四川省成都外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中檢

測數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

i.下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果不氐倒的是（）

2.已知在等差數(shù)列｛%｝中，%+%=20,a?=12,則。4等于（）

A.-2B.4C.6D.8

3.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，若q=；,公比q=g,則包｝的前8項(xiàng)和$8=（）

“255。127°255127

A.---D.---C.----nD.---

256128512256

4.已知x=l函數(shù)/（x）=d—3QX+3的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)/（x）的極大值為（）

A.2B.3C.4D.5

5.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.48B.60C.72D.120

1y

6.函數(shù)圖象上一點(diǎn)尸到直線y的最短距離為（）

A.V2B.—C.也D.叵（匕21n2）

255

O

7.已知數(shù)列也J的通項(xiàng)公式為若對(duì)于任意正整數(shù)〃，都有冊(cè)成

立，則m的值為（）

A.15B.16C.17D.18

8.若關(guān)于x的不等式（依-2）-2工-2（。＞0）有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（0,1]B.[2-e,DC.（0,1）D.[e-2,D

二、多選題

9.已知數(shù)列｛%｝滿足。用=1一，("eN*),且%=2,則()

an

A.a3=—1B.。2024=2

C.S6=3D.2s2024=2025

10.已知函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)數(shù)/'(x)滿足/(x)+/'(x)>0,則()

A.B./(-l)<e2/(l)

C,心D,幽＞川)

e2e

11.如圖，曲線/=2x(y20)上的點(diǎn)4與x軸非負(fù)半軸上的點(diǎn)瓦_(dá)i，烏(7=1,2…構(gòu)

成一系列正三角形，記為△穌44，ABHB〉…，，(紜為坐標(biāo)原點(diǎn)).

設(shè)AB"-4紇的邊長為%，點(diǎn)與電,0),叫14A的面積為EQeN*),則下列說法中

正確的是()

7

A.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式a,B.數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式b“=§(/+2〃)

C.d+邑+邑+…+以二言道

D.

岳邑S"4

、填空題

12.已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和S'=3"+2,%=.

13.有4名男生、4名女生，全體排成一排，男生互不相鄰，求不同的排列方法總

數(shù).

x+i

14.若關(guān)于X的方程Y/+e^7+加=。有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解A%,當(dāng),且再＜0＜無2＜尤3,

其中meR,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則

四、解答題

15.已知函數(shù)/'(x)=lnx+"2,且在(1J⑴)處的切線斜率為-3.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性.

2

16.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“=^n+^n,neN+.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式?！埃?/p>

(2)設(shè)，=1丁，1是數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，求給

17.已知函數(shù)/(x)=J^-lnx(aeR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵求“X)在-,e上的最大值g(a).

e

18.已知數(shù)列｛?！埃凉M足q=5,an+l-2an=3"(〃eN*),記6.=a“-3".

(1)求證:｛4｝是等比數(shù)列;

2〃+1,、

(2)設(shè)g=一1，數(shù)列仁｝的前〃項(xiàng)和為I.

(i)求S".

(山)若不等式(-1)"4<3+六對(duì)一切〃€川恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

19.已知4是函數(shù)y=〃x)定義域的子集，若士eR，心已心

/(x+f)_(f+l>〃x)NO成立,則稱y=/(x)為/上的“函數(shù)”.

⑴判斷y(x)=cosx是否是0q上的““0)函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；

⑵證明：當(dāng)e〃+“==0(。是與x無關(guān)的實(shí)數(shù))，g(無)=e'+x是(q,+s)上的

'"⑴函數(shù)"時(shí)，q》P;

⑶己知〃(x)=x2-辦是[0,2]上的“”2)函數(shù)”，若存在這樣的實(shí)數(shù)“，

Vxj,x2e[1,2],當(dāng)再時(shí)，r<"')求r的最大值.

-In項(xiàng)-Inx2

參考答案

1.【答案】A

【詳解】(cosx)'=-sinx,故A錯(cuò)誤;

(lnx)z=-,故B正確；

x

(e%y=e"，故c正確；

=1-)'=_卜廣1=一與，故D正確.

故選A.

2.【答案】C

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，2%=%+。8=20,解得4=1。，公差4=〃7-。6=2,

所以4=4-2d=6.

故選C

3.【答案】A

1L1一囚

【詳解】因?yàn)?=;，q=±,所以s-2L」_255.

22為-?1-256

2

故選A.

4.【答案】D

【詳解】由f'(x)=3x2-3a,因?yàn)閤=l是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，

所以((1)=3—3a=0na=l,即=3JC2-3=3(x+l)(x-l)

則當(dāng)x>l或x<-l時(shí)，r(x)=3(x+l)(x-l)>0,所以/'(x)在(-*T),(l,+s)上遞增,

則當(dāng)-1<X<1時(shí)，r(x)=3(x+l)(x-l)<0,所以/(X)在(-1,1)上遞減,

即/'(x)在x=T時(shí)有極大值/(-1)=-1+3+3=5,

故選D.

5.【答案】A

【詳解】若四位數(shù)為偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)為2或4,其余位數(shù)不重復(fù)即可，

所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A；A：=48.

故選A.

6.【答案】C

y1

【詳解】設(shè)與直線y平行且與曲線/(尤)=學(xué)2相切的直線的切點(diǎn)坐標(biāo)為

x0)|-lnx0I.

因?yàn)?'(x)=；，所以/—=；，解得x0=l,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

2xzx。L

最短距離為點(diǎn)(1,0)到直線y的距離，即

故選c

7.【答案】C

OOO

221

【詳解】數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式為/§嚴(yán)，則??+1-??=(?+i)(1r-?(1r

OQO11O

222

=(-)"[(?+1)--?]=(^"(--?+2?+1)=-/9r"-16"-8),

由"2一16〃一8>0,n>\,解得”>8+6而，而16<8+6應(yīng)<17,

因此當(dāng)"217時(shí)，a?+i-an<0,即見+心氏，當(dāng)14〃416時(shí)，a?+l>a?,

即％<。2<46<。17>%8>%9>

所以數(shù)列｛。“｝的最大項(xiàng)為為7，即對(duì)于任意正整數(shù)"，都有凡<知成立，依題意,

m=17.

故選C

8.【答案】C

【詳解】設(shè)/(x)=gN(a>0),g(x)=x-2,

貝lj不等式(辦一2)「2尤一2(。>0)即f(x"g(x)有且只有兩個(gè)整數(shù)解.

所以當(dāng)X<竺2時(shí)，r(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

a

當(dāng)x>9時(shí)，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減.

a

當(dāng)X=*時(shí)，/(無)=0,當(dāng)時(shí)，/(x)<0,當(dāng)時(shí)，/(x)>0,

aaa

當(dāng)無無限趨向于負(fù)無窮大時(shí)，/(X)無限趨向于負(fù)無窮大，

當(dāng)X無限趨向于正無窮大時(shí)，/(X)無限趨向于0.

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，g(O)=-2,g(l)=-l,g(2)=0,

則〃0)=彳=-2,〃1)==,/(2)=2二,/(0)=8(0),

eee

函數(shù)/(無),g(x)的大致圖象如圖

由圖可知，要使/卜)之g(x)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，這兩個(gè)整數(shù)解必然是0,1,

—>-1,

所以解得2-eVa<l.又a>0,所以

2。一2八

—<0,

Le

故選C.

9.【答案】AC

【詳解】A：由題意，4=2,an+l=1,

an

111〃—1__L-1_J__-1

則。2=1---=1--=-，3a,1,故A正確；

4222-

結(jié)合A的計(jì)算，可得數(shù)列｛??)的周期為3,即。"+3=%，

=a=

因?yàn)?024=3x674+2,所以Q024>故B錯(cuò)誤；

2i

,133

C?一■個(gè)周期的和為4+。2+。3=2+5-1=],而S6=2x—=3,故C正確；

311

D：由于2024=3x674+2,所以邑024=674x5+%+?=1011+2+/=,

所以2s2。24=2027,故D錯(cuò)誤.

故選AC.

10.【答案】BC

【詳解】設(shè)尸(x)=片?/(x),則F'(x)=e「(x)+exf'(x)=e'[/(%)+f\x)],

因?yàn)閷?duì)任意的xeR都有/(x)+/(x)>0,則r(x)>0恒成立，所以尸(x)在R上單調(diào)

遞增；

因?yàn)間<l,所以e'H<eL〃l),則〃；)<五〃1),所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)橐?<1,所以e-L/(-l)<eL/(l),則/(一1)<e?/。)，所以B正確；

因?yàn)閘n2<l,所以eS2./(ln2)<eL/Q),則理吟<絲2,所以c正確；

e2

因?yàn)?<1,所以e°./(O)<eL/(l),則/〈/⑴，所以D錯(cuò)誤；

e

故選BC.

II.【答案】ACD

【詳解】依題意，為（0,0）,設(shè)4（占,%）,由△14月為正三角形，直線為4的方程為

y=6x，

由得4（*W）'則％=忸。周=2xg=g，

由紇T（2T，0）,則4的橫坐標(biāo)為當(dāng)="_1+彳，縱坐標(biāo)為"=且.“，

22

且4（%+*,%〃）在曲線必=2xg0）上,則亭J=2（%+「,

又或=如+%，即曬=2-。“，得3=2（"”“+會(huì)），則3=26-

33

當(dāng)時(shí)，-al-\=2〃T一。1，兩式相減得］（端一。；1）=?！?%，%〉。，

因此?！?a,i=g,數(shù)列｛4｝是以。為首項(xiàng)，以g為公差的等差數(shù)列，

444

對(duì)于A,a=-+—(n-l)=—nA正確；

333f

對(duì)于B,由4-6,T=a“=+,得，=(，-“T)+(，T-限2)+…+他-4)+4

=y[w+(/7-l)H--11]=g.1)=|■如+D,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,正應(yīng)T4A面積s“=%；=今.*）2=,

則E+S2+S3+…+5=^V3(12+22+32+??+82)=^Tix204C正確;

二19N13班5611991573573

對(duì)于D,由77=一尸一7，得一=——<——，—+——=—尸+—尸=----<——

S,40岳44H$24731673164

199^3731_____1_

當(dāng)〃23時(shí),---=----廣--<----

7=---2---一歹(—n+V

sn4d3n24V3(M-1)

1111543樞cr1r.11

mil(Vl

則短下…+『~[r+hk4r才"+rrE】

述（2」-—)<—,D正確.

1686〃n+V4

故選ACD

12.【答案】162

【詳解】由S“=3"+2,可得解-=3"、+2(〃22),所以

??=^-^,-1=3"+2-(3--1+2)=2-3"-|(?>2),故%=2不=162.

13.【答案】2880

【詳解】先將女生排成一排，有A：=24種，再將男生插入到5個(gè)空位中，有

A：=120種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的排列方法總數(shù)為24x120=2880種.

14.【答案】e2

x尸_xe_

【詳解】由關(guān)于的x方程最十二7+根=3+工71+機(jī)，

令——=t,貝［|有，H-------\-m=0^>t2+(m+Y)t+m+e=0,

ext+1

令函數(shù)g(x)=三，貝?。輌'(x)=,

ee

當(dāng)X<1時(shí)g'(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)g'(x)<0,

??.g(x)在(-00,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且x>0時(shí)，g(x)>0,

其圖象如下：

且再<0<%2<%3，

結(jié)合圖象可得關(guān)于，的方程，+（加+?+w+e=0一定有兩個(gè)實(shí)根4,&<°<外，

且T~=T~=’2，由韋達(dá)定理知，4+/2=-（優(yōu)+1）,tt=m+e

e1e2e3i2f

所以信+lJ9+lJg+l］=［（廳1）也+1）『，

（4+1）（，2+1）=+（+/2+l=m+e—（m+1）+1=e,

15.【答案】(1)〃=—2

(2)在10,￡|上單調(diào)遞增，在g,+，|上單調(diào)減

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)，(x)=lnx+ax2,求導(dǎo)得/口)=，+2辦，

x

在（1J⑴）處的切線斜率為-3,即/'（1）=-3,.?.1+2。=-3,

解得。二一2；

（2）由（1）可知/（x）=lnx-2%2,求導(dǎo)/，（x）=J_—4x=一,

XX

令廣（x）>0,解得0<x<L令/口）<0,解得x>L

22

上單調(diào)遞增，在g上單調(diào)減.

16.【答案】（1）a.=n

【詳解】⑴s,丁+P中，令-1得％=5+二1,

當(dāng)“W2時(shí)，an=Sn-Sn_x=-n-+-n-

又％=1適合上式，所以%=";

（2）由（1）知:

(〃+1)nn+\

22334nn+1n+1n+\

17.【答案】（1）答案見詳解;

2-ae,a<—

e

⑵g(a)=,-\na,—<a<e.

e

【詳解】（1）函數(shù)/（x）=\^-lnx（aeR）的定義域?yàn)椋∣,+s）,則

當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)任意的x>0,r（x）<0,此時(shí)函數(shù)〃x）的減區(qū)間為（0,+s）,無增區(qū)

間；

當(dāng)a>0時(shí)，由/''（x）>。，可得0cx<a,由/'（x）<0,可得x>a.

此時(shí)，函數(shù)/（x）的增區(qū)間為（0,。），減區(qū)間為（。,+8）.

綜上所述，當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)“X）的減區(qū)間為（0,+8）,無增區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃x）的增區(qū)間為（0,。），減區(qū)間為（氏+⑹.

（2）由（1）知，當(dāng)aW，時(shí)，函數(shù)在-,e上單調(diào)遞減，

e_e_

此時(shí)，g（a）=/g]=2-ae；

當(dāng)：<a<e時(shí)，函數(shù)/（x）在上單調(diào)遞增，在（a,e]上單調(diào)遞減，

此時(shí)，g(a)=/(?)=-lna；

當(dāng)/e時(shí)，函數(shù)〃x)在Qe]上單調(diào)遞增，此時(shí)，g(a)=/(e)=--.

_e」e

二1

2-ae,a<—

e

綜上所述，g(^z)=<-lna,-<a<e.

e

a

——,a>e

、e

18.【答案】(1)證明見解析

(2)(i)s.=5-(2〃+5)(,(ii)["Py]

【詳解】(1).；%,+「2%=3",

a

?+i=3"+2a?,又a=。"-3",

+1

所以%=a?+I-3"=3"+2??-3x3"=2a?-2x3"=2al-3")=?”,

1=

又=5,:.bx=?；-35—3=2,

，數(shù)列｛2｝中任意一項(xiàng)不為0,"=2,

數(shù)列也｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，則4=2x21=2".

(2)(i)由第(1)問知，b,=2",則,"=號(hào)，設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為邑,

一3572n+l1o3572n+1

Sn+—+—+2"①，2'一22+2/24+…+2向②’

所以①-②可得：

3?+13一而J2t+]

為二+之+二+L+上

-------r=-H~-——；~-r，

22223221+12,121+1

1----

2

所以S.=5-(2〃+5)]￡|.

(ii)由(-1)“4〈其+皆",得(—1)〃丸<5—(2〃+5)&]+6，化簡得

(一1)"2<51一出.

1一[；],即—5,而

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，有々<5

5xg)-5=5X；-555

二一,，所以X>--;

max

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，有九＜51-=5-5x(；］,而

所以4＜三

4

綜上，2的取值范圍為

19.【答案】⑴/(x)=cosx是上的“〃0)函數(shù)”，理由見詳解;

⑵證明見詳解；

(3)6.

【詳解】(1)f(x)=cosx是上的““0)函數(shù)”，理由如下:

,/f(x)=cosx,f(x)=一sinx.

/.cosx+sinx=cosx-(-sinx)=&sin(x+|1,J,

.,./(x+O)-(O+l)-/'(x)=/(x)—/'(x)=cosx+sinx20在0,^-恒成立，

???/(x)=cosx是o1上的““0)函數(shù)”.

(2)；g(x)=e*+x是伍,+co)上的“⑴函數(shù)”，

g(x+1)—2g'(x)=eT+1+x+l—2(e%+1)=e*(e—2)+x—120在(%+℃)上恒成立,

設(shè)/!(x)=e*(e-2)+x-l,則=e'(e-2)+1>0,

A〃(x)=e%e-2)+x-l在R上單調(diào)遞增，且=e"e-2)+q-l20.

又e〃+—=0,，〃七一2)+。一1=0,即〃(p)=eP(e-2)+p-l=0.

e-2'

?.?〃(x)=e，(e-2)+x-l在R上單調(diào)遞增，〃⑷2/z(p).

q^p.

(3)v=x2-ax,7z(x)=2x-a.

???〃(x)=%2—分是［0,2］上的“￡(2)函數(shù)”，

〃(x+2)-3〃(x)=