專題6.30相似三角形幾何模型A型圖（基礎(chǔ)篇）

（專項練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，D,E分別是△A5C的邊AB,AC上的點，連接。E,下列條件不能判定△ADE與^ABC相

似的是（）

ADAEADDE

A.ZADE=ZBB.ZAED=ZC

2.如圖，在△ABC中，點。，E分別是AB,AC上的點，連接。區(qū)下列條件不能使得△ABC與△A0E

相似的是（）

A.ZADE=ZACBB.DE//BC空一組D生-出

DEBC?ACAB

3.如圖，點尸在A4BC的邊AC上，下列條件中不能判斷的是（）

ABACABAC

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABC

AP~ABBP~CB

4.如圖，。是△ABC的邊5C上的一點，那么下列四個條件中，不能夠判定△A3C與△Q84相似的是

A

A.AC=ABADB.ZBAC=ZBDA

「ACAD

(----=----D.AB2=BDBC

,BCAB

5.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AB=10,BC=8.E是5。上一點，BE=5,DELAB,垂足為D,

則。E的長為（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，在△回（7中，D、石分別是邊A3、AC上的點，且。石〃5C,連接CD,過點E作石F〃CD,

交AB于點R則下列比例式不成立的是（）

DEAFADAFEF

C.D.-

ADABCDBCFD~BDFDBC

AD±CB,兩兩相似的三角形對數(shù)為（

C.4D.5

8.如圖，在三角形紙片ABC中，AB=9,AC=6,BC=12沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC

相似的是（)

B4B4C

9.如圖，等腰AABC,氏4=BC,點P是腰AB上一點，過點尸作直線（不與直線AB重合）截“BC,

使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（)

B.2個

C.3個D.4個

10-如圖,在AM。中‘尸、°分別為相、.邊上的點，且滿足胃=登.根據(jù)以上信息，嘉嘉和

淇淇給出了下列結(jié)論:

嘉嘉說：連接尸。，則PQ//8C.

淇淇說：AAQPSAABC.

對于嘉嘉和淇淇的結(jié)論，下列判斷正確的是（）

A.嘉嘉正確，淇淇錯誤B.嘉嘉錯誤，淇淇正確C.兩人都正確D.兩人都錯

二、填空題

11.如圖，在“LBC中，點。在A3邊上，點E在AC邊上，請?zhí)砑右粋€條件,使

AADE^AABC.

12.如圖，在AA?C中，。為AB邊上的一點，要使△54CS4E4Z）成立，還需要添加一個條件，你

添加的條件是

點。在AB上（點。與A,8不重合），若再增加一個條件就能使

△ACD-AABC,則這個條件是（寫出一個條件即可）.

14.如圖，在△ABC中，。、E、F分別是AB、BC、CA的中點.若△ABC的面積為3,貝hDE尸的面

積為

15.如圖，在AA8C中，。是邊上的一點，若/ACO=/8,AD=2,BD=3,則AC的長為

16.如圖，在AABC中，D是AB邊上的點，如果或,則.AABCSAACD

D,

li<

17.如圖，點。在AB上，當(dāng)/____=Z______時，△ACDS^ABC.

18.如圖，在△ABC中，NACB=90。，CD±AB,DE1BC,垂足分別為點，E,則圖中與△ABC相

似的三角形個數(shù)有個.

19.如圖，在AABC中，點。為邊AC上的一點，選擇下列條件:

①2ZA；②/1=/吁③器④令彼簧中的一個，不能得出AMC和△皿相

似的是：（填序號）.

20.如圖，在AABC中，AB>AC,過AC邊上一點。作直線。E交AB邊于點E,使所得的三角形與

原三角形相似，這樣的直線可以作條.

三、解答題

21.如圖，在△ABC中，BC=8,AC=4,。是3C邊上一點，CD=2.

求證△ABC^ADAC.

4,

22.如圖，在的AABC中，ZACfi=90°,。。，鉆于。.

求證：AACD^AABC.

23.如圖，在MAABC中，/2=90。，點。在AC邊上，DE_LAC交BC于點E.求證:△CDEsACBA.

24.已知：如圖，點。在三角形ABC的A3上，OE交AC于點E,/4T)E=NB,點/在AD上，且

AD2=AFAB?求證:

ADAE

(1)

ABAC

25.已知：如圖，在△回（?中，AZ＞是5c邊上的中線，EF//BC,分別交A5、、AD于點E、F、

G.

求證：EG=FG.

26.如圖，AB//EF//CD,E為AZ）與5c的交點，廠在上。

111

求證:--------1----------------

ABCDEF

c

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定定理逐個分析判斷即可.

解：VZADE=ZB,ZA=ZA

：.AADE^AABC

故A能判定△&?！昱c4ABC相似,不符合題意;

<NAED=NC,ZA=ZA

：.AADEsAABC

故B能判定△ADE^/s.ABC相似,不符合題意;

ADAE

――，ZA=ZA

ABAC

：.AADE^AABC

故C能判定△4。后與4ABC相似,不符合題意;

/至條件*=%未給出,不能判定"小與"BC相似,故D符合題意

故選D

【點撥】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定方法逐一判斷即可.

解：A.VZADE=ZACB,ZA=ZA,

AADE^AACB,

故此選項不符合題意;

B."：DE//BC,

：.ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

：.△ADEs/XABC,

故此選項不符合題意;

..AE

—,NAED^/ABC,

,DEBC

：.△ABC與&MyE不相似,

故此選項符合題意;

ADAE

D.?-----=-----NA=NA,

ACAB

工AADE^AACB,

故此選項不符合題意;

故選：C.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定定理（①有兩角分別相等的兩三角形相似，②有兩邊的比相等，并且它們的夾

角也相等的兩三角形相似）逐個進(jìn)行判斷即可.

解：A.：NA=NA,/ABP=NC,

：.AABP^AACB,故選項不符合題意；

B.VZA=ZA,ZAPB=ZABC,

：.^ABP^/\ACB,故選項不符合題意；

ARAC

AB2=AP*AC,即---=---，

APAB

：.^ABP^AACB,故選項不符合題意；

4RAC

D-根據(jù)胃=蕓和/A=NA不能判斷"BPsAACB,故選項符合題意.

BPCB

故選：D.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與兩邊對應(yīng)

成比例且夾角相等的三角形相似定理的應(yīng)用.

4.C

【分析】

由相似三角形的判定定理即可得到答案.

解：NC=NBAD,ZB=ZB,^ABC^^DBA,故選項A不符合題意；

NBAC=NBDA,ZB=ZB,^ABC^^DBA,故選項B不符合題意；

ACArt

—,但無法確定4cB與zaw是否相等，所以無法判定兩三角形相似，故選項c符合題

BCAB

忌；

AB2=BDXBC=5=5,AABCSADBA,故選項D不符合題意.

BDAB

故選：C.

【點撥】本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】

DFBF

由勾股定理可求AC=6,通過證明可得——=——，即可求解.

ACAB

解:「RtAABC中，ZC=90°,AB=1Q,BC=8,

.,.AC=7AB2-BC2=7100-64=6,

■:DELAB,

：.ZEDB=ZC=90°,

又,：4B=/B,

:?△DEBs^CAB,

.DE_BE

**AC-AB?

.DE_5

??=,

610

：.DE=3,

故選：C.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)可求解.

解：9：DE//BC,EF〃CD,

.AF_AEAD_AEAF_AEAD_AE

"AD-AC'AC'~FD~~EC'~BD~~EC'

^ADE^AABC,^AFE^^ADC,

.AFADEF_DEAF_AD

"AD~AB'CD~BC'FD~BD'

.,.成立的是ABC,不成立的是D,

故選：D.

【點撥】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用相似三角形的性質(zhì)是

本題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】

由垂線的定義得出/Ar>C=NBD4=90°,由NBAC=NADC=90°,/C=/C,得出

△ADCsABAC,同理：△ADBsMAB,即可得出△AOCs/XBACs2XBZM；

解：VADICB,

：.ZADC=ZBDA=90a,

：.ZBAC^ZADC^9Q°

又：NC=/C,

AADC^ABAC,

同理：AADBs^CAB,

：.AADC^ZWCs/\BDA,

【點撥】本題考查了相似三角形的判定,熟練掌握相似三角形的判定定理，并能進(jìn)行推理論證是解決

問題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可.

解：在三角形紙片ABC中，AB=9,AC=6,BC=U.

A.因為&=盤=!,對應(yīng)邊翌=匚=：,,故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與

nC122nC12424

△ABC不相似，故此選項錯誤;

442ACA?

B.因為大=工=三,對應(yīng)邊嗓=：=弓，又/4=/人故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與AABC

ACO393

相似，故此選項正確；

C.因為4尢=45，對應(yīng)邊AB箓9="=3；，即：43故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與AABC

r\.DjzkJL乙?Jz?

不相似，故此選項錯誤；

494rtA1?1

D、因為,對應(yīng)邊7黑=94，34,故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與“8。不

o3nC12232

相似，故此選項錯誤；

故選：B.

【點撥】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等切夾角相等的兩三角

形相似是解題關(guān)鍵.

9.C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定，過點P分別BC,AC的平行線即可得到與原三角形相似的三角形，過點尸作

以點尸為頂點的角與NA相等的角也可以得到原三角形相似的三角形.

解：'：BA=BC,

：.ZA=ZC,

①作PE〃8C,可得△MEsZXABC.

PF//AC,可得ABPpsABAC.

③作NAPG=/A,可得/AGPs/MBC,

故選：C.

【點撥】本題考查相似三角形的判定質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識

解決問題.

10.B

【分析】

根據(jù)普=黑，=可以判定“QPSAABC，半與彩不一定相等，不能判定尸Q/BC.

ACABABAC

解：=/APAQ=ACAB,

ACAB

.??AAQPSAABC,即淇淇的結(jié)論正確；

/.ZAQP=ZABC,ZAPQ=ZACB,

'：不能得出ZAQP=ZACB或ZAPQ=ZABC,

不能得出PQ//BC,即嘉嘉的結(jié)論不正確.

故選B.

【點撥】本題考查相似三角形和平行線的判定，熟練掌握相似三角形和平行線的判定方法是解題的關(guān)

鍵.

11.ZADE=ZB（答案不唯一）.

【分析】

已知有一個公共角，則可以再添加一個角從而利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定或添加

夾此角的兩邊對應(yīng)成比例也可以判定.

解：VZA=ZA,

根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，可添加條件或NAEC=/C證相

似；

Ar）AF

根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可添加條件F=二"證sSC相似.

ABAC

故答案為：NADE=NB（答案不唯一）.

【點撥】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法.

12.NAED=NABC或NADE=NACB

【分析】

根據(jù)圖形可以看出兩個三角形有一個公共角NA,相似證明中，有兩個角對應(yīng)相等即可證明兩三角形

相似，即添加對應(yīng)角相等即可.

解：由圖可知，在△BAC與中，NBAC=NEAD

???添加的條件為：ZAED=ZABC或ZADE=ZACB

故答案為：ZAED=ZABC或ZADE=ZACB

【點撥】本題主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的條件是解題的關(guān)鍵.

13.ZACD=ZABC（答案不唯一）

【分析】

兩個三角形中如果有兩組角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，據(jù)此添加條件即可.

解：添加NACO=/ABC,可以使兩個三角形相似.

VACAD=ABAC,ZACD^ZABC,

：.^ACD^AABC.

故答案為：ZACD=ZABC（答案不唯一）

【點撥】本題考查相似三角形的判定定理，兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.理解和掌握三角形相

似的判定是解題的關(guān)鍵.

14.-##0.75

4

【分析】

由于在AABC中，點￡?、E、廠分別是A3、BC、CA的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得

獎=2W=M=!，又由有三邊對應(yīng)成比例的三角形相似，即可證得△DE/SACAB,然后根據(jù)相似三

ACBCAB2

角形面積的比等于相似比的平方，即可求得b的面積.

解：???在AABC中，點。、E、產(chǎn)分別是A3、BC、C4的中點，

.DE_DF_EF_1

**ACAB2"

:?△DEFs^CAB,

?S&DEF=1

??S板AC~4f

VSAABC=3,

JSADEF=-S^ABC=-.

44

3

故答案為：—.

4

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

15.V10

【分析】

證明△ACOSAABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

解：'：AD=2,BD=3,

：.AB=AD+BD=2+3=5,

VZACD=ZB,ZA=ZA,

：.△ACDS/VIBC,

.ADACnn2AC

??=9BJ=f

ACABAC5

解得，AC=Vio,

故答案為：

【點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

16.ZB=ZACDZACB=ZADC

【分析】

利用三角形相似的判定求解即可.

解：由圖可知=根據(jù)相似三角形的判定，再加一個對應(yīng)角相等即可，

所以，可以為：NB=NACD或NACB=NAZ)C使得AASCSAACD

故答案為NB=ZACD或ZACB=ZADC

【點撥】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定定理的理解和掌握.

17.ACDB

略

18.4

【分析】

根據(jù)等角或同角的余角相等，證明三角形相似即可.

解：?.?在A4BC中，ZACB=90°,CDLAB,DELBC,

ZADC=NCDB=ZCED=ZDEB=ZACB=90°

ZACD+ZA=90°,ZB+ZA=90°

:.ZACD=ZB

5LZADC=ZACB

:.AACD^AABC

■.■ZB+ZDCE=90°,ZB+ZA=90°

：.ZA=ZDCE

又ZCED=ZACB,ZCDB=ZACB

:.ACDES^ABC,△CBD^AABC

???ZB+NEDB=90°,ZB+NA=90°

:.ZEDB=ZA

又/DEB=ZACB

:△DBES/\ABC

.?.與△ABC相似的三角形有八48,△CDE,ACBD,QBE,共計4個

故答案為：4

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解題的關(guān)鍵.

19.③

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定定理可得結(jié)論.

解：①N2=NA,NC=NC時，AABCsABDC,故①不符合題意；

②4=NCBA,NC=NC時，AABC^AfiDC,故②不符合題意；

③》=2,NC=NC時，不能推出AABCSABOC，故③符合題意；

ACAB

④嬰=空=半，NC=NC時，AABC^ABDC,故④不符合題意，

ACBCAB

故答案為：③

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握兩組對應(yīng)邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個

三角形相似；有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

20.2

【分析】

本題可分2種情況：①依據(jù)預(yù)備定理，過。作。E〃3C,那么。E符合所求直線的要求；②作NADE

=ZABC,則△A￡>ESZ\ABC,因此。E符合所求直線的要求.

解：如圖；

①作②作DE〃BC.

因此共有2種作法，

故答案為：2.

【點撥】此題考查了相似三角形的判定.①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相

等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似.

21.證明見詳解

【分析】

由題中線段長度得出=笑，結(jié)合相似三角形的判定定理即可證明.

At-CD

證明：'：BC=8,AC=4,CD=2,

.BC_8_AC_4_

AC4CD2

.BC_AC

??就一布?

vzc=zc,

???AABC^ADAC.

【點撥】題目主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

22.見分析

【分析】

根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進(jìn)行證明即可.

證明：：CD，A3于。.

，ZADC=ZACB=90°,

?/ZA=ZA,

ZxACDs/^ABC.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確運用進(jìn)行

推理證明.

23.證明見分析

【分析】

由DEJ_AC,NB=90?？傻贸鯪CDE=N3,再由公共角相等，即可證得

解：VDE±AC,ZB=90°,

/.ZCDE=ZB=90°.

又：NC=NC,

/\CDEs/\CBA.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，常用的判定兩個三角形相似的方法有1、定義法：三個角分

別相等，三條邊成比例的兩個三角形相似.2、平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或其他兩邊的延長

線)所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.3、兩角分別相等的兩個三角形相似.4、兩邊成比例且夾角相等的

兩個三角形相似.

24.(1)見分析(2)見分析

【分析】

Af~)AP

(1)根據(jù)=可得DE〃BC,從而得到J==，即可求證；

AnArAT7sp

⑵根據(jù)3"AB,可得丁而，從而得到一記即可求正

(1)證明：vZADE=AB,

:.DE//BC,

.AD