141用空間向量研究直線、平面位置關(guān)系

考點(diǎn)01：直線的方向向量

1.若點(diǎn)A(T0,2),3(1,4,10)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量為()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(O,2,-l)D.(0,4,12)

【答案】A

【分析】由方向向量的概念求解，

【詳解】由9=(2,4,8),/的方向向量與羽平行，只有選項(xiàng)A滿足題意，

故選：A

2.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABC。為矩形，出，平面ABC。，E為尸。的中點(diǎn)，42=4尸=1,

AD=6試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線PC的一個(gè)方向向量.

【答案】

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)方向向量的定義可得.

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,則尸(0,0,1),C(1,A/3,0),

所以近即為直線PC的一個(gè)方向向量.

考點(diǎn)02:平面的法向量

3.已知42,0,0),5(0,2,0),C(0,0,2),則平面ABC的一個(gè)法向量可以是()

A.(一1,—1,—1)B.(1,-1,1)C.(―1,1,1)D.(1』,一1)

【答案】A

【分析】代入法向量的計(jì)算公式，即可求解.

—2x+2y=0

【詳解】AB=(-2,2,0),AC=(-2,0,2),令法向量為而=(x,y,z),則

—2x+2z=0

■'-y—z—x,可取〃z=.

故選：A.

4.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AgG0中，E,尸分別為棱A2,A石的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系中，求：

⑴平面BZ兀的一個(gè)法向量；

⑵平面BDEF的一個(gè)法向量.

【答案】（1）/=（-2,2,0）（答案不唯一）

（2）?=（2,-2,-1）（答案不唯一）

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量;

（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面的法向量.

由題意，可得。（0,0,0）,3（2,2,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,E（l,0,2）,

連接AC,因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以AC

又因?yàn)镺R,平面ABCD,ACu平面ABCD,所以。AC,

且口=。，則AC±平面BDQBi,

前=（-2,2,0）為平面瓦兀＞4的一個(gè)法向量.（答案不唯一）.

（2）歷=（2,2,0）,礪=（1,0,2）.

設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

n-DB=0[2x+2y=0,y=一無(wú)'

則—/_n_1

n-DE=01x+2z—0,z=-耳乂

令x=2,得y=-2,z=-L

n=（2,-2,-1）即為平面BDEF的一個(gè)法向量.（答案不唯一）.

考點(diǎn)03:空間向量法做直線與直線平行

5.已知正方體ABC。-4月6"中，M與N分別是棱8用與對(duì)角線CA的中點(diǎn).求證：MN//BD,并且

MN=-BD.

2

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)關(guān)系來(lái)證明.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

B（2,2,0）,Z＞（0,0,0），A（2,0,2）,C（0,2.0）,M（2,2,l）,7V（l,l,l）,]^V=（-l,-l,0）,BD=（-2-2,0）;

因?yàn)榍?2麗，且|叫=2也|研=志,

6.如圖，在正方體ABC。-ABIGA中，棱長(zhǎng)為2,M,N分別為4出，AC的中點(diǎn)，證明：MN//BXC.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】連接由中位線定理即可證明MN〃4C.

【詳解】連接A%如圖,

由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點(diǎn),

所以=

即"是A片的中點(diǎn),

又N是AC的中點(diǎn)，

所以〃用C.

考點(diǎn)04:空間向量法做直線與平面平行

7.設(shè)直線/的方向向量為方，平面a的法向量為為，lua,則使4|a成立的是（）

A.0=（2,-1,3）,亢=（-1,1,1）B.3=（1-1,2）,為=（-1,1,-2）

C.a=（1,1,0）,=（2,-1,0）D.a=（l,-2,l）,n=（1,1,2）

【答案】A

【解析】/||?等價(jià)于2與法垂直,分析選項(xiàng)即可得解.

【詳解】A中灑方=（2,—1,3）-（一1,1,1）=-2-1+3=0,所以花，萬(wàn)，故/||a.

其他答案那萬(wàn)片0

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查的是空間向量的應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.

8.如圖，已知斜三棱柱ABC-A/G，在AQ和3C上分別取點(diǎn)M,N,使瘋=左蕾，BN=kBC，其

中0＜后41,求證：肱V〃平面

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】用福、旗表示麗，即可得到而與向量題，胸共面，從而得證.

【詳解】證明因?yàn)轲?左為=4（和+福+南）=左（麗+通+反），

AN=AB+BN=AB+kBC^

所以麗=麗_詞=左（福+而+前）_（通+左前）=%麗+僅-1）通,

所以^^與向量國(guó)，福共面，

而MNU平面AB44,

所以MNH平面ABB^.

考點(diǎn)05：空間向量法做平面與平面平行

9.若平面&//夕，則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是()

A.々=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.4=(1,2,2),々=(-2,2,1)

C.4=(1,1,1),%=(-2,2,1)D.4=(1,1,1),%=(-2,-2,-2)

【答案】D

【分析】利用已知條件可知兩個(gè)平面的法向量互相平行，判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)槠矫妗?/月，

所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行，

只有D項(xiàng)符合.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的法向量.屬于容易題.

10.如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-4BQ。中,M,N,E,I分別是棱4Q,AiBi,DiCi,BiCi

的中點(diǎn)，求證：平面AAWII平面EFBD.

----R-------71cl

AJ/?'/I

N/3

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出A,M,N,瓦￡氏￡>,求出平面4與平面E7的.的法

向量，根據(jù)法向量與法向量的關(guān)系即可證明.

【詳解】由正方體的棱長(zhǎng)為4,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-盯z,則

D(o,0,0),4(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),*4,4,0),

E(0,2,4),F(2,4,4)

AM=(-2,O,4),AN=(O,2,4),DE=(0,2,4),BF=(-2,0,4),

設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為〃z=(x,y,z),則

m*AM=0{—lx+4z=0

即12y+4z=0,令z=1,解得x=2,y=—2

m?AN=0

所以浣=(2,-2,1)

設(shè)平面跖物＞的一個(gè)法向量為％=(x,y,z),則

m.?BDFE=0即:1-22yx++44zz==00

令z=1,解得x=2,y=—2

所以3=(2,—2,1)

所以加//九

平面4VWII平面EFBD.

考點(diǎn)06：空間向量法做直線與直線垂直

11.已知空間四邊形ABC。中，AD±BC,AB±CD,求證：AC1BD.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】利用向量垂直的運(yùn)算法則證明線線垂直.

【詳解】證明：設(shè)羽=￡,近=反而=2

貝U*=尼一通=6-2,而=而一/="一反麗=而一通="-￡

AD±BC,AB±CD

:.AD±BC,AB±CD

\c-(b-a)=O\a-c=b-c

[G-(C-5)=0\a-c=a-b

于是可得=

AC-BD=b-(c-a)=b-c-b-a=0

:.AC1BD，即ACIBO

12.如圖，在平行六面體ABCD-ABCa中，AB=4,AD=4,M=5,ZZMB=60°,ZBA4,=60°,

Zr>A4,=60°,M,N分別為AC，C冉的中點(diǎn).求證：MNLACX.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】利用空間向量的數(shù)量積為0的方法證明兩直線垂直.

【詳解】證明：設(shè)荏=2，AD=b，麗='這三個(gè)向量不共面，｛九b，泊構(gòu)成空間的一個(gè)基底，我

UUL1

們用它們表示旃，AC,,則

MN=MC[+QN=^a-^b,AQ=AB+BC+CCf=a+fo+c,

__,?,八，(1-17*|7*1——1—1——1——1—1——

所以MN?AC1=-a—b?(a+〃+c)=—a-a+—a-b+—a-c—b-a—b-b—b-c

y22)

111111

=—x47+—x49xcos60°+—x4x5xcos60°——x49xcos60°——x4?——x4x5xcos60°=0.

222222

所以MNLAC].

考點(diǎn)07：空間向量法做直線與平面垂直

13.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABC。一AMG，中，AD^l,AB=AAl=2,N、M分別AB、G。的中點(diǎn).

（1）求證：NM〃平面AAOR；

（2）求證：乂0_1平面4月加.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、。，所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量法可證得結(jié)論成立；

（2）求出平面4月"的一個(gè)法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.

【詳解】（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、0A所在直線分別為無(wú)、y、z軸建立如下圖所示的空間直

則A（l,0,0）、M（0,1,1）,N（1,L。）、4（122）、A。，。，2），

W=（-1,0,1）,易知平面的一個(gè)法向量為4=（0,1,0）,

?.-W-w=-lx0+0xl+lx0=0，貝1JW_L而，

-.?NMa平面aAOR,故NM//平面A^ADDX.

（2）設(shè)平面ABm的法向量為"=（x,y,z）,=（0,2,0）,=,

徨2y=0-

由?AX=°T+y—Z—O，取1=-1，可得〃

?.AM=o,何

所以，NM=n，故M0_L平面44M.

14.如圖，四棱錐P-ABCD中，上4_L底面ABC。，ABLAD,ACLCD,ZABC=60°PA=AB=BC=2,

E是PC的中點(diǎn).

求證：（1）CD1AE；（2）PDJ_平面ABE.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】方法一：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,得到麗、AE,計(jì)算得到國(guó).通=0,

即證明CDLAE.

（2）先寫(xiě)出而坐標(biāo)，再求出平面ME的法向量Z驗(yàn)證可知防//：,即證明PDJ_平面ABE.

方法二：（1）由底面ABCD證明R4LCD.再結(jié)合40,8可證明00，平面尸4?.從而得到

CDLAE.

（2）由PA_L底面ABGD證明R41.AB,再結(jié)合Ml.AD證明AB工平面P4D,從而得到AB_LPD；

再證明AELPC.結(jié)合。可證/場(chǎng)，平面PC。，得到/場(chǎng)最后根據(jù)線面垂直的判定即可以

證明PD_L平面ABE.

【詳解】方法一（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,"所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),3(2,0,0),C(l,V3,0),D0,^,0,P(0,0,2),E,所以前=一1,5,0

荏所以前,立=-lx，+走x3+°xl=0,所以Cr>_LAE.

[22)232

一『4一,、一門百)

(2)由(1),得PD=0,--—,—2,AB=(2,0,0),AE=—-,1

\77

2x=0

n?AB=0

設(shè)向量》=(x,y,z)是平面ABE的法向量，則即10取y=2,則\=(0,2,一6)，

n-AE=0n

123,

所以而=型5,所以防〃2，所以PDJ_平面ABE.

3

方法二(1)I,PA±^ABCD,PA1CD.又AC_LCD,PA^AC=A,CD_L平面PAC.rAEu

平面PAC,，CDLAE.

(2)PA_L底面ABC。，二PA±AB.又AB_LAD,PAoAD=A,AB2平面PAD,二AB1PD.由

題可得R4=AC=2,由E是PC的中點(diǎn)，，AELPC.

又C￡?_LAE,PCcC￡>=C,AE_L平面PCD,,AE_LP￡>.,「AB_LPD,AErPD,ABC\AE=A,

：.PD_L平面ABE.

考點(diǎn)08：空間向量法做平面與平面垂直

15.在三棱柱ABC—48/。中，44/_L平面ABC,AB±BC,AB=BC=2,AAi=l,E為88/的中點(diǎn)，求證:

平面AEC/_L平面AAiCiC.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】以點(diǎn)2為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以區(qū)4,BC,32/所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利

用平面法向量之間的關(guān)系證明面面垂直.

【詳解】由題意知直線A8,BC,8由兩兩垂直，以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以54,BC,88/所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),4(2,0,1),C(0,2,0),C;(0,2,1),E(0,0,1),

UUL1____（]

故居=（0,0,1）,AC=（一2,2,0）,AC,=（一2,2,1）,AE=[-2,0,5

設(shè)平面A4/C/C的法向量為4=(x,y,z),

%-A4）=0z=0

則_____.，即

—2x+2y=0

n}AC=0

令x=l,得y=l,故/=（1,1,0）.

設(shè)平面AEC7的法向量為〃2=("，b,c),