3.2.2奇偶性【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義前提條件：奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)二用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個(gè)區(qū)間[a，b]上的解析式，想求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為：(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．知識(shí)點(diǎn)三奇偶性與單調(diào)性若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調(diào)性．【基礎(chǔ)自測(cè)】1．下列函數(shù)中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為()①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；③f(x)＝x＋eq\f(1,x)； ④f(x)＝eq\f(1,x2).A．1B．2C．3D．4【答案】C2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,gx，x<0，))且f(x)為偶函數(shù)，則g(－2)等于()A．6B．－6C．2D．－2【答案】A【詳解】g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.【答案】4【詳解】f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函數(shù)，∴a＝4.4．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，若x>0時(shí)，f(x)＝x，則x<0時(shí)，f(x)＝________.【答案】－x【詳解】方法一令x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－x，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(x<0)．方法二利用圖象(圖略)可得x<0時(shí)，f(x)＝－x.5．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))【詳解】依題意有f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴|2x－1|<eq\f(1,3)，即－eq\f(1,3)<2x－1<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).【例題詳解】一、判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1).【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)f(x)的定義域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．【答案】AC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷即可.故選：AC跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則是非奇非偶函數(shù)．(6)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)【答案】A【詳解】由f(x)是偶函數(shù)，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函數(shù)可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|為偶函數(shù)，∴f(x)＋|g(x)|為偶函數(shù)．二、由奇偶性求解析式命題角度1求對(duì)稱區(qū)間上的解析式【答案】C故選：C.(3)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．【詳解】因?yàn)閤∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．f(0)＝0.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x，x≥0，,－xx－1，x<0.))【分析】(=1\*romani)由偶函數(shù)的定義求解即可；因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，命題角度2構(gòu)造方程組求解析式【分析】利用題給條件列方程組即可求得的解析式跟蹤訓(xùn)練3設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．【詳解】∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1).①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).三、由奇偶性求參數(shù)A． B． C．1 D．4【答案】B【分析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，通過帶特殊值可以求出的值，從而得到答案故選B.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程求出a的值，再將1代入即可求解∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程是解決本題的關(guān)鍵．【答案】故答案為：【答案】3【分析】由定義域關(guān)于0對(duì)稱得，由奇函數(shù)的定義求得，從而可得結(jié)論．故答案為：3.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?四、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小【答案】B故選：B．【答案】D【分析】由已知條件得出單調(diào)性，再由偶函數(shù)把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，由單調(diào)性得結(jié)論．故選：D．(3)定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序號(hào))①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)； ④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．【答案】①③⑤【詳解】f(x)為R上奇函數(shù)，增函數(shù)，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正確，②錯(cuò)誤．x∈[0，＋∞)時(shí)，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正確，④錯(cuò)誤．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正確．跟蹤訓(xùn)練5(1)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．(2)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(1)和f(－10)的大小關(guān)系為()A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)關(guān)系不定【答案】A【詳解】∵f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．五、由函數(shù)奇偶性解不等式【答案】C故選：C.【答案】B故選：B【答案】B故選：B六、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例7已知函數(shù)f(x)對(duì)?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練7已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－.（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）求證：f(x)在R上是減函數(shù)；（3）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）最大值是2，最小值是－2.【分析】（1）由已知令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，由此可得證．（2）在R上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．再由已知判斷f(x1)＞f(x2)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可得證；（3）由（2）得f(x)在R上是減函數(shù)，由此可求得函數(shù)的最值.【詳解】（1）證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．（2）證明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，而x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，因此f(x)在R上是減函數(shù)．（3）解：因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3，3]上的最大值是2，最小值是－2.【課堂鞏固】A． B．C． D．【答案】B【分析】利用特殊值，分類討論，借助反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行排除.故選：B.A． B．C． D．【答案】D故選：D．A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此列出方程，求得答案.故選：A.A． B． C．或3 D．或【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求解.故選:B.【答案】D故選：D.【答案】D故選：D【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合指數(shù)運(yùn)算求解.故答案為：1.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出解析式后即可代入求解.函數(shù)是偶函數(shù)，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題,屬于難題,關(guān)于解不等式的方法有:(1)根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性;(3)根據(jù)單調(diào)性奇偶性,列出不等式解出.(1)求函數(shù)在R上的解析式；【課時(shí)作業(yè)】1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）【答案】C【分析】首先判定A,B不是奇函數(shù)，然后根據(jù)冪函數(shù)的知識(shí)判定C,D的單調(diào)性.故選：C.【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】D故選：D.A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個(gè)選項(xiàng)后得正確結(jié)論．故選：A.【答案】B故選：B.A．1 B．3 C． D．【答案】B故選：B【答案】A故選：A【答案】C所以一定正確的是C.故選：C【答案】C【分析】使用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.故選：C.【答案】B故選：B【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)