在。的左側(cè)，

且P。間長度恒定，在直線機(jī)上要求P、。兩點(diǎn)，使得鞏+PQ+Q8的值最小.

點(diǎn)A、B在直線機(jī)異側(cè)（圖1-1）；點(diǎn)A、B在直線相同側(cè)（圖1-2）；

2_________

?~?■

PQ-------------

iPQ

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1,過A點(diǎn)作AC〃根，S.AC=PQ,連接8C,交直線機(jī)

于。，。向左平移尸。長，即為尸點(diǎn)，此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn).

?1。為定值，；.求出+尸。+。2的最小值，即求B4+QB的最小值+P。.

,：AC//m,AC=PQ,得至ij四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC.：.PA+QB^QC+QB,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得以+。8的最小值為C8,故出+尸。+。8的最小值

=PQ+CB.

試卷第8頁，共18頁

B

I?

BBr

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2,過A點(diǎn)作AE〃機(jī)，且AE=P。，作8關(guān)于機(jī)的對稱點(diǎn)

夕，連接夕￡,交直線小于0,。向左平移尸。長，即為尸點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn).

：/5。為定值，，求必+/＞。+。8的最小值，即求B4+Q8的最小值+PQ.

\'AE//m,AE=PQ,得至lj四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE.：.PA+QB=QE+QB,

根據(jù)對稱，可得。8'=。8,BPQE+QB^QE+QB\

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得QE+QB'的最小值為EB',故小+尸。+。2的最小值

=PQ+EB,.

將軍造橋（過橋）模型：已知，如圖2,將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，

橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+M3的值最小）.

圖2-1圖2-2

將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2,過A點(diǎn)作4V〃MMS.AA^MN,連接48,

,,-AAy/MN,且，四邊形APQC為平行四邊形，故

為定值，求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN.

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為AB故AM+MN+NB的最小值

=A'B+MN.

【例2】（2025?陜西榆林?一模）

12.如圖，在菱形A3CD中，AB=5,BD=8,點(diǎn)E,尸在3。上，連接AE,CF.若EF=2,

則AE+CF的最小值為.

AD

【變式1］（2025?山東濱州?一模）

13.如圖，在矩形ABCZ）中，AB=CD=EF=4,點(diǎn)、E,歹是對角線8。上的兩點(diǎn)，NCBD=30。,

點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，則GE+AF的最小值為.

14.如圖，點(diǎn)尸為矩形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸GLCD,垂足為G,連接AP、,若A￡>=4,

AB=6,則PG+R4+PB的最小值為.

【變式3］（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）

15.問題提出

（1）如圖1,VA3C中，NC=90o,AC=BC=3,E是的中點(diǎn)，尸是8C邊上的一動點(diǎn),

則PA+PE的最小值為；

問題探究

（2）如圖2,在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=2,^BAD=60°,E,歹是CD邊上的動

點(diǎn)，且EF=1,則AE+3尸的最小值是多少？

試卷第10頁，共18頁

問題解決

(3)如圖3是夾角為30°的港灣(/MON=30。)，ON岸上有一個(gè)碼頭A,灣內(nèi)有個(gè)小島

8,OA=2000m,小島3與的距離為500m,與ON的距離為2000m.現(xiàn)擬在ON,ON岸

上設(shè)置C￡?,E三處游客接駁點(diǎn)，點(diǎn)C在上，點(diǎn)在QV上，且為了游客方便及安全,

D,E之間的距離為1000m,客船從碼頭A出發(fā)，沿AC-CD-DE-EB前行，最終到達(dá)小

島8,請問，根據(jù)兩岸接駁點(diǎn)的安排，是否存在最短的運(yùn)輸路線？若存在，請求出最短運(yùn)輸

圖3

【題型四】幾何圖形中胡不歸最值問題

[例1](2025?黑龍江佳木斯?一模)

16.如圖，平行四邊形ABC。中，DAB=60°,AB=8,BC=2,尸為邊CD上的一動點(diǎn),

貝I]PB+叵PD最小值等于.

2

一動點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動速度為Vi,在直線MN上運(yùn)動

的速度為V2,且Vi<V2,A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使十+年

的值最小.(注意與阿氏圓模型的區(qū)分).

f

1）與+器BC+^AC,記憶=才，即求BC+fc4c的最小值.

丫2匕匕I%）>2

2）構(gòu)造射線AD使得sin/ZMN=A,—=k,CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求8C+CH最小值.

AC

3）過2點(diǎn)作BHLAD交MN于點(diǎn)、C,交AD于H點(diǎn)、,此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC

最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“研+紅吩'的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與d3相等的線段，

將，必+在8”型問題轉(zhuǎn)化為“以+PC，型.（若Q1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決

即可）.

【最值原理】垂線段最短.

【例2】

17.如圖，VABC中，AB=AC=10,ZA=45°,是VA8C的邊AC上的高，點(diǎn)P是

上動點(diǎn)，貝IJ立8P+C尸的最小值是______.

2

【變式1］（2024.河南漫河.一模）

18.如圖，在矩形A5CZ）中，AD=6#）,AB=6,對角線AC,80相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在線

試卷第12頁，共18頁

段AC上，且AE=4,點(diǎn)F為線段80上的一個(gè)動點(diǎn)，則砂+33尸的最小值為.

【變式2］（2024?廣東廣州?二模）

19.如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=60°,AB=4,點(diǎn)E為線段2C上一個(gè)動點(diǎn)，邊43關(guān)

于AE對稱的線段為AF,連接￡>F.

⑴當(dāng)AF平分NIME時(shí)，/BAE的度數(shù)為.

（2）延長。/，交射線AE于點(diǎn)G,當(dāng)3E=2時(shí)，求AG的長.

（3）連接AC,點(diǎn)”為線段AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），且BEfCH,求DE+拒DH

的最小值.

【變式3］（2024?廣東廣州?一模）

20.如圖，在矩形ABC。和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,AB=43AD,AG=y/3AE.矩

形HGFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接3G,CF,AC,AF.

⑴求證：ABG^ACF；

⑵當(dāng)CE的長度最大時(shí)，

①求3G的長度；

②在△ACF內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得CP+4P+若P尸的值最小?若存在，求CP+AP+6尸尸

的最小值；若不存在，請說明理由.

【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題

【例1】（2024?廣東?模擬預(yù)測）

21.如圖，已知正方ABC。的邊長為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)尸是圓2上的一個(gè)動點(diǎn)，則

動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（HP：平面上兩點(diǎn)A、B,動點(diǎn)尸

滿足B4ZP8"（左為常數(shù)，且#1））,那么動點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘

數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓.

如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、8都在。。夕卜，P為。。上一動點(diǎn)，已知心

OP

（即==左），連接出、PB,則尊'出+左尸歹的值最小時(shí)，尸點(diǎn)的位置如何確定？最小

值是多少呢？

試卷第14頁，共18頁

如圖2,在線段OB上截取OC使OC=k-r（即——=k）,——=k,——=——,

OPOBOBOP

PC

,：ZPOC=ZBOP,:ZOCs^BOP,：.—=k,gpk-PB=PC.

PB

故本題求“小+上產(chǎn)g’的最小值可以轉(zhuǎn)化為“B4+PC的最小值.

其中與A與C為定點(diǎn)，尸為動點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“出+PC'值最小，如圖3

所示.

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬

型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似.

阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）;點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系

數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等.

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“左出+尸尸最

值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問

題

【例2】（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）

22.如圖，矩形ABCD中A5=8,AD=6,點(diǎn)E是矩形ABC。內(nèi)部一個(gè)動點(diǎn)，且四=4,

連接CE,則DE+三分之二CE的最小值為（）

A.8B.—C.—D.9

33

【變式1］（2024.廣東.?？级＃?/p>

23.（1）初步研究：如圖1,在△出臺中，己知E4=2,AB=4,。為A8上一點(diǎn)且A0=1,證

明：PB=2PQ；

（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2,已知正方形ABC。的邊長為4,的半徑為2,點(diǎn)P是。A上的

一個(gè)動點(diǎn)，求2PC+P8的最小值；

（3）拓展推廣：如圖3,已知菱形ABC。的邊長為4,ZA=60°,。&的半徑為2,點(diǎn)尸是

上的一個(gè)動點(diǎn)，求2PC-P8的最大值.

DC

DC

【題型六】幾何圖形中瓜豆原理最值問題

【例1】（2024.四川達(dá)州.一模）

24.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,8c=5招，點(diǎn)尸在線段3C上運(yùn)動（含B,C兩點(diǎn)）,

連接AP,以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AQ,連接。Q,則線段22的最小

值為.

瓜豆原理：若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角,

則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同.

主動點(diǎn)叫瓜，從動點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動，豆也在直線一上運(yùn)動；瓜在圓周上運(yùn)動，豆

的軌跡也是圓.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

條件：1）如圖，P是直線上一動點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P在2C上運(yùn)動時(shí),

。點(diǎn)軌跡是？

RPNU

結(jié)論：當(dāng)尸點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，。點(diǎn)軌跡也是一條直線.

證明：分別過A、。向8C作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動過程中，

因?yàn)锳P=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即。點(diǎn)到3C的距離是定值，故。點(diǎn)軌跡是

試卷第16頁，共18頁

一條直線.

條件：2）如圖，在AAP。中AP=A。，NB4Q為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線8c上運(yùn)動時(shí)，求。

點(diǎn)軌跡？

結(jié)論：當(dāng)4P與AQ夾角固定且AP：A。為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.

證明：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的。點(diǎn)的位置，連線即可，

比如。點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得。點(diǎn)軌跡線段.

解題策略：1）當(dāng)動點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；

2）當(dāng)動點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下四種方法進(jìn)行確定：

①觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接

后的角度不變，若存在該動點(diǎn)的軌跡為直線；②當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動

點(diǎn)的軌跡為直線；③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則

點(diǎn)的軌跡為直線；④若動點(diǎn)軌跡用上述方法都不合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知

軌跡的線段求值.

［例2］（2024.四川瀘州?二模）

25.如圖，正方形ABCD的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作一C,點(diǎn)尸為C上的動點(diǎn)，

連接并將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到3尸'，連接CP,在點(diǎn)尸運(yùn)動的過程中，CP長

度的最大值是.

【變式1］（24-25九年級上?湖北荊州?期中）

26.在矩形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E在2C上，點(diǎn)尸在平面內(nèi)，BE=2,EF=3,連按AF,

將線段AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP,則線段PE的最大值為

【變式2]（24-25九年級下?河南信陽?開學(xué)考試）

27.如圖，已知正方形A5CD的邊長為2,另一邊長為0的正方形EFGH的中心與點(diǎn)A重

合，連接CE,設(shè)CE的中點(diǎn)為連接當(dāng)正方形EFG"繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，DM的最小

值為,最大值為.

試卷第18頁，共18頁

《搶分秘籍10幾何圖形中最值模型問題（六大題型）-2025年中考數(shù)學(xué)沖刺搶押秘籍（全

國通用）》參考答案：

1.572

【分析】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，作

于點(diǎn)E,則NAEB=90。，因?yàn)?ABC=45°,所以NE4B=NABC=45。，則由

AB=>JAE2+BE2=-J2AE=10，求得AE=5及，則4225直，所以AP長的最小值為50，

于是得到問題的答案.

【詳解】解：作AE_LBC于點(diǎn)E,則NAEB=9O。，

：/ABC=45。，

ZEAB=ZABC=45°,

，AE=BE,

AB=VAE2+BE2=V2AE=10-

AE=5叵,

'/AP>AE,

AP25近,

.1.AP長的最小值為50，

故答案為：5^2.

2.U

5

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短及勾股定理等知識，把求OE的最小值

轉(zhuǎn)化為求CM的最小值是解題的關(guān)鍵；連接CM；易得四邊形次/CE是矩形，則DE=CM,

當(dāng)J.四時(shí)，CM最小，從而￡>E最小；利用面積相等即可求得CM的最小值，從而求得

的最小值.

【詳解】解：如圖，連接

VACA.BC,MDYCA,MELCB,

二四邊形DMCE是矩形，

DE=CM；

當(dāng)J."時(shí)，CM最小，從而DE最小；

答案第1頁，共40頁

由勾股定理得：AB=JAC2+BC2=5,

5A4?r=-2AC2BC=-ABCM,

ACBC12

???CM=

AB5

6+l##l+G

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得Q4=l,當(dāng)

點(diǎn)P,點(diǎn)A,點(diǎn)。在同一直線上時(shí)，針有最小值或最大值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接AC,

:點(diǎn)。為對角線8。的中點(diǎn)，

AC經(jīng)過點(diǎn)。，

'菱形

ACJ.BD,BO=-BD=y[3,

2

?.*AB=2,

,,OA—VAB2+BO2=1?

OP=-BD=-j3,

2

...點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心，長度為舊的；0,

，當(dāng)點(diǎn)尸，點(diǎn)A,點(diǎn)。在同一直線上時(shí)，AP有最小值或最大值,

答案第2頁，共40頁

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A上方時(shí)，AP有最小值為6-1;

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A下方時(shí)，AP有最大值為代+1;

故答案為：M-1;A/3+1.

4.2g

【分析】過點(diǎn)E作ENLBC于點(diǎn)M,作MH_LA3于點(diǎn)作AP_LGM于點(diǎn)尸，點(diǎn)

E、M、F、G四點(diǎn)共圓，四邊形MH4P是矩形，MH=AP,EM=BE-cos30°=473,

AG2AP=2#),由此即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EM，5c于點(diǎn)M,作必/_LAB于點(diǎn)H,作AP_LGM于點(diǎn)尸,

Z.EMF+Z.EGF=180°,

.,.點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓,

Z.EMG=NEFG=30°,

ZS=60°,

ZBEM=30°=ZEMG,

:.MGAB,

，四邊形MH4P是矩形，=

BE=8,

EM=BE.cos30。=46，

:.MH=-EM=2y/3=AP,

2

AG>AP=2>/3,

；.AG的最小值為2石.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，特殊角的直角三角形的計(jì)算，圓的基礎(chǔ)知識，理解垂線段最短的計(jì)算方法，合

理作出輔助線是關(guān)鍵.

答案第3頁，共40頁

5.(1)見解析

(2)2A/3

⑶S四娜OBCD=

【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，三

角函數(shù)，

(1)由覆=ADAE=DF,所以鹿=”.因?yàn)锳B。是菱形，且〃=60。，所以VABC

與，ACD都是正三角形，從而3C=AC,NCBE=NCAF,故BEC沿AFC.

(2)解：過E作DA延長線的垂線，交于點(diǎn)E,設(shè)AE=2a,貝|AF=4—O尸=4—2。，根

據(jù)勾股定理，得利=2小(〃-行+3,所以當(dāng)。=1時(shí)，EV有最小值為2g.

(3)解：方法一：過點(diǎn)。作邊BC的垂線，交BC與點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)N.再過點(diǎn)E向邊AD

所在的直線作垂線，交AD的延長線于點(diǎn)E'.^AE=DF=2a,則理=AF=4-2a,可得

四邊形OBCD的面積.方法二：取AE中點(diǎn)G,連接OG,過G作GHLBC于修，得

GH=BGxsin60=^-(BE+GE)=^-^BE+^EA^,求出S，SOCD>可得四邊形O3CD

的面積.

【詳解】(1)證明：：四邊形ASCD是菱形，"=60°

AAB=AD=BC=CD,4=60。，

...VABC與ACD都是正三角形，

ABC=AC,NCBE=NCAF,

,/AE=DF

：.BE=AF,

：.BEC%BAFC；

(2)解:過E作ZM延長線的垂線，交于點(diǎn)EL設(shè)AE=2a,則AF=4-O尸=4-2a.

,//4￡E'=30。，

AAE'=a,EE=島,

：.E'F=AE'+AF=4-a.

在Rt^EEE'中，據(jù)勾股定理，得

EF=?4-a)2+(可了=V4A2-817+16

答案第4頁，共40頁

=2^(a-l)2+3,

(3)解：方法一：過點(diǎn)。作邊BC的垂線，交3C于點(diǎn)交AO于點(diǎn)N.再過點(diǎn)E向邊AD

所在的直線作垂線，交AD的延長線于點(diǎn)E'.設(shè)AE=D尸=2。，貝|鹿=AF=4-2a,

,線段砂的中點(diǎn)是點(diǎn)。,

ON=-EE'=—a?

—a?

2

同理可得。P=員走a,

2

二四邊形03co的面積S=LX4XOM+^X4><OP=6V^.

一22

過G作GH_L5C于H,

則GH=BGxsin60°=^(BE+GE)=^~BE+^EA\,

OGBC,

所以S°BC=-BCxGH^-x4x+-EAE+^EA],

222

答案第5頁，共40頁

同理：5OCD=1x4x^-^F+|FAj=V3^AE+|B￡j,

oo/Ton

**S四邊形OBCQ=S^OBC+S,OCD=y/3x-(AE+BE)=^-AB=^-x4=6^.

6.(1)"；(2)15；(3)96-486

【分析】(1)如圖所示，過點(diǎn)A作AELBC于E,利用等邊三角形的性質(zhì)得到

AC=BC=5,C￡=|BC=|,再利用勾股定理得到4￡=孚，即可利用S0CD

求出答案；

(2)如圖所示，延長EB到G使得5G=D尸，連接AG,證明ABG^ADF(SAS),得到

,再證明.(),得到=S,

AG=AF,ZDAF=/BAGAEF^AEGSASEG=EF=5,SAAEFAA￡G

則。產(chǎn)/…："的8

(3)把△ADR繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。并把邊長縮小為原來的也，得到ABG,則

3

AG=—AF,ZFAG=90°,NE4G=30°；過點(diǎn)E作EMLAG于作硒，A尸于N,

3

則四邊形AMEN是矩形，則ME=4V,解直角三角形得到ME=AN=且竺，進(jìn)而得到

3

&-AG-ME

S

△△4GE_2________=；，即^AEF=3sRG，則當(dāng)△AEG的面積最小時(shí)，AAEF的面積最小;

SAAEF-AF-NE

2

如圖所示，作AAEG的外接圓，圓心為O,連接。4OG,OE,過點(diǎn)。作OHJ_EG于H,

^OG=OA=OE=r,由圓周角定理得到NGOEMZ/CMEMGO。，則NGOJ/=NEC歸=30。,

推出OH=^OG=^r,GE=2GH=r,由于5AAGE=《GE-A8=2GE=2r,則當(dāng)r最小

222

時(shí)，AAEG的面積最小，故當(dāng)A、0、”三點(diǎn)共線時(shí)，『有最小值，最小值為16-86，則

(S的)最小值=3(S.G)最小值=3x2x(16-86)=96-486,即存在一個(gè)面積最小的△但，

其最小值為96-4873.

【詳解】解：(1)如圖所示，過點(diǎn)A作AE_LBC于E,

：VABC是邊長為5的等邊三角形，

/.AC=BC^5,CE,BC=),

22

答案第6頁，共40頁

???AE=7AC2-CE2=—,

2

BD=3,

：.CD=BC-BD=2,

(2)如圖所示，延長到G使得5G=O產(chǎn)，連接AG,

四邊形ABC。是正方形，

AAB=AD,ZD=ZABG=ZBAD=90°f

：.ABG^ADF(SAS),

:.AG=AF,ZDAF=ZBAG,

ZEAF=45°,

JZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=45°,

???NBAG+ZBAE=45。，

???ZE4G=NEAF=45。，

又＜AE=AE,

：.AEF^..AEG(SAS),

,?EG=EF=5，^AAEF=S^AEG，

又：AB=6,

圖2

答案第7頁，共40頁

(3)把△?!￡>廠繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。并把邊長縮小為原來的18,得到&ABG,

3

AG=—AF,ZFAG=90°,

3

?.?ZEAF=6O°,

???NE4G=30。，

過點(diǎn)力作應(yīng)0，47于M,作ENLA/于N,則四邊形AMEV是矩形,

:?ME=AN,

NE_6NE

ME=AN=

tanNEAN3

<-AG-ME1

^△AGE_2_1

S^AEF-AFNE3

2

??^/\AEF=3S/\AEG，

???當(dāng)△AEG的面積最小時(shí)，△A￡F的面積最?。?/p>

如圖所示，作△AEG的外接圓，圓心為O,連接04OG,OE,過點(diǎn)。作OH,EG于〃,

設(shè)OG=ft4=QE=r,

NGOE=2NGAE=60°,

???/GOH=ZEOH=30°,

：.OH=—OG=—r,GE=2GH=r,

22

?：S^CE=^GE-AB=2GE=2r,

當(dāng)廠最小時(shí)，△AEG的面積最小，

u：OA+OH>AB,

r+r>4,

2

/.r>16-8V3,

???當(dāng)A、0、〃三點(diǎn)共線時(shí)，廠有最小值，最小值為16-86，

???(S.皿)最小值=3(53)最小值=3x2x(16-84)=96—48有,

存在一個(gè)面積最小的尸，其最小值為96-48百.

答案第8頁，共40頁

GBHEC

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性

質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，通過作

出輔助線構(gòu)造直角三角形，全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(1)2；(2)27；(3)(900萬-450⑹n?

【分析】(1)作交于點(diǎn)C,連接由垂徑定理可知AC=8C=2百，禾!I用勾

股定理即可求出答案；

(2)作。。，45交48于點(diǎn)￡>,連接Q4,使VA3C面積最大，則應(yīng)最大，即當(dāng)C。經(jīng)

過圓心。的時(shí)候取值最大，由垂徑定理以及勾股定理求出8=4,得到CD=9,即可求出

答案；

(3)設(shè)AB=x,則CP=AC-x,證明△PCD是等邊三角形，進(jìn)一步得到

S9+$9co=5'一；AC：+(AC?,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x=；AC時(shí)，

%皿+%.8有最小值，此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，則AC是：。的直徑，求出工皿+5心8的最

小值為450gm2,用圓面積減去SAPAB+SAPCD的最小值即可得到答案.

【詳解】(1)解：作交于點(diǎn)C,連接。4,

圖①

'/AB=4G,

由垂徑定理可知：AC=BC=26

?/OA=4,

答案第9頁，共40頁

OC=y/o^-AC2=._(2用2=2；

即點(diǎn)。到A8的距離是2,

故答案為：2

(2)作?！辏?，45交48于點(diǎn)。，連接。4,

,：AB=6,若使VABC面積最大，則CD應(yīng)最大，

當(dāng)C。經(jīng)過圓心O的時(shí)候取值最大，

由垂徑定理可知：AD=BD=3,

?；OA=5=OC,

OD=V(9A2-AD2=4,

：.CD=OC+OD=9,

,?^,ABC=_X6X9=27,

即VABC面積的最大值為27.

(3)設(shè)AB=x,則CP=AC—x,

：是等邊三角形，

AB=BP=AP,ZA=ZABP=Gd°,

：.ZC=ZABP=60°,"=ZA=60。，

△PCD是等邊三角形，

2

SPAB+SPC0+￥(AC-x)2=等卜一；40+^-AC,

???當(dāng)x=jAC時(shí)，S△的+工皿有最小值，

AB=AP=PC,

/.DP=BP,

，此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，貝IAC是：。的直徑，

答案第10頁，共40頁

：.AB=AP=AC=60cm

2

此時(shí)SPAg+SPCD=x60?=450^3(m?),即S^PAB+S^PCD的最小值為450A/3HI，

?,?草坪的最大面積為萬x3()2-4504=(9007-450K)m2.

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定

和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些知識并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【分析】由勾股定理得，AD=ylBC2+CD2=5-由NA￡產(chǎn)+NABC=18O。，可知4B、F、E

四點(diǎn)共圓，則NEBF=NK4尸，如圖，作△AEG的外接圓。，過A作AH于H,過

11I7

0作OM上BD于M,連接O區(qū)OG,由S筋。ugBOxAH=萬ABxAD,可求AH=不，

由GE=GE,可得NGOM+NEOM=2NEAG,貝|NGOM=NEOA/=NH4G=,

tanZ.GOM=-tanZEBF=,設(shè)GM=3w，則OA/=4M,GE=6m,由勾股定

GMBC4

.__________124

理得，OA=OG=\lGM?+OM?=5w,由。4+OM之AH,可得5加+4加可求機(jī)2.，

O11Q19

則GE=6加根據(jù)SJGM^GEXAHNIX^XM，求解作答即可.

【詳解】解：???矩形ABCD,

CD=AB=3,AD=BC=4,

由勾股定理得，AD￡BC2+CD?=5,

丁ZAEF=90。=ZABC,

???ZAEF+ZABC=180°f

???A、B、F、￡四點(diǎn)共圓，

JZEBF=/EAF,

如圖，作△AEG的外接圓O,過A作AH_LAD于H,過。作OM_L皮）于M,連接

OE、OG,

答案第11頁，共40頁

D

BFC

SARn^-BDxAH^-ABxAD,即工x5xA"=’x3x4,

ABD2222

12

解得，A”=M，

???Z.GOM=Z.EOM,

*.*GE=GE,

：.Z.GOM+ZEOM=2ZEAG,

???Z.GOM=AEOM=Z.EAG=ZEBF,

：.tanZGOM="=tanZEBF=-=

GMBC4

設(shè)GM=3m,則OM=4m,GE=6m,

由勾股定理得，OA=OG=[GM2+OM2=5m，

u

：OA+OM>AH9

.:/、12

??5m+4m>—,

,，4

解得，m>—,

Q

GE=6m>—,

.e八mJ812_48

??iS4”——3HxAri2—x—x———,

.MG225525

48

在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，△河面積的最小值為石，

48

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓，同弧所對的圓周角相等，外接圓，

圓周角定理，垂徑定理，正切等知識.熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓，同弧所

對的圓周角相等，外接圓，圓周角定理，垂徑定理，正切是解題的關(guān)鍵.

c