樹德中學(xué)高高二上學(xué)期10月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一.單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合要求的.

1.已知直線/的方向向量為&=（L2,-2）,平面&的法向量為元=（2,4,陰），若///。，則相等于（）

1

A.5B.2C.-D.-4

2

【答案】A

【解析】

【分析】由線面平行得萬(wàn)，萬(wàn)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?//a,且直線/的方向向量為G=（L2,-2）,平面a的法向量為為=（2,4,加），

所以a_1_萬(wàn)，所以方?為=0,所以Ix2+2x4+(-2)xm=0,解得m=5.

故選：A.

2.已知Z=（2,3,l）,^=（1,-2,-2）,則￡在囚上的投影向量為（）

.--22

A.2bB.-2bC.-b7D.——b7

3

【答案】D

【解析】

【分析】利用投影向量公式進(jìn)行求解

g.b.(2,3,1)-(1,-2,-2)

2-6-2r2r

【詳解】------------b=-----b

Irf12+(-2)2+(-2)293

2

故苕在B上的投影向量為-耳尻

故選：D.

3.如圖，在四面體OABC中，M是棱。4上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N,P分別是BC,的中點(diǎn).設(shè)萬(wàn)彳=%,

麗=B，OC=c，則向量而可表示為（）

B

1一1-1一1一1-1一

A.—aT—bH—cB.一〃-1—b~\—c

444234

[-1T]-1一1一1一

C.—ClH—bH—CD.—ClH—bH—C

324344

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，分析即得解

【詳解】由題意，向量

—，1——■1--1--1—-―-1—■1—-1--1-1-1-

OP=-OM+-ON=-OM+-(OB+OC)=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c,

2224344344

故選：D

4.在直三棱柱ABC—45cl中，AC=3,BC=3,AB=342,A\=4,則異面直線與BG所成角的

余弦值為（）

169164

A.-----B.—C.—D.一

2525255

【答案】C

【解析】

【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定義，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線4。與

BQ的方向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與線線角的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)锳C=3,5C=3,A5=3jI,

所以=AB2,

所以

又因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直,

所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系c-盯Z,如圖所示

易得C（0,0,0）,6（0,0,4）,A（3,0,4）,5（0,3,0）,

所以祝=（―3,0,—4）,南=（0,-3,4）,

設(shè)異面直線AC與BG所成角為，，則

A^,BQ_|-4x4|

,16

COS6=|COST41C,BC；|=

而國(guó)5x525

所以異面直線4。與BCX所成角的余弦值為H.

故選：C.

5.已知三棱柱ABC-45cl的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,A在底面ABC內(nèi)的射影為AABC的中心，則

AB1與底面ABC所成角的正弦值等于

1R垃昱2

A.-D.----------D.-

33V3

【答案】B

【解析】

【詳解】由題意不妨令棱長(zhǎng)為2,如圖

A在底面ABC內(nèi)的射影為AABC的中心，故D4=空

3

由勾股定理得AD=JW=半

過(guò)與作用平面ABC,則/用AE為4片與底面ABC所成角，且與￡=冥5

3

如圖作AS，A3于中點(diǎn)s

:.A1s=6

AB[=J3+9=2-\/3

2A/6

，A片與底面ABC所成角的正弦值.士V2

,2省3

故答案選3

點(diǎn)睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過(guò)點(diǎn)作垂線構(gòu)造出線面角，然后計(jì)算出各邊長(zhǎng)度，在直角三角

形中解三角形.

6.在三棱錐尸—A3C中，R4,A3,AC兩兩垂直，。為棱尸。上一動(dòng)點(diǎn)，B4=AC=2,AB=3.當(dāng)5。

與平面R4C所成角最大時(shí)，A到直線3D的距離為（）

AB.桓C.D.3

11711

【答案】C

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出。（加,0,2-機(jī)），表達(dá)出現(xiàn)?與平面B4C所成角的正弦值，結(jié)合

0<相<2求出當(dāng)初=1時(shí)，與平面PAC所成角最大，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,B（0,3,0）,C（2,0,0）,P（0,0,2）,

設(shè)￡>（樞0,2-〃z）,0<m<2,則3￡>=（加,一3,2—加），

平面PAC的法向量為百=（0,1,0）,

設(shè)與平面PAC所成角的大小為，，

因?yàn)椤?lt;加〈2,所以當(dāng)m=1時(shí)，sin>=J：-取得最大值,

+11

兀

由于y=sinx在xe0,—上單調(diào)遞增，故此時(shí)與平面QAC所成角最大,

此時(shí)0（1,0,1）,BD=（1,-3,1）,ABBD=(O,3,O)(l,-3,l)=-9,

卜■(|BD|)「卜」Jl+9+j-11'

則點(diǎn)A到直線BD的距離為d=

CL

x

故選：c

7.如圖，在四面體ABCD中，M是AD中點(diǎn)，尸是氏0中點(diǎn).在線段AC上存在一點(diǎn)。，使得P?！ㄆ矫?/p>

AQ

BCD,則/的值為（

【答案】C

【解析】

【分析】取中點(diǎn)O,連接OP,OQ,利用線面平行的判定定理證明尸O//平面5CD.從而利用面面平行

的判定定理得平面「。。//平面BCD.再利用面面平行的性質(zhì)定理得OQ//CD,利用三角形的比例性質(zhì)即

可求解.

詳解】如圖所示，

取ATO中點(diǎn)。，連接。尸，0Q,：。為〃。中點(diǎn)，P為BM中點(diǎn)、，；.PO//BD.

又：6Du平面BCD,PO仁平面BCD,PO//平面BCD.

又PQ〃平面BCD,PQcPO=P,POu平面尸0Q,。。（=平面尸。。，，平面/5。。//平面3。。.

又OQu平面ACO,CDu平面ACD,平面POQA平面ACD=OQ,平面BCD。平面ACD=CD,

cc,fAQAOAM+MOc

...在A。中，擊=而=-^=3

故選：c.

8.在空間中，定義向量的外積：叫做向量少與5的外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件:

①G_L（萬(wàn)xB）,B_L（萬(wàn)xB）,且和萬(wàn)xB構(gòu)成右手系（即三個(gè)向量的方向依次與右手的拇指、食指、中

指的指向一致，如圖所示）；

②NXB的模x51=15||&|sinS,磅，（（a,b）表示向量a石的夾角）.

在正方體ABC。-AgGA中，有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

①西＞＜明=畫義詞；?（AB+AD）xA^^ABxA^+AbxA^；

③荏=通；④4J4GH=（荏*通）網(wǎng)-

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】①由圖結(jié)合外積定義分別計(jì)算|福義4。與|對(duì)X麗|可判斷正誤；②通過(guò)判斷

卜通+亞）義網(wǎng)與隰義瓶+法義刈是否相等可得選項(xiàng)正誤；③由向量外積定義可判斷正誤；④通

過(guò)判斷匕BCO-ABC5與（荏X礪）是否相等可判斷選項(xiàng)正誤；

【詳解】由題意，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a,

①由幾何知識(shí)得，△ABICABG。是全等的等邊三角形，且邊長(zhǎng)為缶

/.ZB^AC=ZDBC[=60°,ABX=AC=ADX=DB=BCX=缶，

AC

|AB,xAc|=JB^AIsinZB{AC=y/2axsflaxsin60°=s/3a~,

|畫南八瓦卜|國(guó)麗卜

xDfi|=xDfi|=|inBCi,DB=11in（180°-ZDBC；）

=-Jiax-Jiaxsin（180°—60°）=-J3a2,

|AXXAC|=|A^XDB|,①正確.

②由幾何知識(shí)得，ZCAAl=ZBAAl=ZDAAl=90°,AC==AB=AD=a,

|(AB+15)x^|=|ACxA4^|=|lc||^|sinACA\=缶?asin900=42a2,

又由圖可知加，衣，瓦5,麗*,

則(通+AD)xAAf為一個(gè)與麗同向且模長(zhǎng)為-Jia2的向量.

22

IABXA4,|=|ABl-|A41|sinAB,A4,=a,lADxA4j|=|AD|-lyL^lsinAD,A4j=a

又反上福配人工,BA1AB,BA±AA^,

則旗X甌，而X可分別為與蕭，麗向量同向且模長(zhǎng)為標(biāo)的向量.

設(shè)麗X麗=肩，ADxAA^=n,由向量加法法則可知正+3與而同向，

其模版+司=J(候+萬(wàn)J=y/m2+n2+2m-n=-Jia2，

則(通+而)*招=通*麗+而*呵，故②正確；

③AD卜|AB||AE)|sinABAD=a-asin90=a~,

|ADxAB|=|AD||AB|sinZBAD=aasm90=a2

A|ABxAD|=|ADxABj

...右手系叉乘具有方向，

ABxAD=-aA4,，

ADxAB-aA\，

ABxAD^ADxAB'③錯(cuò)誤；

V33故④錯(cuò)誤；

@ABCD-^clDi=?-(ABxAZ)).cq=-aA^CQ=-a,

故選：B.

二.多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.空間向量萬(wàn)=(cos。,sin。,0),5=(cos。,sin夕,0),6,0wR,則下列選項(xiàng)中可能成立的是()

一一r1

A.\a+b\=\a-b\B.\a-b|=1

C.(iz+/?)?(iz—Z?)=1D.a-b=2

【答案】AB

【解析】

【分析】利用坐標(biāo)進(jìn)行向量線性運(yùn)算，并結(jié)合三角恒等變換計(jì)算相應(yīng)數(shù)量積和模長(zhǎng)，從而判斷出答案.

【詳解】.因?yàn)镴=(cos0,sin^,0),^=(cos0,s因0,0),夕eR，

所以同=A/COS2^+sin20=1，網(wǎng)=^cos2^9+sin2(p=1,

G+B=(cosd+cosasine+sino,0),a-b=(cos0-cos(p,sin6(-sin^>,0),

忖+.1=(cos0+cos0了+(sing+sin0『=2+2(cos^cos(p+sin=2+2cos(O-(p),

收_可一=(cos6-cos0y+(sin6—sin°)2=2-2(cosOcoscp+sin^sin^?)=2-2cos(O-(p),

若6>=°+',此時(shí)卜+可~=|萬(wàn)=2,故歸+可=|萬(wàn)一A可能正確；

若，=0+],此時(shí),―B『=i,可=i,B可能正確；

(商+—5)=(cos0+cos。,sin6+sin。,0)-(cos0-cos。,sin8—sin°,0)

=cos2^一cos2。+sin20-sin2。=(co^6++sin?6)—(cos2^+sin2^=1-1=0,

故C一定不正確；

alb同?WcosR,B)cos(15)?[1,1],故D一定不正確.

故選：AB

10.在空間直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是()

A.點(diǎn)P(l,2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,3)

B.點(diǎn)Q(l,0,2)在平面Qxz面上

c.z=i表示一個(gè)與坐標(biāo)平面。孫平行的平面

D.若平面C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(Ll,0),且以而=(1,2,-1)為法向量，R(x,y,z)是平面a內(nèi)的任意一點(diǎn)，則有

x+2y—z—3—0

【答案】BCD

【解析】

【分析】A項(xiàng)，通過(guò)計(jì)算即可求出關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；B項(xiàng)，通過(guò)點(diǎn)。的y坐標(biāo)即可得出

點(diǎn)在面上；C項(xiàng)，通過(guò)分析Z=1表示的意義即可得出結(jié)論；D項(xiàng)，根據(jù)平面所過(guò)的點(diǎn)和法向量，即可求出

平面的一般方程.

【詳解】由題意，

對(duì)A,點(diǎn)p（l,2,3）關(guān)于坐標(biāo)平面0yz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2,3）,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,點(diǎn)e（l,0,2）的y坐標(biāo)為0,則點(diǎn)Q（l,o,2）在平面Oxz上,B正確；

對(duì)于C,z=l,則橫、縱坐標(biāo)為任意值,z=l表示一個(gè)與坐標(biāo)平面。孫平行的平面,C正確；

對(duì)于D,平面「經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l』,。），且以為=。,2,-1）為法向量，H（x,y,z）是平面a內(nèi)的任意一點(diǎn)，則平

面方程：l（x—l）+2（y—1）—z=0,即龍+2丫一z—3=0,D正確.

故選：BCD.

11.在正三棱柱A3C—4片和中，43=44=1；點(diǎn)M是線段A片的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足

BP=ABC+juBB^,其中；le[0,1],〃e[0,1],則（）

A.當(dāng)〃=0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得

B.當(dāng)X時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)尸，使得AP，3P

C,當(dāng)X+〃=g時(shí)，有BG_LAP

D.當(dāng);1=0時(shí)，過(guò)尸且與直線A3和直線81G所成角都是60。的直線有四條

【答案】BC

【解析】

【分析】取AC中點(diǎn)為。，連接08,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，表示

出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求解，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】取AC中點(diǎn)。，連接08,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以05,0。為羽V軸，

以過(guò)點(diǎn)。且與A4平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A]。,-,,。],B[,o,oj,c]o,5,o；G1O,5，I]

1}

M

40

又麗=2反+〃璃,其中/le[0,1],〃e[0,1],則尸三—望，5，〃，2e[0,1],//e[0,1],

對(duì)于當(dāng)〃=。時(shí)，小!一孚”"T華，h],

A,A/3_]_1

丁一I2

732A

-1

若B]P〃BM,則瓦M(jìn)兩，所以二|-無(wú)解,

1

一彳42

所以當(dāng)〃=0時(shí)，不存在點(diǎn)尸，使得用P//BM,錯(cuò)誤;

、

對(duì)于B,當(dāng)丸=工時(shí),V31

---

244

7

若AP~L3P,則AP_LBP,所以AP,3P=0,所以]——Jx-^-+—x—+//(//—1)=0,

所以=解得〃=0或〃=1,都滿足〃e[0,1],所以當(dāng)％時(shí)，有且僅有兩個(gè)點(diǎn)尸，使得

\PLBP,正確;

(y/3V32A1)

對(duì)于C,BC[=D而二--------,一+一,〃,若5G，AP,則南，衣,

222J

所以南?通=0,所以+〃x1=o,化簡(jiǎn)得彳+〃=萬(wàn)，正確;

2,0,〃，AB=/3。)

對(duì)于D,當(dāng)；1=0時(shí)，P(2J

7

1

設(shè)過(guò)尸的直線方向向量為溫=（。力,c）,由題意|cosn,AB|=|cosn,gG|=cos600

2

q+4

n-AB\g,所以2a+-b

所以市（二邛司222j_，

2

+b2+c2yja2+b-+c22

a=0

解得,c=0

Z?GR

賦值易得過(guò)P的直線方向向量為E=（0,1,0）或3=（1,0,、歷）或3=（1,0,—3卜

由每一個(gè)方向向量對(duì)應(yīng)一條直線，則過(guò)尸且與直線和直線與￡所成角都是60。的直線有三條，錯(cuò)誤.

故選：BC

12.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,6C=4,E為3c的中點(diǎn)，將△R4后沿AE向上翻折到的

位置，連接PCPD,在翻折的過(guò)程中，以下結(jié)論正確的是（）

P⑻

A.四棱錐P-AECD體積的最大值為2&

B.的中點(diǎn)廠的軌跡長(zhǎng)度為叵

2

C.ERCD與平面PAO所成的角相等

D.三棱錐P-AEE）外接球的表面積有最小值16〃

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,當(dāng)平面APE,平面AECD時(shí)，四棱錐P-AECD的體積取得最大值，再計(jì)算可判斷;

對(duì)于B,通過(guò)E4的中點(diǎn)G的軌跡來(lái)判斷PD的中點(diǎn)廠的軌跡的情況；對(duì)于C,利用線面角的知識(shí)可判

斷；對(duì)于D,分別從外接球的半徑及球心可求解.

P?

對(duì)于A,易知梯形AECD的面積為6,AE=2j5,直角VAPE斜邊AE上的高為及.當(dāng)平面APE,平

面AECD時(shí)，四棱錐P—AECD的體積取得最大值』x6x6=2J5,A正確.

3

對(duì)于B，取E4的中點(diǎn)G,連接GQGE,bC,則G￡EC平行且相等，四邊形ECVG是平行四邊形，所

以點(diǎn)E的軌跡與點(diǎn)G的軌跡形狀完全相同.過(guò)G作AE的垂線，垂足為〃,G的軌跡是以“為圓心,

“G=也為半徑的半圓弧，從而尸。的中點(diǎn)廠的軌跡長(zhǎng)度為叵,B錯(cuò)誤.

22

對(duì)于C,由四邊形EC/G是平行四邊形，知EC〃FG,則EC〃平面B4O，則E，C到平面B4D的

距離相等，故PE,。與平面HV)所成角的正弦值之比為CD:PE=1:1,C正確.

對(duì)于D,^APE外接圓。］的半徑為逝,q為AE的中點(diǎn)，直角VADE外接圓02的半徑為2,Q為仞的中

點(diǎn)，AE是圓。1與圓。2的公共弦，設(shè)三棱錐P—AED外接球的球心為。，半徑為R,則

R=J|QE『+|Q0『..2.因?yàn)樗訰.2,所以球。表面積的最小值為16肛。正確.

故選：ACD

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量向=(0,-1,1),B=(2,2,1)*貝!J(萬(wàn)+B)3=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式求解即可.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)=(0,—1,1),5=(2,2,1),所以伽+1=(2,L2),

所以(/+B)?萬(wàn)=2x0+lx(—l)+2xl=l.

故答案為：1.

14.為了測(cè)量一斜坡的坡度，小明設(shè)計(jì)如下的方案：如圖，設(shè)斜坡面夕與水平面「的交線為，，小明分別

在水平面a和斜坡面夕選取46兩點(diǎn)，且AB=7,A到直線/的距離A&=3,3到直線/的距離

B】B=4,A4=2G，則該斜坡的坡度是.

【答案】73

【解析】

【分析】由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解.

【詳解】設(shè)斜坡的坡角為。，由題意知福與取的夾角為8,

因?yàn)榉?M+艱+至，所以荏2=(磯+病+麗)2=離2+淄2+碗2+2網(wǎng)?電，

即49=9+12+16+2X3X4COS8,所以cos￡=g,因?yàn)?。是銳角，所以tan，=百.

故答案為：A/3

15.圖，已知正方體—的棱長(zhǎng)為1，E,F,G分別是棱A4，BC，GA的中點(diǎn)，設(shè)/是該

正方體表面上的一點(diǎn)，若麗=工麗+y西x,yeR),則點(diǎn)加的軌跡所形成的長(zhǎng)度是.

【答案】3夜

【解析】

【分析】首先確定點(diǎn)凹的軌跡，再求長(zhǎng)度.

【詳解】，=“在平面EFG上，

取42，AB，CC］的中點(diǎn)N,〃,P,則點(diǎn)以的軌跡是正六邊形即EPGN,軌跡長(zhǎng)度是正六邊形的周

長(zhǎng)，l=6EN=342-

故答案為：372

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定〃在平面EbG上，并能作出平面EbG與正方體的交線.

16.已知點(diǎn)尸在直徑為2的球面上，過(guò)點(diǎn)尸作球的兩兩垂直的三條弦PAP6PC,若=則

\PA\+\PB\+\PC\的最大值為.

【答案】273

【解析】

【分析】將口4,依,PC放置在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，然后根據(jù)長(zhǎng)方體外接球的直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)建立方程，三角

換元，最后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解最值.

【詳解】因?yàn)镻AM,PC兩兩垂直，點(diǎn)尸在直徑為2的球面上,

所以以PA,P6PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為該球的一條直徑,

^\PA\=a,\PB\=b,\PC\=c,

所以4+。2+,2=22=4,X|B4|=|PB|,所以a=b,所以2a?+c2=4,

故可令au應(yīng)sin。，c=2cos。,

則3閥+因=%+"2鬲"c°/2氐m⑶°),其中嘰考,

因?yàn)?&sin(。+°)<，所以\PA\+\PB\+1尸C|的最大值為2后.

故答案為：2石.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接幾何體及利用三角函數(shù)求最值，根據(jù)已知條件構(gòu)造長(zhǎng)方體，借助

長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑列式計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵.

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知在空間直角坐標(biāo)系?！獙Oz中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,l),B(2,2,0),

C(0,2,l),P(3,4,-l)

(1)求點(diǎn)尸到直線A3的距離.

(2)判斷點(diǎn)A8,C,P是否共面，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)1

(2)點(diǎn)不共面，理由見解析

【解析】

【分析】(1)利用空間向量點(diǎn)到線的距離公式即可得解;

(2)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用共面向量定理即可判斷.

【小問1詳解】

由題意知荏=(0,2,—1),AP=(l,4,-2),

8+22^/105

所以cosA一詞通—

(A5,叫?74+1xVl+16+421

所以點(diǎn)尸到直線AB的距離d=二1?

【小問2詳解】

因?yàn)樵?(0,2,—1),AP=(l,4,-2),AC=(-2,2,0),

—22=1

AP=ptAB+2AC貝卜—〃=-2,無(wú)解，即不存在〃使得AP,AB,AC共面,

24+2%=4

故點(diǎn)A,5cp不共面.

18.如圖，平行六面體ABC。-所有棱長(zhǎng)都為1,底面A3CD為正方形,

ZAXAB=ZA^AD=60°.

(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)度.

(2)計(jì)算AG與夾角的余弦值.

【答案】(1)6

(2)

10

【解析】

LIUL1

【分析】(I)表達(dá)出AG,即可求出對(duì)角線AG的長(zhǎng)度；

(2)設(shè)出AG與夾角，寫出AC1與A3夾角的余弦表達(dá)式，即可求出夾角的余弦值.

【小問1詳解】

由題意及圖得，AC；=AB+AD+AA；,

AC1=^AB+AD+AA^^AB'+M5'+AAX+2ABAD+2ADAAi+2AAi-AB

=AB2+AD+A41+21Al?I-IADIcos90°+21ADI-Icos600+21A4f|?IABIcos60°

=l+l+l+0+l+l=5,

所以卜逐，即AG=6.

【小問2詳解】

由題意及圖得，

設(shè)AC】與AB夾角為，,

(A5+AD+A^)AB|AB-AB+AD-AB+A^-AB|

|l+0+lxlxcos60°|3#)

V5xl10

19.如圖.在四棱錐P—A5CD中，底面ABC。是矩形，A3=2A。=2,，平面A3CD,后為尸。中

點(diǎn)，且E4=l.

P

(1)求證：〃平面ACE；

(2)求直線BE與平面PCD所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵空

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由線面平行的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.

【小問1詳解】

連接6D，交AC于點(diǎn)。，連接EO,

:。為加＞中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn),/.EO//PB.

又：EOu平面ACE,仁平面ACE,P3//平面ACE.

【小問2詳解】

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（0,0,0）,C（2,l,0）,5（2,0,0）,尸（0,0,1）,D（0,l,0）,

則赤PD=（0,l,-l）,PC=（2,l,-l）,

n-PD=y-z=0

設(shè)平面PCD的法向量為〃=（x,y,z）,則＜,令得E=（o』,l）.

nPC=2x+y-z=0

兀

設(shè)直線箱與平面PCD所成角為e,且o,-

1

/.sin。=cos?**cos0=A/1~sin20-2也,

33

即直線BE與平面PCD所成角的余弦值為巫.

3

20.如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=BC=CD=-AD=2,現(xiàn)以AC為折痕把VA3C折

2

起，使點(diǎn)3到達(dá)點(diǎn)P的位置，且24,CD.

（1）證明：面面ACD；

7尺PM

（2）若M為尸D上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸到面的距離為1,求——的值及平面MAC和平面ZMC夾

5PD

角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解;

￡275

(2),---

25

【解析】

【分析】（1）先證AC_LCD,利用線線垂直證線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)可判定面面垂直;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離及二面角即可.

【小問1詳解】

如圖所示，在梯形ABCD中，取AO中點(diǎn)N,連接CN,

易知四邊形ABOV為平行四邊形，可得CN=AN=DN,BPAC±CD,

又24,CD,PAC\AC=A,PA,AC?平面PAC,

所以CD,平面PAC,

因?yàn)镃Du平面ZMC,

所以面上4。_1_面4?！?gt;；

【小問2詳解】

取AC的中點(diǎn)。，則ON//CD=>ON，AC,

因?yàn)閰?尸。，所以POLAC,結(jié)合（1）結(jié)論，

可以以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（瘋0,0）,q-后0,0）,N（0,1,0）,尸（0,0,1）,0卜石,2,01

04=（273,0,0）,PD=（-&2,-l）,AP=（-73,0,1）,

設(shè)翳=尢）40』,

即兩1=2而=［耳,24,,汨=*+兩'=卜回-石,22』-2）,

設(shè)面ACM的一個(gè)法向量為m=（%,y,z）,

CA-m=2Gx=0

則有1——./rr\,、，令y=/_lnx=0,z=2/l,

AM-m=^-V32-v3jx+22j+(l-2)z=0

\m-PM\222^/5.1

即而=(0,2—1,24),則點(diǎn)P到面ACM的距離為d=-rn—=y-n2=e，即

\m\^(2-l)2+422

PM_1

PD

易知平面ACD的一個(gè)法向量可為九=（0,0,1）,

設(shè)平面M4c和平面ZMC夾角為。，易知訪=

2A/5

所以cosa=|cos^m,而)

"V.

21.如圖，在斜三棱柱A3C—4與G中，AC=BC,。為A3的中點(diǎn)，口為4用的中點(diǎn)，平面

451G,平面A3及4,異面直線BG與A及互相垂直.

（1）求證：平面&oc//平面；

（2）若CG與平面的距離為X,AlC=AB1=6,三棱錐A—AC。的體積為V，試寫出V關(guān)于

x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)CG與平面的距離為多少時(shí)，三棱錐A-ACD的體積取得最大值？

并求出最大值.

【答案】⑴證明見解析；⑵尸＞,（。＜“＜6）；⑶，=3"%=6.

【解析】

【分析】(1)通過(guò)線面平行證明面面平行；

(2)找到三棱錐合適的底和高，并求出底和高關(guān)于x的表達(dá)式，從而求出體積的表達(dá)式;

(3)求出表達(dá)式之后，利用函數(shù)思想即可求解體積的最大值，以及此時(shí)了的值.

【詳解】(1)斜三棱柱ABC—A與G中，四邊形A3用A是平行四邊形，且。為的中點(diǎn)，2為44

的中點(diǎn)，

所以40/且4。=8。，所以四邊形ADBD］為平行四邊形，

所以

因?yàn)槠矫鍮￡>iG,25u平面BD］G，

所以4。//平面BRC；

連接。2,如圖所示：

C

所以。2//A4//C￡,且。0=AA=CG，所以四邊形。4G。為平行四邊形，

所以。C//2C，且。c.平面〃Gu平面BAG，所以。c//平面5。。］,因?yàn)?/p>

AjDQDC=D,A。,DCu平面ADC,

所以平面4。。//平面BAG

(2)因?yàn)锳C=5C,。為AB的中點(diǎn)，所以CDLAB,

因?yàn)槠矫?31G，平面AB4A,

所以平面ABC,平面且平面ABC口平面ABB1A=A3,CDLAB,CDu平面ABC,

所以CD,平面A54A，。6//平面45與4，

所以Cq與平面ABB^的距離x=CD,

因?yàn)锳Du平面A34A，所以CD，A。，中，AC=6,所以40=136—f,

（0<%<6）,所以BQ=J36-九2

因?yàn)镃D,平面A3耳4，則C[。]，平面，A3]U平面A53]A，所以62,4男，且

ABX±BCl,CQinBC{-C；,CXDX,BC【u平面BDg,

所以AB1，平面BD?,且BD[U平面BDG,

所以A瓦，5。，記交點(diǎn)為E,則三角形AEB為直角三角形,

AEABBE2,------

因?yàn)锳BQIE~AABE,且==Q=A與=6,BD[=J36-爐,

Dy乜Uy乜D\11

所以用E=2,*=口36—爐,S鳴ED、=；B]E-D[E=g氐二”

所以844)=835。=3SBED=,36-.2,

△AjAZJADDiU|△￡>!tLL)\，

=-S,-CD=X^36~X2>即X，36-X2x

所以匕「A8AD

33J3，、

得:y=xJ3「2=,36；一4,(0<x<6),令0(%)=36%2—f,所以當(dāng)％2=i8.

(3)由(2)

X=3行時(shí),。(％)3=182,此時(shí)ymax=6,

所以當(dāng)CG與平面43及4的距離x=30時(shí)，三棱錐A-AC。的體積取得最大值，最大值為6.

【點(diǎn)睛】本題目第一小問是面面平行的證明，應(yīng)用定理即可，比較基礎(chǔ)；

第二問題目難度較大，需要找到各線段之間的位置關(guān)系以及長(zhǎng)度關(guān)系，求三棱錐的體積，確定合適的底面

和高，并求出底面積和高關(guān)于左的表達(dá)式，涉及到線面垂直的證明，相似比例等內(nèi)容；

第三問根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法即可解決.

22.我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.如圖，在菱形A3CD中，

ZBAD=60°,將△AB￡）沿BD翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)尸處.E,F,G分別為3D,PD,3c的中點(diǎn)，且

FG是尸。與