專(zhuān)題3：因數(shù)與倍數(shù)（小升初復(fù)習(xí)講義）

2024年小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題：第一章數(shù)的認(rèn)識(shí)

（高頻考點(diǎn)梳理+重難點(diǎn)講解+同步練習(xí)+答案）

置高頻考點(diǎn)梳理

因數(shù)和倍數(shù)的意義

t2、3、5的倍數(shù)特征

J奇數(shù)和偶數(shù)

|質(zhì)數(shù)、合數(shù)與

分解質(zhì)因數(shù)

最大公因數(shù)和

最小公倍數(shù)

n高頻考點(diǎn)>因數(shù)和倍數(shù)的意義

【知識(shí)梳理】

1、在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)（或者說(shuō)余數(shù)為0）,我

們就說(shuō)除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。

例如：

124-2=6-2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)。

2X6=12-2和6是12的因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。

2、因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在，不能說(shuō)誰(shuí)是因數(shù)，也

不能說(shuō)誰(shuí)是倍數(shù)，應(yīng)該說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)或誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。

倍數(shù)和因數(shù)都是自然數(shù)（一般不包括0）,不能是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

3、一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)

是它本身。

4、一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大

的倍數(shù)。

一個(gè)非0自然數(shù)既是它本身的因數(shù)，也是它本身的倍數(shù)。

5、表示一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法：列舉法；集合表示法。

臂|重難點(diǎn)講解

【例11如果一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和它的最小倍數(shù)的積是49,那么這個(gè)

數(shù)是（）。

【解題分析】

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身，已知這個(gè)數(shù)的最大因

數(shù)和最小倍數(shù)的積是49,而7X7=49,則這個(gè)數(shù)是7。

【答案】7；

［例2］把24個(gè)玻璃杯分別裝在盒子里，要使每個(gè)盒子中玻璃杯的

數(shù)量同樣多，且剛好可以全部裝完，一共有（）種不同的裝法。

【解題分析】

24的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18,36；裝法有：

（1）24=1X24,①每盒24個(gè)，裝1盒，因?yàn)檫@個(gè)裝法不能體現(xiàn)每

個(gè)盒子裝得同樣多，所以不可以這樣裝；②每盒裝1個(gè)，裝24盒；

（2）24=2X12,③每盒裝12個(gè)，裝2盒；④每盒裝2個(gè)，裝12盒；

（3）24=3X8,⑤每盒裝8個(gè)，裝3盒；⑥每盒裝3個(gè)，裝8盒;

（4）24=4X6,⑦每盒裝6個(gè)，裝4盒；⑧每盒裝4個(gè)，裝6盒;

所以一共有7種裝法。

【答案】7；

【例3］古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究自然數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一些珍貴的

數(shù)字。這些數(shù)字有著奇特的性質(zhì)：這個(gè)數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本

身除外）相加之和，他們稱(chēng)這個(gè)數(shù)是“完全數(shù)”。例如：6有四個(gè)因數(shù)

1、2、3、6,而1+2+3=6恰好是除6本身以外所有因數(shù)。所以6

就是“完全數(shù)”。下面的數(shù)中是“完全數(shù)”的是（）。

A、16B、21C、28D、32

【解題分析】

28的因數(shù)有1、2、4、7、14、28,除去它本身28外，其余的5個(gè)數(shù)

相加，1+2+4+7+14=28,也恰好等于28本身。

【答案】C；

I小升初

復(fù)習(xí)小試身手

【練習(xí)1】已知x=2X3X8,則x的全部因數(shù)有（）個(gè)。

A、3B、4C、8D、10

【練習(xí)2］媽媽去超市買(mǎi)東西，付給售貨員的錢(qián)中5元和1元的張數(shù)

相同，媽媽付給售貨員的錢(qián)可能是（）元。

A、54B、46C、35D、27

【練習(xí)3】如果一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)有3個(gè)因數(shù)，個(gè)位上的數(shù)有

4個(gè)因數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)一共有（）個(gè)。

A、1B、2C、3D、4

2高頻考點(diǎn)>I2、3、5的倍數(shù)特征

【知識(shí)梳理】

1、自然數(shù)中個(gè)位上是0,2,4,6,8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

2、個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。

3、一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。

4、同時(shí)是2和3的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0,2,4,6,8,且各個(gè)數(shù)

位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；

5、同時(shí)是3和5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)，各個(gè)數(shù)位上

的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；

6、同時(shí)是2和5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0的數(shù)；

7、同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字

之和是3的倍數(shù)。

叵重難點(diǎn)講解

【例4】如果一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，那么它們的

差一定是（）的倍數(shù)。

【解題分析】

如果一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同時(shí)，它們的差的個(gè)位上

是0。根據(jù)5的倍數(shù)特征，個(gè)位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。所以它

們的差一定是5的倍數(shù)。

【答案】5；

【例5】如果一個(gè)四位數(shù)526口既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，則口

最大填（），口最小填（）。

【解題分析】

如果一個(gè)四位數(shù)既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，那么個(gè)位上是0,2,

4,6,8,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。因?yàn)?+2+6=13,

3的倍數(shù)是36,9,12,15,18,21,……則這個(gè)四位數(shù)526口個(gè)位

上的數(shù)字可以是15—13=2,18-13=5,21-13=8o所以口里的數(shù)

字最大是8,最小是2o

【答案】8；2；

[例6]53至少要減去（）才是2的倍數(shù)；至少要加上（）

才能既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)。

【解題分析】

根據(jù)2的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)的個(gè)位是0、2、4、6、8,這個(gè)數(shù)就是

2的倍數(shù)。53的個(gè)位是3,3-1=2,所以53至少要減去1才是2的

倍數(shù)。

根據(jù)3和5的倍數(shù)的特征，一個(gè)數(shù)各位數(shù)的和是3的倍數(shù)，且個(gè)位是

0或5,這個(gè)數(shù)就是3和5的倍數(shù)。53的各位數(shù)的和為5+3=8,8不

是3的倍數(shù)。要保證個(gè)位是0或5,53+7=60,而6+0=6,所以54

至少要加上7才能既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)。

【答案】1:7

【例7］按要求寫(xiě)數(shù)。

(1)3的倍數(shù)中最小的兩位奇數(shù)是()。

(2)既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的最大的三位數(shù)是()。

(3)十位和個(gè)位上的數(shù)相同，且同時(shí)是2和3的倍數(shù)的兩位數(shù)是

()o

【解題分析】

(1)3的倍數(shù)是3,6,9,12,15,18,21,……其中最小的兩位奇

數(shù)是15；

(2)同時(shí)是2和5的倍數(shù)的特征為個(gè)位上是Oo所以這個(gè)三位數(shù)的

個(gè)位是0,十位和百位要盡可能的大，所以最大的三位數(shù)是990；

(3)同時(shí)是2和3的倍數(shù)的特征位個(gè)位上是0、2、4、6、8,且各個(gè)

數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。還要滿(mǎn)足這個(gè)兩位數(shù)的十位和個(gè)位上

的數(shù)相同，那么這個(gè)最小兩位數(shù)是33。

【答案】(1)15；(2)990；(3)33；

小試身手

【練習(xí)1】一臺(tái)空調(diào)扇的價(jià)格是口2口元，這個(gè)三位數(shù)既是3的倍數(shù),

又是5的倍數(shù)，并且是最大的一個(gè)，這臺(tái)空調(diào)扇()元。

A、925B、920C、825D、820

【練習(xí)2】已知一個(gè)四位數(shù)是521口。

(1)要使它是3的倍數(shù)，則口里最小能填()；

(2)要使它同時(shí)是2和5的倍數(shù)，則口里只能填()，

(3)要使它同時(shí)是2和3的倍數(shù)，則口里最小能填()o

3高頻考點(diǎn)

【知識(shí)梳理】

1、自然數(shù)按是否是2的倍數(shù)，可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩大類(lèi)。

偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)。

奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)。

0是最小的偶數(shù)。

1是最小的奇數(shù)

2、奇偶性

奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù);

奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)。

|§重難點(diǎn)講解

【例8】如果三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是69,這三個(gè)奇數(shù)分別是多少？

【解答】

694-3=23

23+2=25

23-2=21

所以這三個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別是21、23、25o

【例9】有一個(gè)三位數(shù)，它是偶數(shù)，并且這個(gè)三位數(shù)同時(shí)是3和5的

倍數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)最大是（）。

【解題分析】

一個(gè)三位數(shù)既是偶數(shù)又同時(shí)是3和5的倍數(shù)，那么這個(gè)三位數(shù)同時(shí)是

2、3、5的倍數(shù)。根據(jù)2、3、5倍數(shù)的特征可知，這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位

上是0。十位和百位要盡可能的大，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的

倍數(shù)。所以十位和百位都取9,則這個(gè)三位數(shù)最大是990。

【答案】990；

【例10］如果x是奇數(shù)，y是偶數(shù)，那么下面選項(xiàng)中，計(jì)算結(jié)果一定

是奇數(shù)的是（）。

A、xyB、x+2yC、xy2D、2x+y

【解題分析】

選項(xiàng)A：x是奇數(shù)，y是偶數(shù),奇數(shù)義偶數(shù)=偶數(shù),A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：2y是偶數(shù)。因?yàn)閤是奇數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所以x+2y

是奇數(shù)，B正確；

選項(xiàng)C：y是偶數(shù)，y2即yXy,偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，則y2是偶數(shù)。

因?yàn)閤是奇數(shù)，奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù),所以xy2是偶數(shù)，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：2x是偶數(shù)，y是偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù),則2x+y是偶數(shù),

D錯(cuò)誤。

【答案】B；

m小試身手

【練習(xí)1】從0、2、3三張卡片中任意選兩張擺一個(gè)兩位數(shù)，下面說(shuō)

法正確的是（）o

A、這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的可能性更大。

B、這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的可能性更大。

C、這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)和偶數(shù)的可能性一樣大。

【練習(xí)2］最大的兩位偶數(shù)和最小的兩位奇數(shù)的積是（）。

A、990B、1078C、1099

4匾殘布〉質(zhì)數(shù)、合數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)

【知識(shí)梳理】

1、一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)

（或素?cái)?shù)）。

最小的質(zhì)數(shù)是2。

2、一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做

合數(shù)。

最小的合數(shù)是4。

1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

3、質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)

數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

4、分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分

解質(zhì)因數(shù)。

例如：30=2X3X5,這個(gè)過(guò)程就叫分解質(zhì)因數(shù)，其中2、3、5就是

30的質(zhì)因數(shù)。

［嘲重難點(diǎn)講解

【例11】?jī)?yōu)優(yōu)今年的年齡是一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)既是奇數(shù)也是合

數(shù)，十位上的數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。那么優(yōu)優(yōu)今年（）歲，至少

再過(guò)（）年，她的年齡數(shù)是5的倍數(shù)。

【解題分析】

個(gè)位上的數(shù)既是奇數(shù)也是合數(shù)，在一位數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)是

90

十位上的數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，在一位數(shù)中既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)是

20

所以?xún)?yōu)優(yōu)今年29歲。

5的倍數(shù)的特征是個(gè)位上是0或5,離29最近的5的倍數(shù)是30,30

—29=1年，所以至少再過(guò)1年，她的年齡數(shù)是5的倍數(shù)。

【答案】1;29；

【例12］已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是27平方厘米，它的長(zhǎng)是合數(shù)，寬

是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

【解答】

已知長(zhǎng)方形的面積是27平方厘米，它的長(zhǎng)是合數(shù)，寬是質(zhì)數(shù)。

將27分解質(zhì)因數(shù)得到：27=3X9或27=1X27。

因?yàn)殚L(zhǎng)是合數(shù)，寬是質(zhì)數(shù)，所以長(zhǎng)是9厘米，寬是3厘米。

所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：

（9+3）X2

=12X2

=24（厘米）

答：這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24厘米。

【例13】把48顆巧克力平均分給若干個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分到的

巧克力大于1顆，小于48顆。一共有多少種不同的分法？

【解答】

每個(gè)小朋友分到的巧克力大于1顆，小于48顆。

48=1X48

=2X24

=3X16

=4X12

=6X8

答：一共有8種不同的分法。

m小升初

?復(fù)習(xí)小試身手

【練習(xí)1】“任意大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和?！边@就是著

名的哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。下

列三個(gè)算式中，符合這個(gè)猜想的是（）o

A、12=1+11B、20=13+7C、19=17+2

【練習(xí)2】已知20以?xún)?nèi)的3個(gè)質(zhì)數(shù)x、y、Z,使得乂+丫=2成立的不

同質(zhì)數(shù)算式一共有（）個(gè)。

5高頻考點(diǎn)>I最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)

【知識(shí)梳理】

1、最大公因數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個(gè)叫作這

幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

2、用“短除法”求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

先用這幾個(gè)數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)同時(shí)去除這幾個(gè)數(shù)，直到所得的商互質(zhì)為

止，再將所有的除數(shù)相乘。

3、最小公倍數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個(gè)叫作這

幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

4、用“短除法”求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)

方法與求”兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)”的短除過(guò)程相同，只是求最小公倍

數(shù)，只需要把所有的除數(shù)和商都相乘即可。

回重難點(diǎn)講解

【例14】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是8,最小公倍數(shù)是48,則這兩個(gè)數(shù)可

能是（）0

A、16和28B、12和28C、16和24

【解題分析】

選項(xiàng)A：

2|1628

2|814

47

16和28的最大公因數(shù)是2X2=4,

最小公倍數(shù)是2X2X4X7=112,A錯(cuò)。

選項(xiàng)B：

12和28的最大公因數(shù)是2X2=4,

最小公倍數(shù)是2X2X3X7=84,B錯(cuò)。

選項(xiàng)C：

所以16和18的最大公因數(shù)是2X2X2=8,

最小公倍數(shù)是

2X2X2X2X3=48,C正確。

【答案】C；

【例15］把一個(gè)長(zhǎng)45cm,寬30cm,高15cm的長(zhǎng)方體木塊分割成若

干個(gè)完全相同的小正方體木塊，正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)是（）cm。

A、25B、15C、12D、10

【解題分析】

由題意可知，要想求正方體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)，也就是求15、30和45的最

大公因數(shù)。

51153045

g|369-

123

15、25和45的最大公因數(shù)是3X5=15

所以正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)是15cm。

【答案】B；

【例16】同學(xué)們排隊(duì)做操，每行站的人數(shù)一樣多，每行站18個(gè)人或

每行站24個(gè)人，最后都剩下5個(gè)人，至少有（）個(gè)同學(xué)排隊(duì)做

操。

【解題分析】

由題意可知，每行站18個(gè)人或每行站24個(gè)人，最后都剩下5個(gè)人,

也就是求18和24的最小公倍數(shù)，再加上剩下的5人，可得總?cè)藬?shù)。

2|1824

3|912

34

18和24的最小公倍數(shù)是2X3X3X4=72

72+5=77（個(gè)）

所以至少有77個(gè)同學(xué)排隊(duì)做操。

【答案】77；

卜、升初小試身手

I復(fù)習(xí)

【練習(xí)11把兩根長(zhǎng)度分別為24厘米和36厘米的絲帶剪成若干根長(zhǎng)

度一樣的短絲帶，并且都沒(méi)有剩余，則每根短絲帶最長(zhǎng)是（）厘

米。

【練習(xí)2］老師準(zhǔn)備把一些糖果分給小朋友吃，平均每個(gè)小朋友分9

顆或12顆，都多2顆，這些糖果至少有（）顆。

A、36B、38C、40D、42

參考答案

n高頻考點(diǎn)>I因數(shù)和倍數(shù)的意義

【練習(xí)a

【解題分析】

x=2X3X8=48

48的因數(shù)有：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48,共10個(gè)。

【答案】D；

【練習(xí)2】

【解題分析】

因?yàn)?元和1元的張數(shù)相同，5+1=6,所以媽媽付給售貨員的錢(qián)即

是6的倍數(shù)。根據(jù)題意，54:6=9,選A。

【答案】A；

【練習(xí)3】

【解題分析】

10以?xún)?nèi)的數(shù)中，1的因數(shù)只有1個(gè)；2、3、5、7的因數(shù)分別有2個(gè);

4、9的因數(shù)分別有3個(gè)；6、8的因數(shù)分別有4個(gè)。

因?yàn)槭簧系臄?shù)有3個(gè)因數(shù)，所以十位上的數(shù)可能是4或9。

個(gè)位上的數(shù)有4個(gè)因數(shù)，所以個(gè)位上的數(shù)是6或8。

則這樣的兩位數(shù)可能是46、48、96、98,一共有4個(gè)。

【答案】D；

2>I2、3、5的倍數(shù)特征

【練習(xí)11

【解題分析】

這個(gè)三位數(shù)既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，那么個(gè)位一定是0或5。

當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，百位最大是7,這個(gè)三位數(shù)是720,720是3的倍數(shù)；

當(dāng)個(gè)位是5時(shí)，5+2=7,3的倍數(shù)是3、6、9、12、15、18、……而

15-7=8,所以百位最大是8,這個(gè)三位數(shù)是825。

所以，這臺(tái)空調(diào)扇的價(jià)格是825元。

【答案】C；

【練習(xí)2】

【解題分析】

(1)根據(jù)3的倍數(shù)的特征，要使四位數(shù)521口是3的倍數(shù)，則各位

數(shù)字的和是3的倍數(shù)。已知這個(gè)四位數(shù)的千位是5,百位是2,十位

是1,個(gè)位是口，則5+2+1=8,8至少加上1才是3的倍數(shù)，所以

口里最小能填1。

(2)要使這個(gè)四位數(shù)同時(shí)是2和5的倍數(shù)，則個(gè)位必須是Oo所以

口里應(yīng)該填0。

(3)要使這個(gè)四位數(shù)同時(shí)是2和3的倍數(shù)，則個(gè)位必須是0、2、4、

6、8,且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)。5+2+1=8,8+4=12,

12是3的倍數(shù)，所以口里最小能填4。

【答案】(1)1；(2)0；(3)4；

3高頻考點(diǎn)

【練習(xí)1]

【解題分析】

從0、2、3三張卡