第02講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

T模塊導(dǎo)航—T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解空間向量的夾角；

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三及計(jì)算方法；

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義;

4.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積在判斷垂直中的應(yīng)用，

掌握利用向量數(shù)量積求空間兩點(diǎn)間的距離.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

兩個(gè)向asfe角的汽

/---------------------------

共aa同向時(shí)，夾角為o

空間向量的夾角

夾角范圍：共線且反向時(shí),夾角為X

垂直時(shí)，期為“2

求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法

空

間

向

量

的

數(shù)

量

積

運(yùn)

算

空間向量的模長同=6

?＞模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1空間向量的夾角

1、定義：已知兩個(gè)非零向量￡、b,在空間任取一點(diǎn)D,作匠=Z,OB=b,則//OB叫做向量％與B的

夾角，記作（凡刀，如下圖。

2、夾角的范圍:

通常我們規(guī)定：0〈卜,④三萬，且卜,力=（瓦a）

（1）當(dāng)￡、B共線且同向時(shí)，，，④=0；

（2）當(dāng)a、區(qū)共線且反向時(shí)，,

（3）當(dāng)當(dāng)a、B垂直時(shí)，即a_l_B時(shí)，=三.

3、求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：

方法一：（1）結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍角的大小;

（2）先求再利用公式cos（a,B）=求cos（a,B）,最后確定（a⑻.

'/忖料'/'/

方法二：①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量（即直線的方向向量）；

②異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；

③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小.

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的數(shù)量積

1、定義：已知兩個(gè)非零向量￡、b,則同Wcos@W叫做向量￡與否的數(shù)量積，記作屋九即

a%=|4qcos（a,5）.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積是0.

2、數(shù)量積的幾何意義

（1）類比平面向量，Z4等于Z的長度㈤與B在Z方向上的投影⑸cos伍力的乘積，

或書的長度|B|與Z在加方向上的投影|a|cos3）的乘積.

（2）向量Z在向量B上的投影向量

如圖①，在空間，向量Z向向量B投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到一個(gè)平面￡內(nèi)，進(jìn)

而利用平面上向量的投影，得到與向量6共線的向量c,c=Hcos<a,b〉告，向量。稱為向量a在向量6

11H

上的投影向量。類似的，可以將向量z向直線/投影（如圖②）.

①②③

(3)向量a在平面，上的投影

如圖③，向量Z向平面/3投影，就是分別由向量Z的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面B的垂線，垂足分別為A',B',

得到向量萬爐，向量開爐稱為向量.在平面〃上的投影向量.這時(shí)，向量"的夾角就是向量Z所

在直線與平面￡所成的角.

3、向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：

(1)(.A.d)-b=A.(.a-b)；

(2)a-b=b-a(交換律)

(3)a-(b+c)=a-b+a-c(分配律)

4、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)區(qū)是非零向量，工是單位向量，則

①a?e=e-a=卜卜os(a,e)；②=

③口=a-a或H；④cosk,3)=R⑤卜臼4.卜國

5、求空間向量數(shù)量積的步驟：

第一步：將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式，

第二步：利用向量的運(yùn)算規(guī)律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積，

第三步：代入a%=卜求解.

知識(shí)點(diǎn)3空間向量的模長

在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地=kH"cosO°,

所以向量a的模：(卜JU.

將其推廣：卜±?=±B)=V?2±2a-b+b2

__\2r72^2^2ffffff

a+Z?+c=d(a+6+c)=+b+c+2a-b+2a-c-^2b-c

o＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：空間向量數(shù)量積的計(jì)算

1rl例1.（23-24高二上?四川成都?月考）已知空間向量，石的夾角為:，回=2,⑸=3,則展僅+3辦=

【答案】13

—TT-

【解析】空間向量瓦6的夾角為曰|=2,|切=3,

2

則昌0+33）=求+3展3=同，3同I^|COS-=2+3X2X3X1=13.

1132

【變式1-1］（23-24高二上?廣東茂名?期末）如圖，正方體"CD-44G2的棱長為1,設(shè)方與，AD^b，

AA^c,貝!](a+可.?-<?)=()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】由題意可知：\a\=\b\=\c\=l,a-b=b-c=a-c=Q,

所以,+3>,-4=33-小己+否2-譏/=1.故選：A.

【變式1-21（23-24高二上?江西吉安?期末）在正四面體P-4BC中，棱長為2,且E是棱AS中點(diǎn)，則而.而

的值為（）

A.-1B.-2C.-3D.-7

【答案】A

【解析】如圖所示，

由正四面體的性質(zhì)可得，PA-PC=PA-PB=PBPC=2x2xcos-=2,

3

由E是棱43中點(diǎn)，

PEBC=-(PA+PB)-(PC-PB)=-^PAPC-PAPB-PB+F5.PCj=-x(-4+2)=-1,故選：A.

【變式1-3］（23-24高二上?四川成都?期末）如圖，已知四面體48co的棱長都是2,點(diǎn)M為棱4D的中點(diǎn),

則方.心法的值為（）

A.1B.-1C.-2D.2

【答案】B

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)W為棱4D的中點(diǎn)，

所以在.屈=冠?（力+說）=赤.口+瓦7辦^XB'-AD,

因?yàn)樗拿骟w/BCD的棱長都是2,

-----------111

所以/B-CM=-2x2x—+—x2x2x—=—2+1=-1,故選：B

222

考點(diǎn)二：利用數(shù)量積求向量的夾角

例2.（23-24高二上?山東煙臺(tái)?期中）已知空間向量b，c滿足同=2,忖=3,同=近且

a+b+c=0）則）與B的夾角大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】由題設(shè)工=一(￡+刃)，則c=(a+b)2=a+2a-b+l)1=4+2x2x3xcos^,^+9=7,

所以cos?&=-；,又（a,%（0,兀），可得他%等，即?,*120。.故選：c

【變式2-1］（23-24高二上?陜西寶雞?期中）在空間四邊形W3C中，OB=OC,ZAOB^ZAOC,則

cos(次，瑟)的值為()

A.|B.—C.--D.0

222

【答案】D

【解析】如圖所示，

■：OABC=OA(OC-OB]=OA-OC-OAOB

=網(wǎng)-|dc|?cosZAOC-網(wǎng).網(wǎng)?cosZAOB,

又OB=OC,NAOB=NAOC,

則阿.西.cos/NOC-網(wǎng)?畫?cosZAOB=0

041SC，(OA,BC^=^,cos(O48C)=0.故選：D

【變式2-2］（23-24高二下?江蘇連云港?期中）已知平行六面體N3CD-44GA中，AAt=2,BD=3,

麗京-藕辰=4，則cos（Z^,2Z））=（）

【答案】B

［解析］因?yàn)槠?反一函.瓦、（而+五?萬一（方+刀J?而

=AD-AB+Z^-AB-AB-AD-A^-AD=Z^^AB-AD^=AAiDB=4

所以可?麗=T,

AA]BD_—42

cosAA^BD=

網(wǎng).|現(xiàn)2x33-

故選：B.

【變式2?3】（23-24高二下?云南保山?開學(xué)考試）已知見3是兩個(gè)空間向量，若|Q|=2,|B|=2,|〃-3|=近,

貝Ucos〈a,B〉=.

【答案】I/O.125

O

【解析】由題意得|刈=2,⑻=2,|￡-司=近,

則|￡一3「=7,即/一2屋3+r=7，則。石毛

］_

則cos{a,b)=a-b21，

2x28

故答案為：I

O

考點(diǎn)三：利用數(shù)量積求向量的模長

3.⑵-24高二上?湖南益陽?期末）已知空間向量3+B+3=0,同=咽=Acos,]）=1，則同=（

A.3B.V13C.V21D.21

【答案】C

［解析］由題意c=_(a+B),同=l，W=4,cos(@W=g,

【變式3-1]（23-24高二下?江蘇?月考）已知空間向量d石忑兩兩夾角為60。，且同=問=同=1,則

\a-b+2c\=.

【答案】V5

rrrrrri

【解析】依題意，a-b=b'C=C-a=—,

2

貝啊-3+2日『=伍-3+2@)2

=|?|2+|^|2+41c|2-2a-b-4b-c+4a-c=6-2xg-4x；+4x；=5,

\a-b+2c\=45.

【變式3-2］（23-24高二下?福建漳州?月考）在平行六面體MCD-4片G。中，AB=2,AD=2,AAt=2,

ABAAX=/.DAAX=60°,ABAD=90°,貝!)|NC；|==

【答案】2若

【解析】因?yàn)閿?shù)=M+Z5+京,

所以|否|2=(益+而+石)2=畫2+|囹2+|可2

+2畫.|ZD|COS90°+2網(wǎng).1同cos60°+21網(wǎng)■網(wǎng)cos60°

=4+4+4+0+2x2x2x—F2X2X2X——20,

22

故|布卜癡=2氐

【變式3-3］（23-24高二上?湖北荊門?期末）已知平面1和平面。的夾角為60。，a^13=l,已知/,8兩

點(diǎn)在棱上，直線/C,8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知N2=4,AC=BD=6,

則CO的長度為（）

A.2713B.2731C.6亞D.2舊或2回

【答案】D

【解析】平面a和平面用的夾角為60。，則二面角的大小為60?；?20。，

因?yàn)?C,48,助，48,所以（而，而）=60?；?20。，

由題可知而=0+益+而，

?2/,??\2?2?2?2，,???,

:.CD=[CA+AB+BD)=CA+AB+BD+2CAAB+2ABBD+2CA-BD

=36+16+36+0+0+2x6x6*l±—

故而2=52或麗2=124，

二.|西=2后或函=2回

故選：D.

考點(diǎn)四：利用數(shù)量積求投影向量

（22-23高二下?安徽合肥?開學(xué)考試）已知空間向量同=而，|可=5,且方與B夾角的余弦值

為一絲2,則7在B上的投影向量為（）

65

A9V13y9V13--9右9

A.-----bBR.----bC.—uD.——b7

13132525

【答案】D

【解析】

?.?p卜jm,W=5,々與不夾角的余弦值為

65

在B上的投影向量為

一匕='5x（一9人959》故選:d.

W同555525

【變式4-1］（23?24高二上?河北唐山?期中）在空間四邊形/SCO中，4助=/助。=90。,力。=2助，則

而在衣上的投影向量為（）

1―?1―?

A.-ACB.-ACC.-BDD.-BD

2424

【答案】B

【解析】在四面體中，因?yàn)閆ABD=/BDC=90。,AC=2BD,

UUULUULUUlUUUU.

設(shè)，。=2,50=1,且蕊?麗=麗.灰=0,AC=4B+BD+DC，

則就.而=（君+麗+西?麗=|珂,

而.充ACJBP\―?1—?

而在衣上的投影向量為

西?僦T前.故選:B

【變式4-2］（23-24高二上?河北保定?開學(xué)考試）如圖，44，分別是圓臺(tái)上、下底面的兩條直徑，且

UULIL

4B=2AE，ABHAXBX,G是弧4月靠近點(diǎn)用的三等分點(diǎn)，則在篇上的投影向量是（）.

4683

【答案】c

【解析】如圖，取q在下底面的投影C,作垂足為D

jrLIUUL

連接C4,co,CG，則NCOO=H，ZC］在至上的投影向量是通.

設(shè)上底面的半徑為r,則8AD=-r=-AB.

228

UULIL5__?

故/G在刀上的投影向量是g4s.故選：C

O

【變式4-3］（23-24高二上?廣東惠州?期中）如圖，在三棱錐尸-ABC中，已知尸/_L平面ABC,ZABC=120°,

PA=4B=BC=6,則向量正在向量前上的投影向量為（用向量前來表示）.

【答案】軻

【解析】由題意,

在三棱錐尸-48c中，已知尸4_L平面48C,

PC=PA+AB+BC,

'：8。匚面/8。，

：.PA1BC,PABC=O,

在AASC中，ZA8C=120。，PA=AB=BC=6,

：.3C-5C=|5C|2=36,

益?苑=網(wǎng)?園cos(180。-ZABC)=6x6cos(180°-120°)=18,

；?向量定在向量數(shù)上的投影向量為：

PCBC--^PA+AB+BC\BCPA-BC+AB-BC+BC-BC--

聞zBC-阿zBC-周zBC

0+18+36—?3—?

BC=—BC,

362

3-?

故答案為：產(chǎn).

考點(diǎn)五：利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系

（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長都為

a,點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn).證明：MN1AB.

【答案】證明見解析

【解析】證明：由題意可知，|同=|就卜|五|=。，且向量而，AC，赤兩兩的夾角均為60。，連接/N,

則而=而_屈=；（就+25）_（方,

.?.加.次二；（------?????2

ACAB+ADAB-AB

=~(a2cos60°+tz2cos60°-(72)=0,

?9-MNLAB，即WZ5.

A

【變式5-1］（23-24高二上?全國?專題練習(xí)）如圖，正方體/BCD-44G2的棱長是。，CR和。G相交于

點(diǎn)。.

⑴求西?麗；

（2）判斷而與西是否垂直.

【答案】（1）/；⑵垂直

【解析】（1）正方體48co-/MG。中，|西卜血麗卜°,（西，麗

故CDX-CD=42axaxcos：=/.

(2)由題意，益?石=0,益?薪=0,可?石=0,

瓦.西=(15+珂.(西+珂=AD+^(DC+DD^-(cq+CO)

=［而+＜（荔+詞.⑷一萬）

故而與西垂直.

【變式5-2］（22-23高二上?河南洛陽?月考）已知正四面體Q4BC的棱長為2,點(diǎn)G是△03C的重心，點(diǎn)M

是線段/G的中點(diǎn).

o

(1)用刀，礪，反表示兩，并求出I而:I;

(2)求證：OM1BC.

【答案】(1)麗=+g赤+g云，|OA7|=V2；(2)證明見解析

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)G是△OBC的重心，所以方=礪+［反］=:無—反

因?yàn)辄c(diǎn)〃■是線段/G的中點(diǎn)，

^-OA+-OG^-OA+-\-OB^OC|=」OA+^OB+^(X

2222(33J266'

因?yàn)檎拿骟wCM3C的棱長為2,

所以。3?無=礪?云=厲?詼=2x2xcos60°=2,

---------c--------?21----21----21-21---?-11---?—

所以=-OA+——0B+——OC+-OAOB+-OAOC+—OBOC

436366618

=—x4+—x4+——x4+—x2+—x2+—x2=2,

436366618

所以|如|=拒.

(2)兩反=Q?方+：歷+"1區(qū)一礪)

1(,---，1-------(,1---*11---?2

=-OAOC——OAOB——OB+-OC

2266

1111^

=—x2——x2——x4+—x4=0,

2266

所以O(shè)M,3c.

【變式5-3］（23-24高二?全國?課后作業(yè)）如圖，四棱錐尸-/BCD的各棱長都為

p

⑵求I就+定I的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）|X+定上氐.

【解析】（1）證明：設(shè)ZC、BD交于點(diǎn)0,連接尸0,如圖所示;

四棱錐尸-/8C。中，AB=BC=CD=DA=a,

.??四邊形N8CD是菱形，

_________________kUULL

：.BD1AC,且CM=OC,即麗，0C，BDOC=0;

UULt_________?_____

又PB=PD=a,：.P01BD,即尸O_L而，BDPO=0,

?*,SZ5（PO+OC）=0,即麗.定=0，

.'.BD±PC,即BD±PC；

（2）根據(jù)題意，四棱錐尸-N3CD是棱長相等的正四棱錐，且

...頂點(diǎn)尸在底面的射影是正方形4BCD的中心O,

行

在RtZiPOC中，PC=a,OC=—a,

2

6

：.OP=OC^—a,

2

---?-------?TC

/.ZACP=<CP，CA>=<AC^PO=~

4

(/C+PC)=AC2+21iC*PC+PC2+2x^2axa><cos^+a2=5a2；

^?\AC+PC\=45a.

o>模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)

一、單選題

1.（23-24高二上?寧夏銀川?月考）已知同=4,空間向量。為單位向量，=y,則空間向量3在向量

。方向上的投影向量的模長為（）

A.2B.-2C.--D.!

22

【答案】A

0

【解析】由題意，同=4,同=1,低。）=胃7r，

_-lai-leicosz］、

則空間向量@在向量3方向上的投影數(shù)量為」門?

同同I2>

所以所求投影向量的模長為2.故選：A

2.（23-24高二上?江西萍鄉(xiāng)?期末）已知B，）是空間中兩兩垂直的單位向量，貝川3Z+B-2。=（）

A.V14B.14C.41D.2

【答案】A

【解析】依題意得，同=問=同=1,a-b=a-c=c-b=0-,

所以忸+121卜柄+b-2c）2=sba2+b2+4c2+6a-b-12a-c-4b-c=0+1+4=E，故選：

A.

3.（23-24高二上?福建莆田?月考）已知空間向量Z+各+"=。,內(nèi)=2,⑻=3,d=4,則cos，》）=（）

A.gB.-C.—D.一

2324

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?3+2=0,所以三-伍+到,所以口斗+可,

所以H=|?|+2卜弧卜05（.,9+1,所以16=4+12cos（a用+9,

所以cos,&=；,故選：D.

4.（23-24高二上?四川綿陽?期末）已知3=27-2寧+萩，b=4i-j+5k（『，j,左為兩兩互相垂直的單

位向量），若@,貝（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】，石=(2:一2寧+旅).(4『-7+54=8F+2j2+5AF-10r-J+(10+42)F-^+(-10-2)J-^

i,7，G為兩兩互相垂直的單位向量，

.?.產(chǎn)=1,7=1,產(chǎn)=i，F(xiàn)-7=o,:仄=0,j-k=0,

=8+2+5A=10+52，

,''alb^：.a-b=0>A10+52=0,解得4=一2,故選：C.

冗

5.(23-24高二上?河北石家莊?期中)三棱錐。一4BC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC=-,OA=2OB=2,

CBLOA,則OC=()

A.1B.2C.V2D.V3

【答案】A

【解析】由題意可知池=礪-反，

而C8J_CU,故而_1而,;.屈.厲=0，

BP(OB-OC)OA=0,所以礪.力一反.厲=0，

則lx2xcos(-2]1|<05]=0,解得|反口，即OC=1,故選：A

6.(23-24高二上?遼寧沈陽?月考)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，尸。,底面/BCD,四邊形48co是邊

長為1的菱形，且4DC=120o,PZ)=4D,貝!!()

B.嚴(yán)+西.而=：

----------1

D.DCBP=-

2

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)槭?，底?8cD,所以。4DCu底面48CD,

所以所以（而+覺）?麗=萬3麗+配?麗=0,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)橐?。。=120。,40=。。=1,所以N4DB=60。，

所以A/DB為等邊三角形，所以。2=1,

所以礪.赤=_麗.次=-1麗川房,os60°=_；

(DP+DByAD=DP-AD+DB-AD=DB-AD=-^,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,CP-PA=(CD+DPy[DA-DP^=CD-DA-CD-DP+DP-DA-DP2

=-|Z)c|.|^4|cosl20o-0+0-l=1-l=-1,故C正確；

對(duì)于D,^-^=DC-(DP-DB^=DC-DP-DC-DB=()-^DC\-^DB\COS6Q°=-^,

故D錯(cuò)誤.故選：C.

二、多選題

7.（23-24高二上?河北滄州?期末）在棱長為2的正四面體/-BCD中，E,尸分別是3c的中點(diǎn)，G是

△BCD的重心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ABCD^OB.AB-EF=2

C.而在元上的投影向量為;益D.EG=^AB+AC-AD）

【答案】AB

如圖，取。C的中點(diǎn)W,連接BM,

'JAMLCD,BMLCD,u平面ASM,

.?.CD_L平面48M,4Bu平面J.CDLAB,故A正確；

取8。的中點(diǎn)，，連接HE,HF,則HE"AB,HE==AB,FH//CD,FH=-CD,

22

：.HE±FH,^ZFHE=90°,又HE=FH=\,；.NHEF=45°,EF=亞,

二方?麗=2麗?麗=2xlx逝xcos45°=2,故B正確；

_.―?1―?

由B知，石尸在亂上的投影向量為即二萬/5,故C不正確；

EG=EA+AG=~~~AD+-（AB+^C+^D\=-（AB+^C\--^D,故D不正確，

23、,3、76

故選：AB.

8.（23-24高二下?江蘇常州?月考）在正方體力BCD—44GA中，下列命題是真命題的是（）

uUUuLiLruUUuUiLruULuULrX\2UULLDUT2

(AAX+AD+AB\=3AB

B.京?布=0

C.函與函夾角為60°

D.正方體MCD-45GA的體積為困?布;?羽

【答案】ABC

【解析】設(shè)正方體的棱長為。，

A選項(xiàng)，（超+同+在『+AD+AB+2^AAx-AD+'AAi-AB+AD-AB^

=3a2=3A82-A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，而函=國-河.①+河

=函+通-河.（萬+"）=（萬-可.（與+河+而.（方+河

212

='AB-AA^+lD-AB+AD-AAl=a-a=Q,B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，由于三角形N片2是等邊三角形，所以函與函夾角為60。，C選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng)，|萬?怒?石|=0,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC

AC,

三、填空題

9.（23-24高二上?廣東廣州?期末）正四面體/-BCD的棱長為2,設(shè)石=1,就=5，而=己，則

a-（a+b+c）=.

【答案】8

jr

【解析】在正四面體/—BCD中/"C=/B4O=ZCMC=—,AB=AC=AD=2,

3

又AB=G，AC=b?AD=c?

所以展（萬+3+0）=22+限分+限己=22+2x2xcosy+2x2xcosy=8.

10.（23-24高二下?江蘇南通?月考）空間四邊形4BCZ）中，AB=2,BC=CD=1,40=3,且異面直線4。

與3C成60。，則異面直線45與。。所成角的大小為

【答案】60。/27T

【解析】因?yàn)楫惷嬷本€與BC成60。角，則而與正夾角為60?；?20。,

又,.?25+而+而+方=6，方+麗=-（就+加）.

兩邊平方，得在Q而2+2.冠.而=團(tuán)2+而2+2.元.百，

即在與無夾角為60。，所