期末復(fù)習(xí)必考解答壓軸題（18大題型）

【人教版2024]

＞題型梳理

【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】.................................................................1

【題型2相交線中的角度綜合問題】............................................................3

【題型3平行線中的輔助線構(gòu)造】..............................................................4

【題型4平行線中的定值問題】.................................................................6

【題型5平行線中的角度綜合問題】............................................................8

【題型6無理數(shù)的估算1..........................................................................................................10

【題型7與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】..............................................................12

【題型8與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】..................................................................13

【題型9平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征】.....................................................14

【題型10平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】.......................................................16

【題型11坐標(biāo)與圖形】........................................................................17

【題型12二元一次方程（組）的解】...........................................................19

【題型13求二元一次方程（組）中的參數(shù)】.....................................................20

【題型14二元一次方程組的特殊解法】.........................................................21

【題型15二元一次方程（組）的應(yīng)用】.........................................................23

【題型16求一元一次不等式（組）中參數(shù)】....................................................24

【題型17解特殊不等式組】...................................................................26

【題型18一元一次不等式（組）的應(yīng)用】.......................................................27

＞舉一反三

【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】

【例1】（24-25七年級?全國?單元測試）如圖，O,。兩點在直線4B上，在AB的同側(cè)作直角三角形DOE和

射線。C,使4DOE=90°,ZBOC=30°.

⑴分別求NBOC的余角和補角的度數(shù)；

(2)將△DOE繞點、。按每秒5。的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，第幾秒時，直線0E恰好平分ABOC,則此時直線。。是否平分N40C?請說明理由

②在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，滿足0E在乙40c的內(nèi)部，請?zhí)骄看藭r乙4。。與NCOE之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.

【變式1-11(24-25七年級?浙江溫州?期末)“蒼南1號”是我國第一個平價海上風(fēng)電項目，服務(wù)于國家“雙

碳”戰(zhàn)略，具有顯著的環(huán)境效益和經(jīng)濟效益.如圖1所示，風(fēng)電機的塔架0P垂直于海平面，葉片。4OB,0C

可繞著軸心。旋轉(zhuǎn)，且乙4。8=乙BOC=^AOC.

(1)如圖2,當(dāng)。410P時，求NBOP的度數(shù).

(2)葉片從圖3位置(04與0P重合)開始繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后乙40P與NBOP互補，則旋轉(zhuǎn)的最小角

度是多少度？

【變式1-2](24-25七年級?貴州貴陽?期末)將三角板C。。的直角頂點O放置在直線力B上.

(1)若按圖1的方式擺放，且乙4。。=52°,射線0E平分乙BOC,則NCOE=.

(2)如圖2,Z.EOB=60°,將三角尺C。。繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a(即乙4。。=a,

0°<a<180°).

①當(dāng)。C平分由040E,。。其中兩條射線組成的角時，求滿足要求的所有a的值.

②在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在2/B0。=NC0E?若存在，求此時a的值；若不存在，請說明理由.

【變式1-3］（24-25七年級?江蘇無錫?期中）【綜合實踐】根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：

小江和小南在做物理實驗時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)光發(fā)生反射時，反射光線與平面鏡的夾角總是等于入射光線與平面鏡

的夾角.于是，他們想進一步探究轉(zhuǎn)動的平面鏡對光線反射的影響.如圖1,點。為水平放置的平面鏡

上一點，將一塊三角板的直角頂點擺放在。處，滿足斜邊4B||MN/2=60。，NB=30。.現(xiàn)有一束光線C。

經(jīng)平面鏡反射后沿。。射出，當(dāng)光發(fā)生反射時，"ON總是等于4COM.若使光線CO從與。M重合處開始繞

著點。以每秒5。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒.

【探究1］當(dāng)力=3時，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中畫出此時入射光線CO和反射光線。C，所在位置；

【探究2】當(dāng)NA0C=3NB。。，且0<t<18時，求出滿足條件的f的值；

【探究3】若在光線CO開始轉(zhuǎn)動的同時，平面鏡MN也繞點O以每秒3。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)。<t<10時,

請直接寫出N40C和NB0。之間的數(shù)量關(guān)系.

【題型2相交線中的角度綜合問題】

【例2】（24-25七年級?陜西西安?期中）我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如

圖1,AD,BC相交于點。，連接ZB,CD得至「8”字圖形力BDC.

（1）如圖1,試說明乙4+/8=NC+ND的理由;

（2）如圖2,N4BC和N4DC的平分線相交于點E,利用（1）中的結(jié)論探索NE與N4NC間的關(guān)系;

1

（3）如圖3,點E為CD延長線上一點，BQ、DP分另IJ是乙48C、乙4DE的四等分線，且NC8Q=（乙4BC,

乙EDP=：UDE,QB的延長線與DP交于點P,請?zhí)剿鱊P與“、NC的關(guān)系.（直接寫結(jié)論）

4-

【變式2-1］（24-25七年級?山東聊城?期中）如圖，AB,CD相交于點O,/.AOC=50°,0M平分ZB0D.

D.

⑴求N80M的度數(shù);

(2)過點。作?！钡拇咕€，點N,￡是垂線上的點，點N在直線48的上方，點E在直線4B的下方，連接線段

MN.

①依題意補全圖形；

②線段MN與M0長度的大小關(guān)系為：MNM0(填或“<”)，依據(jù)是；

③乙40E的度數(shù)是.

【變式2-2](24-25七年級?河南周口?期中)在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師與同學(xué)們以“同一平面內(nèi)，點。在直線

4B上，用三角尺畫NCOD,使NCOD=90。；作射線0E,使0E平分NBOC”為問題背景，展開研究.

(1)如圖1,當(dāng)42。。=130。時，求NDOE的度數(shù);

(2)如圖2,請你通過所學(xué)習(xí)的相關(guān)知識說明“OC=2乙DOE.

【變式2-3](24-25七年級?陜西西安?階段練習(xí))已知直線A8,CD相交于點。，點E在乙4。。內(nèi)部，作射線

(2)如圖②，AB1CD,^2=30°,貝1」乙4。￡=,

(3)如圖③，OE平分=60°,EF1CD,EF=2,求42的度數(shù)及點E到直線4B的距離.

【題型3平行線中的輔助線構(gòu)造】

【例3】(24-25七年級?陜西咸陽?期中)如圖，已知乙40B,點C在射線04上，CDW0E.

(1)如圖①，若乙4。8=90。,乙0CD=120°,求N80E的度數(shù);

(2)如圖②，若“OB=130°,射線OE沿射線OB移動得到。E,點0,在射線OB上，探究和N80E的關(guān)

系;

(3)如圖③，在(2)的條件下，作PO10B,垂足為O,與NOCD的平分線CP交于點P.若NBOE=a,試

用含a的式子表示NCPO的度數(shù).

【變式3-1](24-25七年級?浙江金華?期中)直線4BIICD,點M、N分別是直線48、CD上的點，點P為直線

(2)如圖2,點E為直線4B上一點,且點E在點M右側(cè)，AMPE=AMEP,NMPN的平分線交直線4B于點F,點

F在點E右側(cè)，求需的值.

(3)如圖3,乙SPR繞點P轉(zhuǎn)動,PR與CD交于點K,且PN始終在NSPR的內(nèi)部，PG平分乙NPK,交直線CD于點

G,PH平分NMPS,交直線AB于點H,若乙SPR=a,/.MPN=0,貝比2//。+4CGP=_(用含a、￡的代數(shù)

式表不).

【變式3-2](24-25七年級?全國?期末)已知點4B,C不在同一條直線上，AD||BE.

（1）如圖①，當(dāng)乙2=58。，48=118。時，求NC的度數(shù);

（2）如圖②，AN為ND4c的平分線，AN的反向延長線與NCBE的平分線交于點Q,試探究NC與N4QB之間的數(shù)

量關(guān)系;

（3）如圖③,在（2）的前提下，有4CIIQB,QNLNB,直接寫出乙4CBZCBE的值.

【變式3-3］（24-25七年級?北京?期中）在現(xiàn)代化的智能工廠中，機械臂的精準(zhǔn)操作依賴于精確的方向控

制.如圖所示，有兩條平行的機械軌道48與CD,即ABIICD,將機械臂與軌道力B的接觸點記為M,機械臂與

軌道CD的接觸點記為N,為了實現(xiàn)復(fù)雜的操作任務(wù)，通過關(guān)節(jié)P和關(guān)節(jié)Q來調(diào)節(jié)三個機械臂PM、PQ和QN的

位置，在實際運行過程中，為確保穩(wěn)定，三個機械臂PM、PQ和QN不共線.

AB

CD

備用圖

（1）如圖1所示，當(dāng)機械臂PMIIQN時，證明乙4Mp=/QND.

(2)如圖2所示，當(dāng)乙4Mp=30。，Z.QND=45°,Z_MPQ=a時,NPQN=（用含a的式子表示）

(3)當(dāng)乙4Mp=。(0。<￡<90°),乙QND=0(0°<6<180。)時,直接寫出NMPQ與NPQN的數(shù)量關(guān)系.（用

含口,0的式子表示）

【題型4平行線中的定值問題】

【例4】（24-25七年級?福建莆田?階段練習(xí)）已知：點/在直線DE上，點8、C都在直線PQ上（點2在點C

的左側(cè)），連接力B,AC,A8平分ZTAD,KZXBC=ABAC.

⑴如圖1,求證：DE||PQ-,

(2)如圖2,點K為線段4B上一動點，連結(jié)CK,且始終滿足2NE4C—ABCK=90。,

①當(dāng)CK14B時，在直線DE上取點F,連接FK,使得NFK4=J/AKC,求此時N4FK的度數(shù).

②在點K的運動過程中，乙4KC與乙瓦4。的度數(shù)之比為定值，請直接寫出這個定值，不需要說明理由.

【變式4-1](24-25七年級?湖南永州?期末)如圖所示，將一副三角板中的兩塊直角三角板按圖1放置,

ABAC=^BCA=45°,^EDF=60°,^DFE=30°,^ABC=ADEF=90°,此時點/與點。重合，點/,

C,￡三點共線.

圖1

圖3備用圖

⑴對于圖1,固定三角形DEF的位置不變，將三角形ZBC繞點/按順時針方向進行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至力B與。F首

次垂直，如圖2所示，此時NC4E的度數(shù)是

(2)若直線MNIIPQ,固定三角形DEF的位置不變，將圖1中的三角形48C沿DE方向平移，使得點C正好落在

直線MN上，再將三角形ABC繞點C按逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，如圖3所示.

①若邊AC與邊EF相交于點G,試判斷NCGF—乙4cM的值是否為定值，若是定值，則求出該定值；若不是

定值，請說明理由；

②固定三角形DEF的位置不變，將三角形4BC繞點C按逆時針方向以每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)，至4C與直線MN

首次重合時停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為K

問：當(dāng)f為何值時，線段與三角形OEF的一條邊平行(選擇你喜歡的一條邊探究，如果符合條件的/不存

在，只要理由充分，也可得分)

【變式4-2](24-25七年級?福建泉州?期末)如圖，28||CD,點E在直線和CD之間，且在直線BD的左

側(cè)，/.ABE=^CDE=a.

(1)如圖1,求ABED的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(2)連接BD,過點E作EFIIBD,交力B于點尸，動點G在射線BE上，乙BEF=kcc.

①如圖2,若/c=5,DG平分4BDE,判斷DG與BE的位置關(guān)系并說明理由.

②連接DF,若乙DFE=：乙DFB,。6186于點6,是否存在常數(shù)上，使NFDG為定值，若存在，求出左的值,

若不存在，請說明理由.

【變式4-3](24-25七年級?陜西西安?期中)如圖①，點/、點3分別在直線EF和直線MN上，EF||MN,

乙4BN=45。,射線2C從射線力F的位置開始，繞點/以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線BD從射線BM的

位置開始，繞點8以每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線8。旋轉(zhuǎn)到8N的位置時，兩者停止運動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為

f秒.

EACFEACF

MDBNMDBN

圖①圖②(備用圖)

(1)ZBXF=°；

(2)在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)射線力C與射線BD所在直線的夾角為80。，直接寫出/的值.

(3)在轉(zhuǎn)動過程中，若射線4C與射線8。交于點〃，過點”作HK1BD交直線2F于點K,三器的值是否會發(fā)

生改變？如果不變，請求出這個定值：如果改變，請說明理由.

【題型5平行線中的角度綜合問題】

【例5】（24-25七年級?廣西南寧?期中）【動手操作】在數(shù)學(xué)活動課上，陳老師引導(dǎo)同學(xué)們探究畫平行線

的方法，張華通過折紙想出了過點P畫直線4B的平行線的方法，折紙過程如下：

【問題初探】

（1）通過上述的折紙過程，圖②的折痕PQ與直線2B的位置關(guān)系是；如圖④，zl=Z2=

,貝與CD的位置關(guān)系為平行.

【問題二探】

（2）張華在（1）的條件下繼續(xù)探究，他在P、。兩點處安裝了絢麗的小射燈，射燈尸發(fā)出的射線PN從PD

開始繞點P順時針旋轉(zhuǎn)至PC后立即回轉(zhuǎn)，射燈。發(fā)出的射線從Q2開始繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至后立即回

轉(zhuǎn).兩燈不停旋轉(zhuǎn)交叉照射，射燈尸、射燈0轉(zhuǎn)動的速度分別是1°/秒、3。/秒，若射線PN轉(zhuǎn)動20秒后，射

線開始轉(zhuǎn)動，在射線PN第一次到達PC之前.當(dāng)射燈0轉(zhuǎn)動，秒時，射線PN轉(zhuǎn)動到如圖⑤的位置.

①LDPN=°（用含，的式子表示）；

②記射線PN與射線的交點為點。，在圖⑥中畫出t=45s時的圖形，并求出此時NPOQ的大?。?/p>

【問題三探】

（3）在（2）的條件下，在射線PN第一次到達PC之前，射燈Q燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？并說明

理由.

AQBAQBAQBAQB

圖⑥備用圖①備用圖②備用圖③

【變式5-1］（24-25七年級?吉林?期中）在學(xué)習(xí)完《相交線與平行線》后，同學(xué)們對平行線產(chǎn)生了濃厚的興

趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班級開展課題學(xué)習(xí)活動，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

（1）【問題初探】如圖1,^CDF+^DFE=180°,乙C=ADAE,求證：AD\\BC.

⑵【拓展探究】在（1）的條件下，試問“DF,乙4EB與ADFE之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

（3）【遷移應(yīng)用】

①路燈維護工程車的工作示意圖如圖2,工作籃底部與支撐平臺平行，已知Nl=31。，則N2+N3=_；

②一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架4B所成銳角a=15。,

頂部支架EF與燈桿CD所成銳角0=45°,求EF與FG所成銳角的度數(shù).

【變式5-2］（24-25七年級?河北邢臺?期中）（1）問題情景：如圖1,已知NCDF+ADFE=180。，

Z-C=Z-DAE,

①問題初探：請對力。IIBC說明理由；

②拓展探究：請對ADFE=+說明理由.

（2）遷移應(yīng)用：如圖2是路燈維護工程車的工作示意圖,工作籃底部與支撐平臺平行.若N1=31。,則N2+Z3

【變式5-3］（24-25七年級?北京?期中）學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定之后，我們繼續(xù)探究折紙中的平行線.

⑴如圖1,長方形紙條2BCD中，AB||CD,ADWBC,乙4=NB=NC=ND=90。，將紙條沿直線EF折疊，

點N落在4處，點。落在。處，4E交CD于點G.

①若乙4￡F=40。，求N4GC的度數(shù).

②若乙4EF=a,貝!|N4GC=(用含a的式子表示).

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上將NCGE對折，點C落在直線GE上的。處.點3落在用處，得到折痕GH,則折

痕EF與GH有怎樣的位置關(guān)系？說明理由.

(3)如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，過點。作48的平行線MN,直接寫出/4GC和NBCN的數(shù)量關(guān)系.

【題型6無理數(shù)的估算】

【例6】(24-25七年級?廣西玉林?期中)閱讀材料：

大家知道四是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此四的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明

用四一1來表示我的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？

事實上，小明的表示方法是有道理的，因為魚的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部

分.

又例如：因為"<77<眄，即2<77<3,所以夕的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7—2.

請解答下列問題：

(1)后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；

(2)如果后的小數(shù)部分為a,歷的整數(shù)部分為6,求a+b—相的值；

(3)已知12+逐=2爪+n,其中m是整數(shù)，且0<n<1,求m—n的相反數(shù).

【變式6-1](24-25七年級?陜西延安?期中)大家知道好是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此應(yīng)

的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用或一1來表示魚的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是

有道理的，因為71<魚<四，所以魚的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

請根據(jù)上述材料解答：

⑴已知3a+2的立方根是2,6是同的整數(shù)部分，求一a+26的平方根；

(2)已知10+而=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,請你求出％—y的值.

【變式6-2](24-25七年級?遼寧鞍山?階段練習(xí))閱讀下面的文字，解答問題：

(一)大家知道好是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此注的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，

于是小明用6—1來表示好的小數(shù)部分.

例如：V4<V7<V9,即2<近<3,的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為夕一2.

(1)如果店的小數(shù)部分為a,6回的整數(shù)部分為b,貝打=，b=.

(2)已知a是V1U的整數(shù)部分，6是它的小數(shù)部分，求。3+俗一師的平方根.

(二)據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有道智力

題：一個數(shù)是59319,希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39.鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙.

你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：

(1)由於=1,103=1000,1003=1000000,能確定V59319是兩位數(shù);

(2)由59319的個位上的數(shù)是9,能確定V59319的個位上的數(shù)是9；

(3)如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而33=27,43=64,由此你能確定W59319的十位上的數(shù)

是3；

(4)已知110592是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你直接寫出：V110592=.

【變式6-31(24-25七年級?福建福州?期中)閱讀材料1.

企是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此好的小數(shù)部分不能全部寫出來，但由于1〈魚<2,所以企

的整數(shù)部分為1，將魚減去其整數(shù)部分1，差就是小數(shù)部分，其小數(shù)部分為迎一L

(1)己知9+遮=久+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求7-y的值；

閱讀材料2.

小李同學(xué)探索6所的近似值的過程如下：

,??面積為167的正方形的邊長是VW且12<V167<13,

可設(shè)VI而=12+x,其中0<x<l,畫出示意圖，如圖所示.根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積

S正方形=122+2X12%+%2；又正方形=167,.'.122+2X12%+x2=167.由0</<1,可忽略/,得

144+24x2167,得到x=0.96,即71^7~12.96.

(2)仿照材料2中的方法，探究解答畫的近似值.(要求：畫出圖形，標(biāo)明數(shù)據(jù)，結(jié)果保留兩位小數(shù))

【題型7與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】

【例7】(24-25七年級?安徽合肥?期中)先觀察下列等式，再回答問題：

(1)請寫出第④個等式：；

(2)猜想第n個等式：；(用含n的式子表示)

(3)根據(jù)上述規(guī)律計算：Jl+a+/+J1++Jl+J+I+-+

【變式7-1](24-25七年級?廣東東莞?階段練習(xí))(1)填表:

a0.0000010.00010.01110010000

0.0010.1100

(2)利用上表中的規(guī)律，解決下列問題：已知傷=1900,V361=19,則a的值為二

(3)當(dāng)a20時，比較6和a的大小.

【變式7-2](2025七年級?全國?專題練習(xí))觀察下列規(guī)律回答問題:

V-0.001=-0.1,=-i,v-iooo=-io,Wool=o.i.VT=i,Viooo=10,…

(i)Vo.oooooi=，Vios=；

(2)已知火=1.587,若近=—0.1587,用含x的代數(shù)式表示y,則丫=；

(3)根據(jù)規(guī)律寫出需與a的大小情況.

【變式7-3](24-25七年級?甘肅隴南?階段練習(xí))觀察下列一組算式的特征及運算結(jié)果，探索規(guī)律：

第1個等式：Vl2-2xlxl+12=VO=0；第2個等式：“2—2x2x1+12=71=1；第3個等式:

'32—2x3x1+12=四=2；第4個等式：“42—2x4x1+12=7^=3；...

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：

(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出下列算式的值：

?V52_2x5x1+12=；

@V1012-2x101x1+I2=.

(2)用含n(n為正整數(shù))的代數(shù)式表示出第九個等式：.

(3)根據(jù)上述規(guī)律計算：

“2—2x1x1+12_,22—2x2x1+12+J32—2x3x1+12-742-2x4x1+12

+……+720252-2X2025X1+12-720262-2x2026x1+12

【題型8與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】

【例8】(2023?四川攀枝花?中考真題)2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進行決賽階段的比賽.決賽階

段分為分組積分賽和復(fù)賽.32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進行分組積分賽，分

組積分賽采取單循環(huán)比賽(同組內(nèi)每2支球隊之間都只進行一場比賽)，各個小組的前兩名共16支球隊將

獲得出線資格，進入復(fù)賽；進入復(fù)賽后均進行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽簽,

然后進行！決賽，[決賽，最后勝出的4支球隊進行半決賽，半決賽勝出的2支球隊決出冠、亞軍，另外2支

球隊決出三、四名.

(1)本屆世界杯分在C組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個C組分組積分賽對陣表

(不要求寫對陣時間).

(2)請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？

(3)請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？

【變式8-1](24-25七年級?河南周口?階段練習(xí))座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計

算公式為T=2兀R,其中T表示周期(單位：s),/表示擺長(單位：m).假如一臺座鐘的擺長為

0.2m.(兀取3,g=9.8m/s2)

(1)求擺針擺動的周期.

(2)如果座鐘每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？

【變式8-21(24-25七年級?全國?課后作業(yè))將一個半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進一個底面是正

方形的長方體容器內(nèi)，如果藥液在兩個容器里的高度是一樣的，那么長方體容器的底面邊長是多少？(結(jié)

果精確到0.1)

【變式8-3](24-25七年級?重慶?階段練習(xí))我們知道，每個自然數(shù)都有正因數(shù)，將這個自然數(shù)的所有正奇

數(shù)因數(shù)之和減去所有正偶數(shù)因數(shù)之和，再除以這個自然數(shù)所得的商叫做這個自然數(shù)的“完美指標(biāo)".例如：10

的正因數(shù)有1,2,5,10,它的正奇數(shù)因數(shù)是1,5,它的正偶數(shù)因數(shù)是2,10.所以10的“完美指標(biāo)”是:

[(1+5)-(2+10)]-10=--.我們規(guī)定，若一個自然數(shù)的“完美指標(biāo)”的絕對值越小，這個數(shù)就越“完

美''.例如：因為6的“完美指標(biāo)”是[(1+3)—(2+6)]+6=—|,沒有正偶數(shù)因數(shù)，7的“完美指標(biāo)”是

(1+7)+7=*>|-||<|||,所以6比7更“完美”.

根據(jù)上述材料，求出18,19,20,21這四個自然數(shù)中最“完美”的數(shù).

【題型9平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征】

【例9】(24-25七年級?北京?期中)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于點4(%1,、1)，一(如及)，將曲一冷1+1

yi-及1的值叫做點/與點5的“縱橫距離”,記為辦B，即辦B=一冷1+1月—為1.已知點4(2,3),B(—3,1),

⑴點A與點B的“縱橫距離”BB的值為.已知點M在x軸上，的值為4,則點M的坐標(biāo)為

(2)若平面上有一點。，使得dD4+dDB+dp。最小，則D點坐標(biāo)為.

(3)如果尸是不同于工,。的點，且滿足d04+dop=dp4,請用文字語言描述出所有符合條件的點尸所在的

位置.

【變式9-1](24-25七年級?廣東廣州?期中)若點P(x,y)的坐標(biāo)滿足久一2y=—2,我們稱點PQ,y)為“橫和

點”.

⑴已知點Q(q,3)為“橫和點”，求q的值；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，將三角形力BC平移得到三角形OEF,點4B,C的對應(yīng)點分別是點O,E,F,已知點4(wi),

點B(O,b),點D(t,6),點4為“橫和點”，點E的橫坐標(biāo)為

①若點B為“橫和點”，且三角形4BD的面積為8,求點E的坐標(biāo)；

②若點C的坐標(biāo)是(a—爪一34。+[6)，點E在x軸上，判斷點尸是否為“橫和點”，并說明理由.

【變式9-2](24-25七年級?北京?期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點M(nvi)和點N(x,y),若點N，的坐

標(biāo)為(機一x,n—y),則稱點N和點N，互為“(nvi)對分點”.若圖形沙上存在一點T且點7的“(a,n)對分點”7

恰好也在圖形少上，則稱圖形少為“(m,n)對分圖形”.

已知點4(-2,2),B(4,4),￡>(-2,-2),E(2,—2),F(2,2).

⑴①點A的“(4,4)對分點”4的坐標(biāo)是；

②若點/的“(犯①對分點”是點8,則點M(nvi)的坐標(biāo)是.

⑵點C(a,6)(其中6為非零整數(shù))與線段力B組成的圖形記為圖形U,圖形U是“(2,4)對分圖形”，則所有滿

足條件的點C坐標(biāo)為.

(3)已知點P(5,0),<2(7,2),將線段4。，DE,EF,B4首尾順次連接，組成正方形力DEF,正方形4DE尸與線

段PQ組成的圖形記為圖形兀若圖形修是“(6,k)對分圖形”，則左的取值范圍為.

【變式9-3](24-25七年級?山東濟南?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，對于點PQ,y),若點0的坐標(biāo)為

(ax+y,x+ay),則稱點。是點尸的“。階智慧點”(。為常數(shù)，且a+0).例如：點P(l,4)的“2階智慧點”

為點Q(2x1+4,1+2x4),即點Q(6,9).

(1)點4(—1,—2)的“3階智慧點”的坐標(biāo)為.

⑵若點B的“4階智慧點”為(—5,10),求點B的坐標(biāo).

⑶若點C(m+2,1—3m)的“―5階智慧點”到x軸的距離為1,求加的值.

【題型10平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】

【例10】(24-25七年級?吉林?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4點坐標(biāo)為(一3,0),B點坐標(biāo)為(1,0),C

點坐標(biāo)為(0,—2),將點C向右平行移動2個單位長度到點D,動點P從點4出發(fā)沿射線48的方向以2個單位長

度/秒的速度運動，運動時間為久秒.

(1)求四邊形4CDB的面積;

(2)當(dāng)三角形PB。的面積為四邊形"DB的面積的拊，求比的值;

(3)當(dāng)x為何值時，PDLDC.

【變式10-1](24-25七年級?江西南昌?期中)己知，如圖，在直角坐標(biāo)系中,AB||CD||x^,BC||DE||y

軸，AB=CD=4,BC=DE=3,有個點P從運動，每秒鐘1個單位，同時點Q從。-E-。也以

每秒1個單位運動，運動時間為如

D

(1)寫出8,C,D三個點坐標(biāo).

(2)當(dāng)t=6秒時，求aCIPQ的面積.

(3)當(dāng)P至反軸距離等于Q到y(tǒng)軸距離時，求時間t.

【變式10-2](24-25七年級?廣東廣州?期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4(0,a),B(0,b),且

b+4=Va—2+V2—a.點C(—4m+3,m—2)在第四象限.

⑴求a,b的值;

(2)若點C到y(tǒng)軸的距離是到x軸距離的兩倍，求點C的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點。從原點。出發(fā)以每秒2個單位的速度沿x軸負(fù)方向運動，連接CD交y軸于點￡,

則當(dāng)點。運動多少秒時，三角形ADE與三角形BCE面積相等？

【變式10-3](24-25七年級?重慶?期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點/的坐標(biāo)為(—3,4).將線段2。

向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，得到線段EF.

(1)直接寫出點E,尸的坐標(biāo):

(2)如圖2,將線段4。沿y軸向下平移a(a>0)個單位后得到線段BC(點/與點3對應(yīng))，過點2作BD1y

軸于點D若。。=到?，求。的值;

(3)如圖1,在x軸上是否存在一點P,使得2s=3sOOF(S揖FP和So。/分別表示△AFP和△40F的

面積)，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【題型11坐標(biāo)與圖形】

【例H】(24-25七年級?山東日照?期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，4(0,6),5(-4,0),將線段4B沿x

軸向右平移12個單位得到線段DC,點P為射線上一動點.

圖1圖2

(1)填空：點C的坐標(biāo)為，點。的坐標(biāo)為.

(2)如圖1,點M是線段CD上一點(不與點C、。重合)，當(dāng)點P在射線力D上運動時(點P不與點。重合)，連

接PM,請用等式表示NDPM,NPMC,N4BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案；

(3)如圖2,點N在y軸上，且。N=0B,連接CN,PN,PC,當(dāng)△PNC的面積等于△力。B的面積時，請求出

點P的坐標(biāo).

【變式11-1](24-25七年級?湖北咸寧?期中)在平面直角坐標(biāo)系中4(—a,b)、B(a,a),a、6滿足

V（2ct-4）+\3a+b-12\=0.

(1)如圖1,求點/、8的坐標(biāo)；

⑵如圖2,y軸上有一點E,△2BE的面積是6,求點￡的坐標(biāo)；

(3)如圖3,將線段力B沿x軸的正方向平移4個單位長度，過/、8兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為。、

C,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點PQ,y)(0<*<6),使得△PAD與△PBC的面積相等，且與△PA8的

面積相等？若存在，請求P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式11-2](24-25七年級?天津南開?期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中；4(a,0),C(6,4),且滿足

(a+5)2+Vb—5=0,過C作CB1久軸于B.

(l)a=,b=,三角形4BC的面積=；

(2)若過B作BDII4C交y軸于D,AE,DE分另lj平分NG4B,乙ODB,如圖2,求N4ED的度數(shù)；

(3)在y軸上存在點P,使得三角形4BC和三角形4CP的面積相等，則P點坐標(biāo)為

【變式11-3](24-25七年級?重慶?期中)如圖1,點M(0,a—3),N(b,0),且滿足J(5—a)+(6+3尸=0.

（1）直接寫出M、N的坐標(biāo)：M（0,）,N（,0）；

（2）點P以每秒2個單位長度從點M向y軸負(fù)半軸運動，同時，點Q以每秒3個單位長度從N點向久軸正半軸運

動,直線NP,MQ交于點D,設(shè)點P,Q運動的時間為t秒.

①當(dāng)1<1<2時，求證：S&MPD=S&NQD；

②如圖2,當(dāng)NQMN+/PNM=180。時，在線段MQ上任取一點E,連接EO.點G為NOEQ的角平分線上一

點，連接NG,S.^^GNP=^ONG.請將圖2補全，直接寫出NNOE、乙OEG、LVGE之間的數(shù)量關(guān)系.

【題型12二元一次方程（組）的解】

【例12】（24-25七年級?湖南?期中）在解方程組時，甲由于粗心看錯了方程組中的如求得方

程組的解為｛；：：；乙看錯了方程組中的b,求得方程組的解為｛j=，2；甲把?？闯闪耸裁矗恳野裝看成了

什么？求出原方程組的正確解.

【變式12-1］（24-25七年級?河南南陽?期中）閱讀下列材料：我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)個解，但

在實際生活中我們往往只需求出其正整數(shù)解.

例：由2x+3y=12,得：丫=絲/=4-|久（x>y為正整數(shù)）.要使y=4-1久為正整數(shù)，則|x為正整數(shù),

7

由2,3互質(zhì)，可知：%為3的倍數(shù)，將％=3,代入得y=4—/=2.所以2%+3y=12的一組正整數(shù)解為

（x=3

ty=2,

問題：

（1）請你直接寫出方程3%—y=6的一組正整數(shù)解；

（2）若四為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)萬的值有（）個.

A.5B.6C.7D.8

（3）為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，某校決定用1200元購買籃球和排球作為獎品，其中籃球每

個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，寫出購買方案.

【變式12?2］（24-25七年級?江蘇泰州?期中）已知二元一次方程a%+2y—5=0（a,b均為常數(shù)，且

（1）當(dāng)a=3,b=-4時，用x的代數(shù)式表示y；

（2）若jy_工的2+b）是該二元一次方程的一個解，

①探索。與b關(guān)系，并說明理由；

②無論a、6取何值，該方程有一組固定解，請求出這組解.

【變式12-3］（24-25七年級?福建莆田?期末）閱讀材料：

關(guān)于x,y的二元一次方程ax+by=c有一組整數(shù)解［；/，則方程ax+by=c的全部整數(shù)解可表示為

｛J=yo+at（/為整數(shù)）.問題：求方程7x+19y=213的所有正整數(shù)解.

小明參考閱讀材料，解決該問題如下：

解：該方程一組整數(shù)解為｛言;$,則全部整數(shù)解可表示為｛［15工黨a為整數(shù)）.

因為FsWC:解得一次t<M因為/為整數(shù)，所以尸o或-1.

所以該方程的正整數(shù)解為｛；zg和.

（1）方程3x—5y=11的全部整數(shù)解表示為：G為整數(shù)），則。=_；

（2）請你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數(shù)解；

⑶方程19x+8y=1908的正整數(shù)解有多少組？請直接寫出答案.

【題型13求二元一次方程（組）中的參數(shù)】

【例13】（24-25七年級?江蘇鹽城?階段練習(xí)）已知關(guān)于x,V的方程組（%4+熏：展2（n是常數(shù)）.

⑴當(dāng)n=1時，則方程組可化為｛“—第5-

①請直接寫出方程％+2y=3的所有非負(fù)整數(shù)解.

②若該方程組的解也滿足方程x+y=2,求rn的值.

（2）當(dāng)n=3時，如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)機的值.

【變式13-1］（24-25七年級?福建莆田?期中）閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程2x+3y=12

有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解.例：由2x+3y=12,得：丫=等=4—1%（久、

y為正整數(shù)）.要使y=4一9夕為正整數(shù)，則7會為正整數(shù)，可知：乂為3的倍數(shù)，從而x=3,代入y=4—：7

%=2.所以2久+3y=12的正整數(shù)解為｛；；|.問題：

（1）請你直接寫出方程3x+2y=8的正整數(shù)解.

（2）若三為自然數(shù)，則求出滿足條件的正整數(shù)x的值.

x—3

（3）關(guān)于x,y的二元一次方程組卜：：稱J：；。的解是正整數(shù)，求整數(shù)k的值.

【變式13-2](24-25七年級?重慶萬州?期末)在解決“已知有理數(shù)X、八z滿足方程組伶匚:篇(二

求4x+13y-9z的值”時，小華是這樣分析與解答的.

解：由①xa得：2ax+3ay—az=5a(3),由②xb得：bx—2by+3bz=b(4).

③+④得：(2a+b)x+(3a-2b)y+(—a+3b)z=5a+b⑤.

當(dāng)(2a+b)x+(3a-2b)y+(—a+3b)z=4x+13y-9z時，

(2a+h=40

即3a—2b=13,解得r廣二鄉(xiāng).

I-a+36=-93—-2

.?.①x3+(2)x(-2),得4x+13y_9z=5x3+1x(-2)=13.

請你根據(jù)小華的分析過程，解決如下問題：

(1)若有理數(shù)a、b滿足(3x+4y+2z)xa+(x+6y+5z)x6=12x+2y—5z,求a、b的值；

(2)母親節(jié)將至，小新準(zhǔn)備給媽媽購買一束組合鮮花，若購買2枝紅花、3枝黃花、1枝粉花共需18元；購

買3枝紅花、5枝黃花、2枝粉花共需28元.則購買1枝紅花、3枝黃花、2枝粉花共需多少元？

【變式13-3](24-25七年級?浙江杭州?階段練習(xí))已知關(guān)于x,V的方程組&_=0

(1)請寫出方程x+2y=5的所有正整數(shù)解；

(2)若方程組的解滿足x+y=0,求小的值；

(3)無論實數(shù)加取何值，方程x-2y+m久+9=0總有一個公共解，你能把求出這個公共解嗎？

(4)如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)小的值.

【題型14二元一次方程組的特殊解法】

【例14】(24-25七年級?重慶萬州?期中)換元法是把一個比較復(fù)雜的代數(shù)式的一部分看成一個整體，用另

一個字母代替這整體(即換元)的方法，好處是能使式子得到簡化，便于解決問題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體

思想.

x-y2x+y_$

(1)填空：解方程組32~時，把子和竽分別看成一個整體，即設(shè)密=a,竽=b,則原方

(2x+y)一號=3

程組可化為關(guān)于a、6的方程組｛，彳解得。、6的值；這樣可得[春二(),從而得到原方程組的解

為仁2?

(2)請用換元法解方程：月[”芟二產(chǎn)

【變式14-1](24-25七年級?江蘇蘇州?期中)解下列方程組:

(1)(2(%^1)=5(y-l)

f4x-(2y-3)=9

(2)=i

I32

(3)已知陽：蜉=2的解為｛；：7，則關(guān)于X，y的方程陽:黑=盥二露g的解為

【變式14-2](24-25七年級?河南南陽?期中)閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題.

解方程組吃：搗：；翦

解:由①一②，得2x+2y=2,即x+y=l③，

③X16,得16x+16y=16④，

②—④得x=—l,

從而可得y=2,

(2)請你仿照上面的解題方法解方程組｛髡段:器門：:溪；

(3)請大膽猜測關(guān)于％,V的方程組｛鼠1"鼠瑞或(a46)的解是什么？并用方程組的解加以驗證.

【變式14-3](24?25七年級?浙江金華?階段練習(xí))規(guī)定：形如關(guān)于久、y的方程zu%+ky=人與k％+zny=b

的兩