4.3數(shù)列的概念與性質(zhì)（第1課時）（作業(yè)）

（夯實基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

3"TQ

1.（2020?上海?高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足二=]+（3，i；）a，若要使｛g｝為左項的有窮數(shù)列，則

q—

口1

A—R0J

1-3M1-3*1-3Wl-3fc+2

【答案】B

【分析】只需〃=笈+1時分母有為0即可得解.

【詳解】若要使｛4｝為左項的有窮數(shù)列，則〃=左+1時1+（3、1）%=0,解得4=1二.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式，數(shù)列分母不為0是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?上海?高二課時練習(xí)）有下列命題：

①數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是兩個不同的數(shù)列；

②用集合｛1,2,3｝中的所有元素只能構(gòu)造出6個不同的數(shù)列；

③集合1|工=2〃（〃€1）｝可以表示由正偶數(shù)按從小到大的次序排列所得到的數(shù)列

其中假命題有

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)列的概念即可判斷各命題的真假.

【詳解】按照數(shù)列的概念可知，按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1順

序不同，所以①正確；

用集合｛1,2,3｝中的所有元素能構(gòu)造出無數(shù)個不同的數(shù)列，比如，1,2,3；1,3,2；

2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；1,1,2,3,L,所以②錯誤；

因為集合卜陵=中的元素是無序的，所以不能表示由正偶數(shù)按從小到大的次序排列所得到的數(shù)

列，③錯誤.

故選：C.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2020?上海?高二課時練習(xí)）若數(shù)列｛4｝的通項公式為例=/面（〃eN*）,則這個數(shù)列中的最大項是

A.第12項B.第13項C.第14項D.第15項

【答案】C

〃1

【分析】由“"7+196再利用基本不等式求最值即可得解.

n-\------

n

〃1

【詳解】由正匚麗=二^,

n-\------

n

因為?+—>2.O^=28,當(dāng)且僅當(dāng)〃=14時，”+色有最小值28,

n\nn

___1

所以當(dāng)〃=14時，，196取得最大值右，

n+——28

n

故選：C.

【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求數(shù)列的最值，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2019?上海?曹楊二中高二階段練習(xí)）已知見=9],把數(shù)列｛q｝的各項排成如圖所示的三角形狀，記

A（私加表示第機(jī)行，第〃個數(shù),則4（11,2）=

a

a2生4

%%

-101-102

A.3一67B.3FC.3D.3

【答案】D

【分析】A01,2）表示三角形數(shù)表的第11行的第2個數(shù),根據(jù)題意得第10行的最后一個數(shù)是4。。,進(jìn)而求得

第11行中第2個數(shù)，即可求值.

【詳解】根據(jù)人（加，醇表示第m行，第”個數(shù)

則A（ll,2）表示第11行的第2個數(shù)

根據(jù)數(shù)表可知，每行的最后一個數(shù)為行數(shù)的平方數(shù),所以第10行的最后一項為生。。

所以第11行第2個數(shù)為％02

即1=［『=3*

故選:D

【點睛】本題考查了數(shù)列的簡單應(yīng)用，觀察數(shù)表，根據(jù)示例找出項的排列規(guī)律,屬于基礎(chǔ)題.

5.(2020?上海?高二課時練習(xí))下列四個命題：

①任何數(shù)列都有通項公式；

②給定了一個數(shù)列的通項公式就給定了這個數(shù)列；

③給出了數(shù)列的有限項就可唯一確定這個數(shù)列的通項公式；

④數(shù)列的通項公式““是項數(shù)”的函數(shù)

其中正確的有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

(分析］根據(jù)數(shù)列的表示方法以及數(shù)列的通項公式的定義即可判斷各命題的真假.

【詳解】對①，根據(jù)數(shù)列的表示方法可知，不是任何數(shù)列都有通項公式，比如：萬的近似值構(gòu)成的數(shù)列

3,3.1,3.14,3.141,-■?,就沒有通項公式，所以①錯誤；

對②，根據(jù)數(shù)列的表示方法可知，②正確；

對③，給出了數(shù)列的有限項，數(shù)列的通項公式形式不一定唯一，比如：1,-LL-LL,

其通項公式既可以寫成4=(-1)"”,也可以寫成q=(-1)1,③錯誤；

對④，根據(jù)數(shù)列通項公式的概念可知，④正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的表示方法以及數(shù)列的通項公式的定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

6.(2020?上海?高二課時練習(xí))在數(shù)列｛6,｝中，已知氏==二(weN*),則」是這個數(shù)列中的第

項.

【答案】12

【分析】假設(shè)上是數(shù)列中的項，則?！?7==4,得a=12,即得解.

156n(n+l)156

【詳解】假設(shè)限是數(shù)列中的項，則〃“=$=看，

所以/+〃—156=0,.?.(〃+13)(〃—12)=0,

所以〃=12.

所以二7是數(shù)列的第12項.

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

,、f3/i—4,71e[1,10]*

7.(2020?上海?高二課時練習(xí))數(shù)列｛q｝滿足4=”、(〃eN),則a“的最大值為____.

\-n+20,ner[1il1,+oo)

【答案】26

【分析】由題可知當(dāng)10]時，?！?34為遞增數(shù)列，可求出其最大值，當(dāng)時，an=-n+20

為遞減數(shù)列，也可求出其最大值，從而可求出。"的最大值

【詳解】當(dāng)〃注1,10]且〃eN*時，由通項公式?！?3”-4可知，數(shù)列｛4｝遞增，此時應(yīng)最大值為

3x10-4=26；

當(dāng)〃e[ll,+oo)且"wN*時，由通項公式%=-〃+20可知，數(shù)列｛。"｝遞減，。“最大值為-11+20=9.

綜上可知，當(dāng)力=10時，?！白畲笾禐?6.

故答案為：26

【點睛】此題考查由數(shù)列的通項公式求數(shù)列的最大項，考查數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2019?上海中學(xué)高二期末)數(shù)列｛6｝中，已知%=4"-13?2"+2,〃wN*,50為第項.

【答案】4

【分析】方程變?yōu)榧?13?2"-48=0,設(shè)2〃=x,解關(guān)于x的二次方程可求得.

【詳解】氏=4"-13?2"+2,〃eN*,則50=4"-13?2"+2,即4"-13?2"-48=0

設(shè)2"=無，貝lJf-13x—48=0,有x=16或x=-3

取x=16得2"=16,n=4,所以是第4項.

【點睛】發(fā)現(xiàn)4"=(2”>,原方程可通過換元，變?yōu)殛P(guān)于尤的一個二次方程.對于指數(shù)結(jié)構(gòu)￥=(2,)2,

9"=(3")2,25"=(5">等，都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯?

9.(2020?上海?高二課時練習(xí))數(shù)列｛4｝中，a?=100-3?(〃wN*),該數(shù)列從第項開始每項均為

負(fù)值.

【答案】34

【分析】要判斷從第幾項開始為負(fù)數(shù)，只需令?！?lt;0,解不等式并結(jié)合求出w的值即可.

【詳解】令?！?1。0-3〃<0,解不等式得：〃>與，由于“eN*,故“=34.

故答案為：34.

【點睛】本題考查數(shù)列的概念和簡單表示法，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于常考題.

10.（2020?上海?高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝中，%=-2〃2+31〃+9（〃eN*）,則｛%｝中的最大項為.

【答案】129

【分析】利用配方法得出%=-2］〃一?）+等，結(jié)合”eN*，可知｛%｝中％或。8最大，計算出由和網(wǎng)的

值，比較大小后可得出數(shù)列｛〃“｝中的最大項.

【詳解】?.?%=-2"2+31"+9=-2,-小+等（附?N*）,所以，數(shù)列｛%｝中的或。8最大，

?.?%=128,a8=129,因此，數(shù)列｛4｝中的最大項為為=129.

故答案為：129.

【點睛】本題考查數(shù)列中最大項的求解，考查數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

11.（2020?上海?高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的通項公式為4=（〃+1）［4］（"€"*）.是否存在自然數(shù)"7,

使對一切的〃wN*,“恒成立？若存在，求出機(jī)的值；若不存在，說明理由.

【答案】存在，機(jī)=8或9

【分析】利用作差法研究數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而可得最值.

-4=(〃+2)(蔣)—(〃+1)98-H

【詳解】???。日

W~io~

o9

.?當(dāng)4,8時,an+V-an>當(dāng)M>8時,an+\>4.又9=%=彳^"，

故存在〃?=8或9時，使得對于一切“wN*時，金,?！昂愠闪?

【點睛】本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性，一般地，研究數(shù)列單調(diào)性常用函數(shù)法和定義法（作差），屬于基

礎(chǔ)題.

QX

12.（2020?上海?高二課時練習(xí)）已知首項為4的數(shù)列｛玉｝滿足（。為常數(shù)）.

%+1

（1）若對于任意的玉W-1,有相+2=%對于任意的〃CN*都成立，求〃的值;

（2）當(dāng)。=1時，若%>0,數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？請說明理由.

【答案】（1）T（2）是遞減數(shù)列，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)遞推式求出Z+2,再根據(jù)等式x,+2=%可得（片-1）玉=（4+1）才，由4的任意性即可求

出a的值；

（2）根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，判斷斗+「匕的符號，即可得知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列.

%

【詳解】⑴丘，

%+1+1""+iaxn+xn+l

x0+l

:.a~x“=（a+1）片+無0=■（q-=（a+l）x：,令a=l,得-1）%=（a+1）尤;，

要該式對任意的%*T都成立，，卜［110,解得。=-L

4+1=0

（2）數(shù)列｛尤“｝是遞減數(shù)列.

,-.x?>O（/ieAf*）.

Xn+1

又???彳用一斗=一斗=一工f<0（力eN*）,故數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列.

X.+1Z+1

【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，數(shù)列單調(diào)性的判斷，以及數(shù)列恒等式的理解，屬于基礎(chǔ)題.

【能力提升】

一、單選題

1.（2020.上海.高二課時練習(xí)）共有10項的數(shù)列｛%｝的通項%=|^￡^（〃€解,1釉10）,則該數(shù)列中

最大項、最小項的情況是

A.最大項為可、最小項為qoB.最大項為％0、最小項為對

C.最大項為。6、最小項為生D.最大項為〃4、最小項為“3

【答案】D

【分析】把a(bǔ).#07yl再根據(jù)單調(diào)性可得該數(shù)列的最大項和最小項.

"2008-10"2008-10"

,年右外2007—10〃1

［洋國牛］a---------------=1---------------，

n2008-10"2008-10"

因為1g1000<1g2008<lg10000,故3v1g2008<4

當(dāng)〃22時，

9X10〃T

a—a------1------------1-----------------------------

"12008-10"-12008-10""(2008-10"-1)(2008-10")

當(dāng)2W〃W3時，2008-10">0,2008-10"-1>0,

a

故n-%-1<。即an<%且?！?lt;1對任意的1W”W3恒成立.

當(dāng)〃25時，2008-10"<0,2008-10n-1<0,

a

故n-<。即an<且a“>1對任意的“24恒成立.

所以數(shù)列｛%｝中的最小項為陽，最大項為明.

故選：D.

【點睛】本題考查數(shù)列的最大項和最小項，注意根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來討論，本題屬于中檔題.

2.(2022?上海交大附中高二階段練習(xí))己知數(shù)列｛q｝滿足勺=〃次"(0<左<1),下列命題：①當(dāng)A=；時,

｛%｝為遞減數(shù)列；②當(dāng)o(人時，數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列；③當(dāng);<兀<1時，數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列.其中真

命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)%1=("+#"'="如，進(jìn)而當(dāng)"=〃=1時，4=的判斷①；當(dāng)?！慈耍蹠r，

annkn22

出土嚨<曰41可判斷②；分別解4+七>1和左+七<1判斷③.

n2nnn

【詳解】解：因為。“=小左"(0<%<1),所以％4=(〃+1)內(nèi)向，

(〃+1)3

所以，當(dāng)A=!時，&旦=—=故當(dāng)〃=1時，4=%，此時數(shù)列｛%｝不是遞減數(shù)列，故

2%,/口In

①不正確；

當(dāng)0<女<4時，4包="步=如經(jīng)<?1<1,所以數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，故②正確；

當(dāng)!<%<1時，4=("+1).一=(〃+1)4=.+1,令左+8>1得”(上，令左+2<1得〃>上，即當(dāng)

n

2annknnn1-kn1-k

時，限>%，當(dāng)時，an+l<an,故數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列不成立，故錯誤；

所以真命題的個數(shù)是1個.

故選：B

3.(2022?上海?閔行中學(xué)高二期末)數(shù)列｛%｝的前〃項的和S“滿足Sx+S“=〃(〃eN*),則下列選項中正

確的是()

A.數(shù)列｛%”+%｝是常數(shù)列

B.若4<；，則｛4｝是遞增數(shù)列

C.若％=—1,貝|J512022=1013

D.若4=1,則｛%｝的最小項的值為T

【答案】D

【分析】由題設(shè)可得2%+2=1且?！鞍?。,=1("22),進(jìn)而可知〃22時｛4｝偶數(shù)項、奇數(shù)項的值分別相等,

再結(jié)合各項的描述判斷正誤.

【詳解】當(dāng)”=1時，S?+H=2%+%=1,

當(dāng)"22時，S“+S,T=〃-1,貝！|%+1+%=1,

而6+%=1不一定成立，故｛〃前+%｝不一定是常數(shù)列，A錯誤；

由4+1+?！?+?！ㄒ?=…=。3+。2=1,顯然4+1=4-13=…且24=…,即｛為｝不單調(diào)'B錯

誤；

若％=T,則g=3,%=-2,故〃22,｛%｝偶數(shù)項為3,奇數(shù)項為—2,

而$2022=%+(。2+。3)+(°4+%)+…+(“2020+。2021)+°2022=-1+1010+3=1012,C錯誤；

若4=1,則出=-1,a3=2,故〃22,｛%｝偶數(shù)項為-1,奇數(shù)項為2,故｛%｝的最小項的值為-1,D正

確.

故選：D

4.(2016?上海浦東新?高二期中)無窮等差數(shù)列｛〃“｝的各項均為整數(shù)，首項為%、公差為d,S,是其前〃項

和，3、21、15是其中的三項，給出下列命題：

①對住唐滿足條件的d,存在生,使得99一定是數(shù)列｛%｝中的一項；

②存庫滿足條件的數(shù)列口｝,使得對任意的〃eN*，S2,=4S.成立；

③對住塞滿足條件的d,存在生,使得30一定是數(shù)列0｝中的一項。

其中正確命題的序號為

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【解析】利用等差數(shù)列的公式，分別討論前〃項和3,15,21的具體項數(shù)，然后進(jìn)行推理即可，首先根據(jù)條件

得出dW6；①99-21=78能被6整除，且為13,假設(shè)15和21之間有〃項，那么99和21之間有13〃項，得

出結(jié)論；

②利用等差數(shù)列的前〃項和公式化簡邑”=45“，得出結(jié)論；

③30-21=9不能被6整除，如果d=6,那么30一定不是數(shù)列｛%｝中的一項，得出結(jié)論.

【詳解】要使等差數(shù)列的公差最大，則3,15,21為相鄰的前"項和，此時對應(yīng)兩項為15-3=12,21-15=6,

所以dW6.

①99—21=78能被6整除，且二，假設(shè)15和21之間有〃項，

0

那么99和21之間有13〃項，所以99一定是數(shù)列｛4｝中的一項，所以①正確；

②如果有Sz.=4S",那么由等差數(shù)列求和公式有：2叫+〃（2〃-l）d=4，化簡得到，

d=2%,所以只要滿足條件1=2%的數(shù)列｛%｝,

就能使得對任意的77wN*,$2“=4s”成立，所以②正確；

③30-21=9不能被6整除，如果d=6,那么30一定不是數(shù)列｛%｝中的一項，所以③錯誤.

綜上可得：只有①②正確.

故選：A.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

5.（2017?上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知集合〃=｛0,2｝,無窮數(shù)列｛%｝滿足%wM,且

/=年+號+…+|端，則實數(shù)一定不屬于（）

A.[0,1）B.（0,1]C.D-[C

【答案】C

【分析】根據(jù)。，2的數(shù)量進(jìn)行分類討論，由此求得r的取值范圍.

【詳解】若，100個0,貝卜=0,排除A選項.

2

若，99個0,若％=2,2=%=…=Goo=。，貝!Jf=§.排除BD選項.

只有C選項符合.

故選：C

【點睛】本小題主要考查無窮數(shù)列的性質(zhì)，考查分析思考與解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

6.（2022?上海?華師大二附中高二階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝的通項公式為?！?/-7〃+6,則當(dāng)〃=

時，｛4｝的前〃項和S“最小

【答案】5或6

【分析】由題設(shè)可得?！?ST）（〃-6）,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，討論〃判斷“"的符號，即可確定〃為何值時

S“最小.

【詳解】由題設(shè)，?=（〃一1）（〃一6）且〃eN*,

所以，當(dāng)1<〃<6時見<0；當(dāng)”=1或九=6時6=。；當(dāng)〃>6時見>。；

綜上，當(dāng)〃=5或”=6時S”最小.

故答案為：5或6.

7.（2021.上海交大附中高二期中）高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書館時看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備

每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心中默默計算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)

她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有一寬度達(dá)1.5米的平臺，這樣原來的走樓梯方案需要調(diào)整，請問，

對于剩下的15級（12+3）樓梯按分2段的走法與原來一次性走15級的走法相比較少了種.

圖1圖2

【答案】288

【分析】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，分別列出走到15級臺階的走法，然后分兩

段計算走法，作差即可.

【詳解】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律：

登上第一級臺階：有1種走法；

登上第二級臺階：有2種走法；

登上第三級臺階：有3種走法；

登上第四級臺階：有5種走法；

登上第五級臺階：有8種走法；

登上第六級臺階：有13種走法；

登上第七級臺階：有21種走法；

登上第八級臺階：有34種走法；

登上第九級臺階：有55種走法；

登上第十級臺階：有89種走法；

登上第十一級臺階：有144種走法；

登上第十二級臺階：有233種走法；

登上第十三級臺階：有377種走法；

登上第十四級臺階：有610種走法；

登上第十五級臺階：有987種走法；

所以分兩段走，先走十二級臺階有233種走法，再走3級臺階有3兩種，這樣走完15級臺階共有233x3=699

種，比直接走完15級臺階987中走法少了987-699=288種走法.

故答案為：288

4

8.（2020?上海?上外附中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列4=彳「1，若對任意正整數(shù)”都有見4處，則正整數(shù)

29-3”

k=；

【答案】9

【分析】分析數(shù)列｛4“｝的單調(diào)性，以及數(shù)列各項的取值正負(fù)，得到數(shù)列中的最大項，由此即可求解出發(fā)的

值.

4

【詳解】因為所以時，%>。，時，見<0,

又因為｛%｝在［1,9］（?eN*）上遞增，在［10,口）5eN*）也是遞增的，

所以（a.）1mx=%,又因為對任意正整數(shù)〃都有44%,所以左=9.

故答案為：9.

【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列中項的正負(fù)判斷，難度一般.處理數(shù)列單調(diào)性或者最值的問題時，

可以采取函數(shù)的思想來解決問題，但是要注意到數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的定義域為N*.

9.（2019?上海?曹楊二中高二階段練習(xí)）在數(shù)列一1,0,…，=，…中，0.08是它的第________項.

98n'

【答案】10

【分析】根據(jù)通項公式列方程，解得結(jié)果.

n—2

【詳解】令一^—=0.08,得2/—25H+50=0,即（2〃一5）（九一10）=0.

n

解得九=10或"=g（舍去）.

【點睛】本題考查由通項公式求項數(shù)，考查基本分析求解能力.

10.（2022.上海.華師大二附中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和s“，對任意〃￡N*,

s“=（-1）%“+城+”-3且（。用-。）&-必<o恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】（一：3,：11）

44

【詳解】試題分析：由$“=（-!）"%+［+”-3,得％=-3；當(dāng)月乙；!時，

24

%=黑■帛3=MX*海-厚m（-ir4--3+1,若

Q"一

〃為偶數(shù)，則1???僦1.=<-：1（〃為正奇數(shù)）；若〃為奇數(shù)，貝IJ

=-2ali—+1=-2,?—1（——+1=3—i,；?a”=3——r（〃為正偶數(shù)）.函數(shù)礴，=x一］

一、一）■占工工

（〃為正奇數(shù)）為減函數(shù)，最大值為q=-三，函數(shù)a,=3--r為正偶數(shù)）為增函數(shù)，最小值為

142n

11號111311

a.=—.若（。用-。）?！保?lt;0恒成立，則/<D<a、，即-二〈,A<管.故答案為（-=,：）.

*41**4!"4144

<15913??117

5101520??150

9152127??183

11.（2018?上海市松江二中高二階段練習(xí)）給出30行30列的數(shù)表A：

13202734??216

?1074

其特點是每行每列都構(gòu)成等差數(shù)列，記數(shù)表主對角線上的數(shù)1,10,21,34,…,1074按順序構(gòu)成數(shù)列也“},存在

正整數(shù)s、r使伉也4成等差數(shù)列，則滿足條件的一組（sj）的值是.

【答案】（17,25）

【分析】可分析主對角線的數(shù)據(jù)特征，求出通式，再根據(jù)4也,乙成等差數(shù)列，通過賦值驗證即可求解

【詳解】由題可得，b2-bt=9,b3-b2=11,L,bn-bM=2n+5

上述〃-1個式子相加可得，b,,-4=9+ll+13+L+2"+5=1+6〃-7,解得勿=1+6〃-6

又Q4也力成等差數(shù)列，.2々朝+4,gp2（s2+6s-6）=l+t2+6t-6,整理可得：

2（S+3）2=（/+3）2+16,Ql<i<?<30,s,teN+,

經(jīng)檢驗當(dāng)s=17,f=25時符合題意

故答案為：（17,25）

【點睛】本題考查疊加法求解數(shù)列通項，由等差數(shù)列性質(zhì)求解數(shù)列中具體項，賦值法的應(yīng)用，計算能力,

屬于中檔題

12.（2018?上海?曹楊二中高二期中）如圖，一個粒子的起始位置為原點,在第一象限內(nèi)于兩正半軸上運動,

第一秒運動到（（M）,而后它接著按圖示在x軸、y軸的垂直方向來回運動，且每秒移動一個單位長度，如圖所

示，經(jīng)過秒時移動的位置設(shè)為那么經(jīng)過2019秒時，這個粒子所處的位置的坐標(biāo)是.

【答案】（5,44）

【分析】根據(jù)粒子在第一象限的運動規(guī)律得到數(shù)列通項的遞推關(guān)系，對運動規(guī)律的探索知A，4.…4（其中

4表示橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)一樣時的粒子坐標(biāo)）中,奇數(shù)點處向下運動，偶數(shù)點處向左運動，即可求得.

【詳解】設(shè)粒子運動到4,4…4（其中4表示橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)一樣時的粒子坐標(biāo)）時所用的時間分別為

ax,a2,Lan,貝!JQ]=2,a2=6,%=12,%=20,…_/_]=2n,

“i一。2=2x2,%—4=2x3,%-%=2x4,??q-an_x-2n,

相力口彳導(dǎo)—a1—2（2+3+4+..?+71）-n+/I—2,

所以=w（〃+l）,

又44x45=1980,故運動1980秒時它到點4（44,44）,

又由運動規(guī)律知4,4…4中,奇數(shù)點處向下運動，偶數(shù)點處向左運動.

故到達(dá)4（的，物）時向左運動39秒到達(dá)（5,44）,即運動2019秒時，這個粒子所處的位置的坐標(biāo).

故答案為（5,44）.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，細(xì)心總結(jié)規(guī)律，是難題.

三、解答題

13.（2017?上海市第三女子中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛”,｝滿足%+I=%+〃，4=1,求數(shù)列｛%｝的通項公

式.

【答案】a,=---+\

22

【分析】直接利用累加法計算得到答案.

【詳解】a?+i=??+?1則為=（%一%.1）+（?一%.2）+~+（%一《1）+4

/八/n（n-l）1〃

=（n-l）+（n-2）+...+l+l=—--+l=---—+1

【點睛】本題考查了累加法計算通項公式，意在考查學(xué)生對于數(shù)列方法的靈活運用.

n

14.（2018?上海市向明中學(xué)高二開學(xué)考試）對于正數(shù)斗與，…，[（〃€M）,我們稱叔+!+!為它們的

4G"P?

調(diào)和平均數(shù)，已知數(shù)列｛%｝的通項公式為為=需?（〃?N）且數(shù)列｛an｝的第w項an是數(shù)列｛bn｝的前n項

的調(diào)和平均數(shù).

⑴試求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)求出數(shù)列中數(shù)值最大的項和數(shù)值最小的項.

2?

——n=i

【答案】⑴勿=3'

n(n+V),n>2

(2)數(shù)值最大的項為:，數(shù)值最小的項為白

【分析】(1)運用新定義，由數(shù)列的通項及前〃項和的關(guān)系，即可得到所求通項;

112

c2a2

(2)將當(dāng)“22時，數(shù)列%變形為；71,再求1的范圍,再結(jié)合x再求最值即可.

b

?4+2一'24

n+nn+n

n(ji+1)n

【詳解】解：(D由題意可知：2〃+1111

-----1-------F...4-----

b2b.

1112n+1

則丁+T+…+廠,①

n+1

瓦瓦bn

2

當(dāng)〃=1時，4=一,

3

1112M-1_

當(dāng)時,—+一+...+——=-----,②

n

bib2%

①②得：92〃+12n-l1

n+1nn(n+1)

即2=n(n+l),

-,77=1

即2=3'

n(n+l),n>2

4

2—

^i__92

(2)當(dāng)〃=1時,=

23

3

22

ann+nn+n1

因為當(dāng)〃>2時，(2n+1)2-4(川+〃)+1-4+

bn1

n2+n

1±<—11

11一<W,

又因為"2+n>6,所以0<2、,即25一4+

n+n

n2+n

即務(wù)e61

h25'4"

中數(shù)值最大的項為:，數(shù)值最小的項為郎.

故數(shù)列

【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式的求法，主要考查了數(shù)列最值的求法，重點考查了閱讀能力，屬中檔題.

15.(2019?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4(。，2),

用K=(2〃+l,2")("eM).

(1)若西||柄，求°的值；

(2)若。=1,求西的坐標(biāo).

【答案】⑴?=|；(2)(“2,2”)：

【分析】(1)由題意首先求得用豆的值，然后利用向量平行的充分必要條件即可確定實數(shù)。的值；

(2)利用題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運算和等差數(shù)列的通項公式即求得西的坐標(biāo).

【詳解】(1)由題意可得：的=(a,2),

在叼二=(2〃+1,2")(“€”:)中令72=2可得：A4=(5,4),

由向量平行的充分必要條件有：4?-2x5=0,解得：0=|；

⑵設(shè)點4的坐標(biāo)為4(%，”)，由題意可得：玉=1,必=2,

_____,/、[xn+｝-xn=2n+l

且：AA+i=(%+1-%，%+1一%)，即：1__9?，

L%+i—丁〃-2

據(jù)此可得：

%=+—玉)+(七—%2)+?,,+(*”—)=1+3+5+???+(2〃_1)=〃2,

%=%+(%—%)+(%—%)+…=2+2]+2?+…+2”T

=2+—------^=2"，

1-2

即4(“2,2"),則西=(/,2)

【點睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算，等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想等知

識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

16.(2019?上海?華師大二附中高二階段練習(xí))對于項數(shù)為加(">1)的有窮正整數(shù)數(shù)列｛%｝,記

%=max｛%,2,???,/｝(%=1,2,…，加),即4為4，%…4中的最大值,稱數(shù)列｛2｝為數(shù)列3｝的“創(chuàng)新數(shù)列”.

比如1,3,2,5,5的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,3,3,5,5.

(1)若數(shù)列｛凡｝的“創(chuàng)新數(shù)例J”｛么｝為123,4,4,寫出所有可能的數(shù)列

（2）設(shè)數(shù)列｛2｝為數(shù)列｛%｝的“創(chuàng)新數(shù)列”,滿足以+j：=2018（左=1,2,…，機(jī)），求證：ak=bk

（k=l,2,…,m）；

（3）設(shè)數(shù)列出/為數(shù)列｛%｝的“創(chuàng)新數(shù)列"，數(shù)列｛"｝中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出

所有的數(shù)列

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1,2,3

【詳解】試題分析：（1）創(chuàng)新數(shù)列為123,4,4的所有數(shù)列｛q｝,可知其首項是1,第二項是2,第三項是

3,第四項是4,第五項是1或2或3或4,可寫出｛%｝；（2）由題意易得a,+1+V,=2018,從

而可得「粼一上士。，整理即證得結(jié)論；（3）驗證當(dāng)機(jī)=2時，不滿足題意，當(dāng)加=3時，根

據(jù)4+仄+4<34,而444>6&得4=1,同理2=2,4=3,而當(dāng)機(jī)。4時不滿足題意.

試題解析：（1）所有可能的數(shù)列｛。,｝為123,4,1；1,2,3,4,2；123,4,3；1,2,3,4,4

<2）由題意知數(shù)列｛"｝中筑就>”.又見+與3=2018,所以％1+■+=2018

――以=（2018-&J-（2018-*=-*20,所以即q=4（笈=1,2,…,相）

（3）當(dāng)〃z=2時，由4+勿=6也得倒一1乂仇一1）=1,又仿也eN*所以4=&=2,不滿足題意；當(dāng)m=3時，

由題意知數(shù)列W』中2+i>%,又4+b2+b3=岫乩

當(dāng)偽Hl時，此時&>3,4+4<3?而44勿>6&,所以等式4+勿+4=6也么不成立，因此4=1;

當(dāng)62H2時，此時&>3,a+瓦+瓦<3瓦,而1）也瓦23仄,所以等式乙+勿+優(yōu)=4優(yōu)4不成立，因此a=2；

當(dāng)4=1,&=2得&=3,此時數(shù)列｛%｝為1,2,3.

當(dāng)機(jī)。4時，bl+b2+.--+bm<rnbm,而電2>mb”,所以不存在滿足題意的數(shù)列｛%｝.綜上數(shù)

列｛凡｝依次為1,2,3.

17.（2022.上海虹口.高二期末）已知遞增等比數(shù)列｛叫，《=1,且％,%+2,%成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列也｝

的前?項和為S1t，點P[n,5“）在拋物線y=必上.

（1）求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

b

（2）設(shè)％=）,數(shù)列｛c“｝的前”項和為7；,若（<2〃-1（〃€M）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴。"=3"\=2/7-1(2){a\a>2]

【分析】（1）直接利用等差數(shù)列等比數(shù)列公式和么=S.-Se計算得到答案.

b2〃一1n+1

（2）%=r=與寸，利用錯位相減法得到（=3-黑，得到北＜3,代入計算得到答案.

【詳解】解：（1）由“1+4=2（%+2）即g2-2g-3=0可得4=3或q=T.

因為數(shù)列｛4“｝為遞增等比數(shù)列，所以4=3,4=1.

故｛%｝是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.所以a“=3"L

由點尸（〃,S“）在拋物線y=f上，所以S"=〃2

b?=Sn-S“_]=2〃-1(〃>2)

驗證當(dāng)a=1時，4=H=1也成立

故6,=2〃-1

b2n-l

(2)因為％

an

亦2r1352〃-l

所以小于+k?+…+行k'

12n-32n-l

?H-----：--1-------

3”T3"

兩式相減有2TI22...2__Z!LZ!2n-l

=++++-竽

3n3323“T3"3〃2M

所以，<=3-/2n-l

=3-空

Z-J3,T

4+i-1=(3-一(3-黑)2〃+1

>0

3"

故數(shù)列，單調(diào)遞增，又北＜3

若騫＜24-1恒成立,貝l|3W2a—l.

解得：?＞2,所以，實數(shù)。的取值范圍是｛*22｝.

【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式，通項與前N項和的關(guān)系，錯位相減法，數(shù)列的恒成立問題，綜合性

強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計算能力和對數(shù)列公式方法的靈活運用.

18.（2016?上海市青浦高級中學(xué)高二期中）己知常數(shù)數(shù)列他“｝的前〃項和為S,,q=l,

s

Cl―——+Cl(Yl—1);

nn

(1)求數(shù)列｛a,J的通項公式；

(2)若b,=3"+(-l)"a"，且｛"｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若a=:，c“=六對于任意給定的正整數(shù)%,是否存在正整數(shù)"、q,使得，=凄品？若存

在，求出〃、q的值(只要寫出一組即可)；若不存在，請說明理由；

Q

【答案】(1)。〃=1+2。(〃一1)(2)-4<a<-(3)q=k+l,〃=k(左+2017)(或4=2左，p=2k+2016-...)

【詳解】試題分析：(1)將條件中分式變成整式得如"=S.+4(〃-l)〃，把〃換成”+1得

n

(n+l)a?+1=Sn+l+fln(n+l),兩式相減化簡可得也用-陷,=2an,化簡得%-a“=2a,根據(jù)等差數(shù)列定義

n

可知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式寫出公式即可.(2)由(1)可得2=3"+(-l)[l+2a(n-1)],

因為數(shù)列也,｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以2<%i，3"+(-1)-[1+2a(n-1)]<3"+1+(-1)"+1(1+2an),化簡得

(-l)K[l+a(2?-l)]<3\因為(-1)"的正負(fù)與〃是奇數(shù)、偶數(shù)有關(guān)，故分兩種情況討論.當(dāng)〃是奇數(shù)時，

(-l)n[l+a(2?-l)]<3"可變?yōu)閍>=1,3,5,…)恒成立，構(gòu)造函數(shù)求不等式右邊的最大值，令

/(〃)=一=L,用函數(shù)單調(diào)性定義可證明單調(diào)性為減函數(shù)，所以。>/(〃)s=;\l)=-4；當(dāng)〃是偶數(shù)時，

(-1)"[l+a(2?-l)]<3"可變?yōu)閍<|^(n=2,4,6,…)恒成立，構(gòu)造函數(shù)求不等式右邊的最小值，令

二24〃」一1，利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)為增函數(shù)，所以〃〈且⑺*;8⑵二8三.可得所求范圍.(3)

2n—13

1Yl

由(1)及。=彳可求出%=W,所以C?=—京.假設(shè)對任意