猜押07全等三角形與相似三角形

QQQ

押題依據(jù)

（從歷年真題維度分析考情及押題依據(jù)）

猜押考點(diǎn)3年浙江真題考情分析押題依據(jù)

全等三角全等三角形和相似三角形是從2024年浙江統(tǒng)考

2023年臺(tái)州卷第9

形的性質(zhì)描述兩個(gè)三角形的相互關(guān)系，卷和2022-2023年浙

題;2023年衢州卷第

與判定定能為兩個(gè)三角形的邊或角建江各地區(qū)中考卷分

19題;

理立等量關(guān)系，因此是浙江省中析，2025年浙江中

考中的考查重點(diǎn).在2023年考中，大概率在選擇

基于全等

及以前的考查中，無(wú)論是選擇題中考查全等三角

三角形的2024年浙江卷第24

題、填空題都會(huì)考查一下全等形的判定的辨析，或

判定解決題；2023年金華卷第

三角形的判定定理，或者是利者在選擇填空題中

綜合性幾10題；2023年麗水

用相似三角形求線段長(zhǎng)（或者出一題運(yùn)用相似三

何問(wèn)題的卷第10題；

考查位似），在解答題中，又角形的性質(zhì)列式計(jì)

探究

容易考到全等三角形的證明算的考查，二者選

相似三角2024年浙江卷第6和性質(zhì)的運(yùn)用，但2024年,一.而在綜合性幾何

形的性質(zhì)題；2023年湖州卷第對(duì)這些簡(jiǎn)單的考查進(jìn)行了收問(wèn)題探究中，全等三

與判定定15題;2023年嘉興緊,僅在選擇題第6題考查了角形的性質(zhì)和相似

理舟山卷第5題位似的概念，剩下的就是在綜三角形的性質(zhì)將必

合性幾何問(wèn)題中了，也就是第然被考查.或者在填

基于相似

24題最明顯的使用到了全等空題的第16題中作

三角形的年杭州卷第

202323三角形的判定定理與性質(zhì)運(yùn)為壓軸，或者在解答

判定解決題；年寧波卷第

2023用.預(yù)計(jì)往后這是不變的顧題的最后兩題中考

綜合性幾題;年溫州

242023慮，即用相對(duì)簡(jiǎn)單的選擇填空查.尤其的，結(jié)合圓

何問(wèn)題的卷第題

24考查一下全等或者相似的基或者結(jié)合矩形、正方

探究

礎(chǔ)運(yùn)用，但更多的體現(xiàn)在綜合形，最常見.

試卷第1頁(yè)，共12頁(yè)

問(wèn)題的證明與等量關(guān)系推導(dǎo)

之中.

押題預(yù)測(cè)

題型一全等三角形的性質(zhì)與判定定理

（2024?寧波一模）

1.如圖，在三角形48C中，過(guò)點(diǎn)2,/作ADL4C,AEVBC,BD,4E交于點(diǎn)F,若

ZBAC=45°,AD=5,CD=2,則線段AF的長(zhǎng)度為（）

（2025?嘉興模擬）

2.如圖，在四邊形中，ZABC=60°,CD^3,/。=8。=8,點(diǎn)E在邊42上，若

ZADE-2ZCBD,且8。平分NCZJE,則BE的長(zhǎng)為—.

3.如圖，CA=CD,NBCE=NACD,BC=EC.

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

⑵若44=25。，ZE=35°,求/EC。的度數(shù).

（2024?上城區(qū)校級(jí)模擬）

4.如圖，點(diǎn)8、E、C、廠是同一直線上順次四點(diǎn)，AB//DE,AB=DE,ZACB=ZF,

求證：BE=CF.

（2024?杭州三模）

5.如圖，在四邊形48。中，4D〃3C,點(diǎn)￡為對(duì)角線AD上一點(diǎn)，NA=/BEC,且

AD=BE.

（2）如果NADC=75°,求/ADB的度數(shù).

（2024?金華一模）

6.已知：如圖，在△/8C中，ADJ.BC于點(diǎn)、D,￡為NC上一點(diǎn)，S.BF^AC,DF=DC.

(2)已知AC—5,DF—3,求4F的長(zhǎng).

(2025?臺(tái)州一模)

試卷第3頁(yè)，共12頁(yè)

7.如圖，在△ABC中，A8=/C,點(diǎn)。為5c中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊48上，連接QD.

⑴如圖1,若0D_L/2,OE_L/C于點(diǎn)E,求證：OE=OD-

（2）如圖2,已知/A4c=90。、48=4、4D=1.若點(diǎn)尸在邊/C上，OF=OD,求/尸的長(zhǎng).

題型二基于全等三角形的判定解決綜合性幾何問(wèn)題的探究

（2024?杭州一模）

8.如圖，在RtZi4BC中，ZACB=90°,以48、8c為邊在BC的同側(cè)作正方形N8DE和正

方形BCGF,點(diǎn)。在FG上，連結(jié)CE、EG.若要求四邊形CDGE的面積，則只需知道

()

A.48的長(zhǎng)B.2c的長(zhǎng)C.ZX/BC的面積D.ZUCE的面積

（2024?浙江）

AC5

9.如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線NC,8。相交于點(diǎn)O,—線段與4?關(guān)于過(guò)

BD3

點(diǎn)。的直線/對(duì)稱，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9在線段OC上，A舊交CD于點(diǎn)E,貝UAB'CE與四邊形

。8萬(wàn)。的面積比為一.

10.勾股定理的證明方法多樣.如圖正方形ABCD是由小正方形EFGH和四個(gè)全等的直角

三角形無(wú)縫密鋪組成.延長(zhǎng)FG交以4D為直徑的圓于點(diǎn)/（點(diǎn)/在4D的上側(cè)），連結(jié)

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

IA,ID.分別以以,ZD為邊向外作正方形"KA0LI/.已知△/CD的面積為2,正方形IAKJ

的面積為1,則正方形EFG/Z的面積為.

題型三相似三角形的性質(zhì)與判定定理

（2025?臨安區(qū)一模）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正△4BC與正△助￡是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形,

且面積比為1:9,點(diǎn)A,B,。均在x軸上，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,出），則點(diǎn)石的坐標(biāo)為

（）

A.（4,273）B.（5,273）C.（6,3月）D.（8,3⑹

（2024?柯橋區(qū)模擬）

12.如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)/,B,C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖.

（1）在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)使AADEsA4BC.

試卷第5頁(yè)，共12頁(yè)

（2）在圖2中找一點(diǎn)F,使ZAFC=2NABC.

（2025?錢塘區(qū)一模）

13.如圖，已知四邊形對(duì)角線NC,2D交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是AD上一點(diǎn)，連結(jié)4尸，

△ABFSAACD.

（1）求證：△48Cs△/即.

（2）若3。=4,AD=9,DF=6,求ZC的長(zhǎng).

（2025?金華模擬）

14.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC1BD，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF1AD

于點(diǎn)尸，與AC相交于點(diǎn)G.己知GE=2,AG=5,則當(dāng)ED=EC時(shí)，下列三

角形中，面積一定能求出的是（）

（2025?浙江模擬）

15.如圖，在矩形48。中，點(diǎn)E在邊N2上，且=尸是中點(diǎn)，BF與CE,DE分

別相交于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為（）

D-?

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

（2025?西湖區(qū)一模）

16.如圖，在△/2C中，NBAC=120°,以點(diǎn)/為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫圓弧，與BC邊交

于點(diǎn)￡,F,BE<BF,連接AF,ZEAF=60°.

⑴判斷△/好的形狀，并說(shuō)明理由.

⑵求證：LABEsAaF.

（3）若3E=2,EF=3,求線段CF的長(zhǎng).

（項(xiàng)目化數(shù)學(xué)）

17.綜合與實(shí)踐

某次“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課主題為：研究課本133頁(yè)作業(yè)題第二題的圖形結(jié)構(gòu).

（1）如圖，在△ABC中，44c8=90。，CD，AS于點(diǎn)。.小澈在分析這個(gè)圖形后得出下

列三個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你選擇其中任意一個(gè)證明.（若證明多個(gè)按照書寫的第一個(gè)批改）

@ACBC=ABCD②sitU=cos8（3）AC2-BC2=AD2-BD2

【特殊情況研究】

（2）小澄發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖中的8C=4D時(shí)，點(diǎn)。是N3的黃金分割點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

【圖形拓展深化】

（3）小澈發(fā)現(xiàn)，通過(guò)添加輔助線，可以得到一條線段的長(zhǎng)度與#券的值相等，請(qǐng)你寫

出添輔助線的方法，保留作圖痕跡，并指明是哪條線段，最后給出證明.

題型四相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

（數(shù)學(xué)文化）

18.我國(guó)2000多年前的《墨經(jīng)》中記載了有關(guān)“小孔成像”的論述.物體經(jīng)“小孔成像”成倒

立的實(shí)像，像可能放大，也可能縮小.如圖，小嘉同學(xué)制作了一個(gè)簡(jiǎn)易小孔成像儀用來(lái)開展

蠟燭成像實(shí)驗(yàn)，測(cè)得蠟燭火焰的像的高度是3厘米，則蠟燭火焰的實(shí)際高度為（）

試卷第7頁(yè)，共12頁(yè)

C.3厘米D.4厘米

（跨學(xué)科融合）

19.如圖1,某小組通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究凸透鏡成像的規(guī)律，他們依次在光具座上垂直放置發(fā)光物

箭頭、凸透鏡和光屏，并調(diào)整到合適的高度.如圖2,主光軸/垂直于凸透鏡MV,且經(jīng)過(guò)

凸透鏡光心O,將長(zhǎng)度為8厘米的發(fā)光物箭頭43進(jìn)行移動(dòng)，使物距OC為32厘米，光線

AO.30傳播方向不變，移動(dòng)光屏，直到光屏上呈現(xiàn)一個(gè)清晰的像49，此時(shí)測(cè)得像距

⑴求像4夕的長(zhǎng)度.

（2）已知光線/尸平行于主光軸I,經(jīng)過(guò)凸透鏡腦V折射后通過(guò)焦點(diǎn)F,求凸透鏡焦距。尸的長(zhǎng).

題型五基于相似三角形的判定解決綜合性幾何問(wèn)題的探究

（2025?衢江區(qū)一模）

20.如圖，在口48CD中，43c=45。，連接對(duì)角線/C,點(diǎn)。為/C中點(diǎn)，且

AC=AB=2,點(diǎn)E是射線43上一點(diǎn)，連接OE,作NEOb=135。，交3C延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.令BE=x,CF=y,則了關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（）

A.y=B.y=^^(x+l)C.y=yjlx

D.y=V2x+1

（數(shù)學(xué)文化）

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

21.如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形/BCD與四邊形EFG”都

是正方形.連接EG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)〃，交CD于點(diǎn)、N,連接九田.當(dāng)NM:M5=3:4時(shí),

tanNMFB=

（2024?浙江模擬）

22.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,已知于點(diǎn)A,BD上AB于點(diǎn)、B,尸是4B上一點(diǎn),

PC=PD,ZCPD=90°,求證：ACAPWPBD；

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,已知NC=8C=26,AB=4,點(diǎn)、D,E分別在邊NC和8c上,

P是48上一點(diǎn)，且PD=PE,NDPE=90°,求4D+5E的值;

【拓展提高】（3）如圖3,已知/C=8C=26，48=4,點(diǎn)。，E分別在直線/C和直線

3c上，尸是邊N8上一點(diǎn)，且/尸=1,ZDPE=90°,ADPE的兩條直角邊長(zhǎng)之比為1:2,

直接寫出此時(shí)BE的長(zhǎng)度.

（2）若8尸=尸尸，點(diǎn)G是4D邊上的點(diǎn)，連接BG交所于點(diǎn)點(diǎn)H是8G的中點(diǎn),

試卷第9頁(yè)，共12頁(yè)

①如圖(2),若CF=1,求。G的長(zhǎng);

BE

②如圖(3),連接GP,當(dāng)GP=PF,且GD=CD時(shí)，求一的值.

BF

(項(xiàng)目化數(shù)學(xué))

24.

探究不同裁剪方式的面積大小問(wèn)題

C

素圖1是一張直角三角形紙板，兩直角邊分別為BC=15cm,

材NC=20cm,小華、小明、小富同學(xué)分別用這樣的紙板裁剪出不一

1樣的矩形，并使矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上.圖1

小華同學(xué)按圖2的方式裁剪出一個(gè)正方形；小明同學(xué)按圖3的方式D

素

圖2

裁剪，且///=8cm.

材C

/

2G

/H

圖3

小富同學(xué)對(duì)紙板的裁剪按如下步驟：如圖4,

C

步驟1：在直角△48C紙板上裁下一個(gè)矩形CDE尸，矩形的四個(gè)頂存

素2

點(diǎn)都在△48C的邊上；

材

步驟2：取剩下的紙板△/￡>￡裁下一個(gè)正方形GH〃，正方形的四h「J

3圖4

個(gè)頂點(diǎn)都在邊上；且滿足矩形。￡尸的CF邊長(zhǎng)是正方形

GH〃邊長(zhǎng)的兩倍小0.9cm.

問(wèn)題解決

任請(qǐng)比較小華、小明同學(xué)裁處的兩種矩形的面積大小，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

務(wù)

1

任

務(wù)請(qǐng)求出小富同學(xué)裁下的矩形CD跖各邊長(zhǎng).

2

題型六全等三角形與相似三角形綜合運(yùn)用的幾何問(wèn)題探究

（2025?浙江模擬）

25.如圖，分別是等邊三角形/8C的邊上的點(diǎn)，8。=CE,4。與BE相交于點(diǎn)

P,連結(jié)CP.若CP=CE,則=的值為（）

3+V5

D.

2

（2024?浙江一模）

26.如圖，在RtZ\/8C中，44c8=90。，以其三邊為邊在N3的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)尸

在G”上，CG與EF交于點(diǎn)尸，CM與BE交于點(diǎn)Q.若尸G=1,HF=3,則四邊形尸CQE的

面積是—.

（2025?鹿城區(qū)校級(jí)一模）

27.如圖，在等邊ZUBC中，點(diǎn)。、￡分別是邊8C、/C上的點(diǎn)，AD與BE交于點(diǎn)、F,

CD=4,ZBEA=ZBAD+ZC.

試卷第11頁(yè)，共12頁(yè)

A

⑴求證：BD=CE；

（2）求BE的值.

（2025?拱墅區(qū)校級(jí)二模）

28.如圖，AZ）￡F為等邊三角形，分別延長(zhǎng)瓦E尸，到點(diǎn)4AC,使'=匹=尸＜:,連

接/8,NC,8C,連接8尸并延長(zhǎng)交/C于點(diǎn)G.

⑵若AD=DF=2,求尸G的長(zhǎng).

（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）

29.如圖，在等邊三角形/8C中，點(diǎn)。，￡分別是3C、C4上的點(diǎn)，且8O=CE,AD,BE

交于點(diǎn)尸，連接CP,若CP，/尸時(shí)，貝；設(shè)ZUBC的面積為S1,四邊形CDPE

的面積為邑，則［=—.

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

1.c

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根根據(jù)ASA證明△4D尸與A8DC全等，進(jìn)

而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：,AELBC,

:.ZBDA=ZAEC=90°,

■.■ZBAC=45°,

即是等腰直角三角形，

/.AD=BD,

vZFAD+ZAFD=90°,ZDBC+ZBFE=90°,AAFD=ABFE,

/./FAD=ZDBC,

在9與△5OC中，

ZFAD=NDBC

<AD=BD,

ZADF=ZBDC=90°

:.AADF咨ABDC(ASA),

DF=CD,

:.BF=BD-DF=AD-CD=5-2=3,

故選：C.

2.7

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)加■，點(diǎn)8作8NLDC,交。。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得8M=8N,/3=/4,設(shè)Nl=a,則448。=60。-“，根據(jù)等邊對(duì)等

角得//=//8。=60。-々，在中，求得/3=180。-//-48。-/2=60。，繼而得到

ZMDN=Z3+Z4=nO°,在RL^DBN中，推出/D8N=90°-/4=30°,DN=3BD=4,

BN=yjBD2-DN2=4A/3>求出CN=ZW-CD=1,BC=ylBN2+CN2=7>然后證明

^BEM^BCN(ASA),即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)點(diǎn)8作8NLOC,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

N,

答案第1頁(yè)，共37頁(yè)

ZBME=ZBMD=90°=ZN,

?；BD平分/CDE,

??.BM=BN,/3=/4,

設(shè)N1=a,

???/ABC=60°,

??./ABD=/ABC-/I=60。-a,

AD=BD,

：.ZA=ZABD=60°-a,

?；/ADE=2/CBD,即/2=2/1=2a,

在△/口中，180。=//+445。+//。5=乙4+//皿+/2+/3,

.??/3=180。——/ZB。—N2=180?！?（60。—a）—2a=60。，

???/4=/3=60°,

??.ZMDN=Z3+Z4=60°+60°=120。，

在中，BD=8,Z4=60°,

："DBN=90°-Z4=90°-60°=30°,

.-.DN=-BD=-xS=4,

22

???BN=y/BD2-DN2=V82-42=473，

vCD^3,

.■.CN=DN-CD=4-3=1,

???BC=yjBN2+CN2=14國(guó)+f=7,

在四邊形DVffiN中，

ZMBN=360°-ZBMD-ZN-ZMDN=360°-90°-90°-120°=60°,

；./ABC=60°=NMBN,

：.AABC-AMBC=ZMBN-ZMBC,即N6=N5,

答案第2頁(yè)，共37頁(yè)

在ABEM和ASCV中,

Z6=Z5

<BM=BN,

ZBME=ZBNC

.?.ABEMABCNgK，

.-.BE=BC=1,

■■■BE的長(zhǎng)為7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理,

四邊形的內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題

的關(guān)鍵.

3.(1)證明見解析

(2)120°

【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，推導(dǎo)出

AACB=NDCE,進(jìn)而證明也△￡>(?￡是解題的關(guān)鍵.

(1)ZBCE=ZACD,得NACB=NDCE,而C4=C￡>,BC=EC,即可根據(jù)“SAS”證

明△/C80ZYDCE,則AB=￡)E；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得//=/￡>=25。，而NE=35。，貝I]NECD=18(T-ND-NE=120。.

【詳解】(1)證明：NBCE=NACD,

NBCE+NACE=ZACD+NACE,

NACB=ZDCE,

在△/CB和△OCE中，

CA=CD

<ZACB=ZDCE,

BC=EC

:.AACB^^DCE(SAS),

AB=DE；

(2)解：由(1)得AACBmADCE,

:.ZA=ZD=25°,

???/￡=35。，

答案第3頁(yè)，共37頁(yè)

/ECD=18O°-Z￡)-Z￡=180°25°-35°=120°,

/.NEC。的度數(shù)是120。.

4.見解析

【分析】證明△Z3C之△OCE,得到5C=斯，mBC-CE=EF-CE,即可得證.

【詳解】證明：???45〃?！?

??.AB=ZDEF.

在AABC和ADCE中，

ZB=ZDEF

</ACB=ZF,

AB=DE

:.AABCADCE(AAS).

??.BC=EF,

/.BC-CE=EF-CE,BPBE=CF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形

全等，是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見解析

(2)/405=30。

【分析】(1)由平行線性質(zhì)可得=再由ASA可證會(huì)△￡C5；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得5。=5。，由等腰三角形的性質(zhì)可求出30。，再由

兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解.

【詳解】(1)證明???4D〃BC,

AADB=ZCBE,

在△45。和^ECB中，

'/A=ZBEC

<AD=BE,

ZADB=ZCBE

:AABDAECB(ASA)；

(2),.FABD知ECB,

BD=BC,

ZBDC=/BCD=75°,

答案第4頁(yè)，共37頁(yè)

/.ZDBC=180?！猌BDC-/BCD=30。，

??,AD〃BC,

/ADB=ADBC=30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，熟練掌握兩

直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解答本題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析

⑵1

【分析】(1)根據(jù)HL即可證明三角形全等；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出研=5,再利用勾股定理即可得出答案.

此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明尸

【詳解】(1)證明：

/ADB=/ADC=90°,

在RtA5DF和Rt^ADC中,

jBF=AC

[DF=DC9

RtA^F^RtA^DC(HL).

(2)角麻-BF=ACfAC=5f

BF=5.

在尸中，BD2+32=52,

，BD=4,

即/Z)=5。=4,

AF=1.

7.(1)證明見解析

(2)1或3

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得NC=4,再證明AOCE%OBD(AAS),即可得出結(jié)

論；

(2)連接04,過(guò)點(diǎn)。作OGL/2于點(diǎn)G,OHLAC于點(diǎn)、H,由等腰直角三角形的性質(zhì)得

Z5=ZC=45°,0/平分N3/C,OA=^BC=OB=OC,則OG=OH,

答案第5頁(yè)，共37頁(yè)

AH=CH=-AC=2,AG=BG=-AB=2,得4H=4G,DG=AG-AD=l,再分兩種

22

情況，①點(diǎn)/在線段上時(shí)，證明RtA。印名RSOG。，得FH=DG=1,貝|

AF=AH-FH=\-,②點(diǎn)尸在線段CH上時(shí)，同理可證RtA（9〃F&RLOG。，得

FH=DG=\,則NP=NH+FH=3；即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???AB=/C,

NC=NB,

0D±AB,OE1AC,

:"ODB=ZOEC=90°,

???點(diǎn)。為BC中點(diǎn),

OB=OC,

在△OCE和AOAD中，

ZOEC=ZODB

<ZC=ZB,

OC=OB

AOCE為08D(AAS),

OE=OD-

(2)解：如圖2,連接CM,過(guò)點(diǎn)。作。GL/3于點(diǎn)G,OH上4c于點(diǎn)、H,

圖2

則ZOGB=ZOGA=ZOHC=ZOHA=90°,

?.?/8=/C=4,ZB/C=90。，點(diǎn)。為BC中點(diǎn)，

ZB=ZC=45°,OA平分ZBAC,OA=-BC=OB=OC,

2

OG=OH,AH=CH=-AC=2,AG=BG=-AB=2,

22

：.AH=AG,

AD=1,

??.DG=AG—AD=1,

分兩種情況：

答案第6頁(yè)，共37頁(yè)

①點(diǎn)尸在線段上時(shí)，

在RtAOHF和RtAOGD中，

[OF=OD

[OH=OG'

...RtAO7/F^RtAOGZ>(HL),

FH=DG=\,

■■.AF=AH-FH=}-,

②點(diǎn)/在線段上時(shí)，

同理可證：RtAQffl^RtAOGD(HL),

.?.FH=DG=\,

；.4F=4H+FH=2+1=3；

綜上所述，/月的長(zhǎng)為1或3.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰

直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟

練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)K作交于

點(diǎn)、H,由正方形的性質(zhì)得出=得到A/8CgAD8b(SAS),進(jìn)而得出

S.ABC=S.DBF，再證明AN班之A/C3(AAS),得到

2

S四邊衫CDGE=S^BCGF-S^BDC=BCCG-^BCCG=^BC即可求解?

【詳解】解：???四邊形/ADE，97GC是正方形，

...AB=BD=AE,BC=BF=CG,ZBFG=ZCBF=90°,

??.ZFBD=ZABC,

在l\ABC和ADBF中,

AB=BD

</FBD=/ABC,

BC=BF

ABC知DBF(SAS),

答案第7頁(yè)，共37頁(yè)

.V=Q

,?3ABe~°ADBF

過(guò)點(diǎn)E作EH工4G交于點(diǎn)H,則NE4H=N4BC,NAEH=90。，

在△/HE和ZXZCB中,

ZEAH=/ABC

<ZEHA=ZACB,

AE=AB

.“AHE、ACB（AAS）,

EH=AC,

而S.CGE=；CG-EH,S.ABC=；BC-AC,

VBC=CG,EH=AC,

11?

S四邊形CDGE=S正方形BCGF~S%DC=BCCG--BCCG=—BC,

???要求四邊形CDGE的面積，只需知道BC的長(zhǎng)，

故選：B.

9.1:3##-

3

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

設(shè)NC=10a,BD=6a,首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到CM=OC=g/C=5。，

OB=OD=^BD=3a,連接4。，OE,直線/交8C于點(diǎn)尸，交于點(diǎn)G,得到點(diǎn)H,

D,。三點(diǎn)共線，A'D=A'O-OD=2a,B'C=OC-OB'=2a,^^=眨=學(xué)=5，然

后證明出“'ED也ACEB'（AAS）,得到HE=CE,然后證明出AODE也AO2'E（SSS）,得到

SAODE=SaOB'E，進(jìn)而求解即可.

AC5

【詳解】???四邊形N8C。是菱形，=（

答案第8頁(yè)，共37頁(yè)

：.AC1BD,CD//AB,設(shè)/C=10a,BD=6a

.-.OA=OC=-AC=5a,0B=0D=-BD=3a

22

如圖所示，連接HD,OE,直線/交8c于點(diǎn)R交/。于點(diǎn)G,

A'

???線段AB與4?關(guān)于過(guò)點(diǎn)。的直線/對(duì)稱，點(diǎn)、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9在線段OC上,

...ZBOF=ZCOF=-ZBOB'=45°,AO^A'O=5a,OB'=OB=3a

2

■.ZAOG=ZDOG=45°

.?.點(diǎn)H,D,。三點(diǎn)共線

.■■A'D=A'0-0D=2a,B'C=OC-OB'=2a

r

SrFRIBC2a2

A'D=B'C

SCFR,OB'3。

■：CD//AB

NCDO=NABO

由對(duì)稱可得，ZA'B'O=ZABO

ZA'B'O=ZCDO

ZA'DE=NCB'E

又NA'ED=/CEB'

："EDaCEB'(AAS)

；.A'E=CE,DE=B'E

X---OD=OB',OE=OB"

.“ODE出AOB'E(SSS)

.V-V

,?3ODE~°AOB'E

QACEB'_QACEB'2_1

3+3-3,

\ODE

故答案為：1：3.

答案第9頁(yè)，共37頁(yè)

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及全等三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)c

作交70的延長(zhǎng)線于尸，由正方形"K/的面積為1得4=1,證明和ADCP全

等得，AI=DP=1,DI=CP,由△/€%＞的面積為2得二。/?。尸=2,則。/="=2,則

IP=DI+DP=3,由勾股定理得/C=VH,CD=y[5,再根據(jù)S.Q=g/CQG=2得

DG=^~,則CG=W^,依題意得CF=DG=+叵，則GF=CG-CP=￡m,據(jù)此

13131313

可得正方形EEG”的面積.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CPL7D,交;?的延長(zhǎng)線于尸，如圖所示:

則/尸=90°,

依題意得：ZAID=90°,

ZAID=ZP=90°,

.-.ZDCP+ZPDC=90°,

?.?正方形〃KJ的面積為1,

???Al=\,

,?,四邊形ABCD為正方形，

??.AD=CD,ZADC=90°,

.'.ZADI+ZPDC=90°,

??.ZADI=ZDCP,

在△，￡>〃口△OCP中，

答案第10頁(yè)，共37頁(yè)

ZAID=NP=90°

<ZADI=ZDCP,

AD=CD

.-.AADI^DCP(AAS),

AI=DP=1,DICP,

???△/CD的面積為2,

：.-DI-CP=,2,

2

CP2=4,

.-.DI=CP=2,

在Rt，C尸中，IP=DI+DP=3,CP=2,

由勾股定理得：ic=y/lP2+CP2=V13，

在RtaCDP中，由勾股定理得：CD=Jep2+cp2=5

?.?四邊形EFGH■為正方形,

:.NHGF=NDGC=90。,

.-.Srrn=-IC-DG^2,

.?■」=上=位,

ICV1313

在Rt^CGQ中，由勾股定理得:CG=^CD2-DG2=

13

?.?正方形N8CD是由小正方形EFGH和四個(gè)全等的直角三角形無(wú)縫密鋪組成,

：，CF=DG=^^~

13

.-.GF=CG-CF=^^--^-=^-

131313

9

二正方形EFG/Z的面積為:

13

9

故答案為：—.

11.C

【分析】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，此題比較簡(jiǎn)單，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似

變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為匕那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于左或-左.

答案第11頁(yè)，共37頁(yè)

根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為鼠那么位似圖形

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于左或-左，即可求得答案.

【詳解】解：正△4BC與正△8DE是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且面積比為1:9,

LABCs4BDE,

??.相似比為1:3,

故選：C.

12.⑴見解析

（2）見解析

【分析】本題考查基本作圖，涉及相似三角形的判定、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟系

相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵.

ApAF）

（1）找格點(diǎn)E、D,根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，得至1］下=%=2,根據(jù)相似三角形的判定可求解；

ACAB

（2）找格點(diǎn)尸，證得點(diǎn)/為△/8C的外接圓圓心，利用圓周角定理可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，即為所求：

圖1

作圖依據(jù)：由網(wǎng)格特點(diǎn),AB=d2?+2?=20，AQ=&+42=4行,

AE_AD

又NA=NA,

AC—AB

.?.△ADEsAABC；

（2）解：如圖，點(diǎn)尸即為所求:

答案第12頁(yè)，共37頁(yè)

作圖依據(jù)：取格點(diǎn)尸，連接4尸、BF、CF,則”=BF=CF=五S=#＞，

點(diǎn)尸為△4BC的外接圓圓心,

ZAFC=2NABC,則點(diǎn)尸即為所求.

13.(1)見解析

(2)AC=6

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

J/?

⑴由相似三角形的性質(zhì)可得旅=而NBAF=NCAD,可得/R4C=NF/D,即可求

解;

⑵由相似三角形的性質(zhì)可得務(wù)=器,

即可求解.

【詳解】(1)證明：???△48PsA/C。,

AB

—,ZBAF=ACAD,

~ACAD

/./BAC二NFAD,

1./\ABC^/\AFD；

(2)解：??,AABCsAAFD,

ACBC

.而一而‘

;BC=4,AD=9fDF=6,

,AC_4

~9~~6,

:AC=6.

14.A

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，

^BE=y,DE=x,再說(shuō)明ABEGSANE。，可得盯=14,然后根據(jù)其如岳,即

可得出答案.

答案第13頁(yè)，共37頁(yè)

【詳解】解：設(shè)BE=y,DE=x,則CE=DE=x,

vZAGF+ZGAF=90°=ZBGE+/GBE,NAGF=ZBGE,

/DAE=/GBE.

???ZAED=/BEG=90°,

小BEGS-ED,

BEEG

??布―茄’

解得孫=14,

?1?S.BCE=；CE-BE=；孫=7.

所以面積一定能求出的是ABCE.

故選：A.

15.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理.過(guò)點(diǎn)E作

35

EH//AD,交點(diǎn)昉于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,證明△5￡Gs7\A4尸，求出EG=：,BG-，

44

GF=BF-BG=—,再證明△EGNs/Som,^EGM^/XCBM,得出4NG=NF,

4

8MG=MB,從而求出NG和MG,可得的長(zhǎng).

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作四〃交點(diǎn)5尸于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)、H,

由題意可知:EH//BC,4=90。，

△BEGsABAF,

BEEG_BG

AB=4,BC=6,且4￡=35瓦廠是力。中點(diǎn),

BE=1,AE=3,AF=DF=3,

BEEGBG1i--------/-~~-

k麗=TBF7AB+)1=7F^=5；

~AB

答案第14頁(yè)，共37頁(yè)

\EG_BG

一==,

435

35

EG=-,BG=一,

44

,GF=BF-BG=—,

:4

?：EH\\BC\\AD,

:?叢EGNs叢DFN,LEGMS^CBM,

EGNGEGMG

''DF~7/FfBC-MB'

/.4=W,MG,

丁而

nnNG1MG1

NF4MB8

：.4NG=NF,8MG=MB,

:.NG=-NF=-GF=-,MG=-MB=-BG=—

4548936i

358

MN=NG+MG=—I=—,

4369

故選：D.

16.為等邊三角形，見解析

（2）見解析

⑶2

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角

形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作

用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)或表示線段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（1）利用有一個(gè)角為60度的等腰三角形為等邊三角形可判定所為等邊三角形.

（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到乙4斯=44尸￡=60。，則根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到

AAEB=AAFC,再證明/A4E=/C,然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到結(jié)論；

（3）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到力￡=4尸=EF=3,由于尸，則根據(jù)相似三

9

角形的性質(zhì)得到/氏CP=3E：/尸，即3:C尸=2:3,從而可求出CF的長(zhǎng)，解得

【詳解】（1）解：△，所為等邊三角形，理由如下：

由作法得=

???ZEAF=60°,

答案第15頁(yè)，共37頁(yè)

為等邊三角形；

(2)證明：???△4斯為等邊三角形,

/.ZAEF=ZAFE=60°,

ZAEB=ZAFC=120°f

???/BAC=120。,

ZB+ZC=180°-ABAC=60°,

???ZAEF=ZBAE+/B=60°,

/./BAE=ZC,

而乙4EB=AAFC,

/.LABEs^CAF；

(3)解：???△/斯為等邊三角形，

4E=AF=EF=3,

???AABEsACAF,

AE:CF=BE:AF,

即3:CF=2:3,

9

解得CV=Q.

17.(1)見詳解(2)是，理由見詳解(3)線段CF,證明見詳解

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確掌握

相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)44c8=90。，CD，48于點(diǎn)。，得NDCB=N4,證明A/CBSACDB；再結(jié)合

名，根據(jù)在RtaCOB中，cosB=上;運(yùn)用勾股定

NDCB=NA,故sin//sinNDCB

nCBC

W^AC1-AD-=CD-,BC2-BD2=CD1,結(jié)合CD?=5,貝!J/