重難點突破03原函數與導函數混合還原問題

目錄

方法技巧總結

1、對于礦(x)+/(%)〉0(<0),構造g(x)=x?/(x),

2、對于切，(x)+0(x)>0(<0),構造g(x)=/./(%)

3、對于x-/'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=?,

4、對于x-7'(x)-好'(x)>0(<0),構造g(x)=Zg

5、對于/(尤)+/(x)>0(<0),構造g(x)=e「/(x),

6、對于_f(x)+"(x)〉0(<0),構造g(x)=*-/(x)

7、對于/'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=卒，

ex

8、對于廣(%)-切(x)>0(<0),構造g(%)=￡g

e

9^對于sinx?/'(%)+cosx?/(X)〉0(<0),構造g(x)=/(x)?sinx,

10、對于sinx,7'(x)-cosx?/(x)>0(<0),構造g(x)=>")

sinx

11、對于cos%?/'(%)-sin%?/(%)>0(<0),構造g(x)=/(%)?cosx,

12>對于cos%?/'(%)+sin%?/(x)>0(<0),構造g(x)=

cosx

13、對于/'(%)—/(x)〉左(<0),構造g(x)=/[/(%)—均

14>對于/'a)ln)+>0(<0),構造g(x)=lnx?/(x)

15、f\x)+c=[f(x)+cx\；/'(%)+g'(%)=[/(%)+g(%)]';f\x)-gf(x)=[/(x)-g(x)]r；

16、/'(x)g(x)+〃x)g'(x)="(x)g(x)]';/'(x)g(x)：((x)g'(x)=[*]，,

g(x)g(x)

■必考題型歸納

第1頁共40頁

題型一：利用x"/(x)構造型

例1.(安徽省馬鞍山第二中學20222023學年高三上學期10月段考數學試題)已知/(X)的定義域為(0,+￥),

/(X)為/⑴的導函數，且滿足/(*)<-0'(*),則不等式“x+l)>(x-l)/(x2一1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+￥)C.(1,2)D.(1,+￥)

【答案】B

【解析】根據題意，構造函數y=M(x),尤€(0,+8),貝l]y'=f(x)+獷'(x)<0,

所以函數y=xf(x)的圖象在(o,+8)上單調遞減.

又因為y(x+i)>(x-i)/(尤2_i),所以

所以。<x+1<,解得x>2或(舍).

所以不等式〃》+1)>@-1)/，-1)的解集是(2,+8).

故選：B.

例2.(河南省溫縣第一高級中學20222023學年高三上學期12月月考數學試題)已知函數/(無)的定義域

為(0,+s),且滿足〃x)+M'(x)>0(戶刎是/⑴的導函數)，則不等式(x-l)/(x2-l)</(x+l)的解集

為()

A.(一叫2)B.(L+8)C.(1,2)D.㈠⑵

【答案】C

【解析】令g(x)=4(x),貝！Jg'(x)=/(x)+礦(x)>0,即g(x)在(0,+co)上遞增，

又x+l>0,貝!+等價于(--D/GZ-DvCx+D/a+l),即g(/-1)<g(x+l),

尤2_1>。

所以f+1>0,解得1<X<2,原不等式解集為(1,2).

無？-1<尤+1

故選：C

例3.(黑龍江省大慶實驗中學2023屆高三下學期5月考前得分訓練(三)數學試題)已知函數/(X)的定

義域為(0,+s),或(尤)為函數/(x)的導函數,若也廣(力+獷(力=1,/(1)=0,則不等式/(2<3)>0的解

集為()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+o>)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由題意得，切'(x)+〃x)=J

即=(lnx+c)'，

所以獷(x)=lnx+c,即/("=皿+￡,

XX

第2頁共40頁

又/(1)=0,所以C=O,故〃"=干，

八尤)=上二=0,可得x=e,

X

在(0,e)上，r(x)>0,/⑴單調遞增;

在(e,+8)上，/'(x)<0,/(x)單調遞減，

所以/(X)的極大值為/(e)=1.簡圖如下：

變式1.(2023屆高三第七次百校大聯考數學試題(新高考))已知定義在R上的偶函數了=/(無)的導函數

為y=f'(x),當x>0時，")+〃x)>o,且"2)=1,則不等式f(2x7)<3的解集為()

A.［一臼唱+②)B,

。［it］D.(一獨心目

【答案】C

【解析】當x>0時，")+/何>0,所以當x>0時，礦(x)+〃x)>0,

令F(x)=#(x),則當x>0時，=V，(x)+/(x)>0,

故尸(x)=3(x)在(0,+司上單調遞增，

又因為了=/(x)在R上為偶函數，所以尸(x)=^(x)在R上為奇函數，

故尸。卜刀(“在R上單調遞增,因為/⑵=1,所以尸(2)=2〃2)=2,

17

當x>上時，y(2x-l)<^^可變形為(2x-l)/(2x-l)<2,即F(2x-1)〈尸(2),

22x—1

31Q

因為尸(x)=#(x)在R上單調遞增，所以2x7<2,解得x<：,故

17

當工<上時，〃2x7)<——可變形為(2x-l)/(2尤-1)>2,即尸(2x-l)>*2),

22x—1

因為尸(x)=3(x)在R上單調遞增，所以2x-l>2,解得故無解.

第3頁共40頁

綜上不等式/(2x-l)<的解集為

2x—1122yz

故選：C.

變式2.(四川省綿陽市鹽亭中學2023屆高三第二次模擬考試數學試題)已知定義在(0,+8)上的函數/(X)

o3

滿足2V(耳+//(力<0,”2)=%則關于X的不等式/(x)>-y的解集為()

4X

A.(0,4)B.(2,+oo)C.(4,+co)D.(0,2)

【答案】D

【解析】令右(機=//。),則偏(x)=2V(x)+/_f(x)<0,所以力(x)在(0,+動單調遞減,

不等式/(無)>城可以轉化為X2/(X)>4X.=22〃2),即〃(司>.2),所以0<X<2.

故選：D.

變式3.(河南省豫北重點高中20222023學年高三下學期4月份模擬考試文科數學試題)已知函數/(x)的

定義域為(0,+S)，其導函數是/'(X)，且2/(x)+礦(x)>x.若/'⑵=1,則不等式3/卜)-》-5>0的解

集是()

A.(0,2)B.(2,+co)

C.[D."

【答案】B

【解析】構造函數8(%)=//(力-；工3,其中X〉。，

貝I」g，(x)=2M+_x|-2f(%)+4(、)一]]>0,

1Q4

故函數g(x)=f/(x)—y3在(0,+句上為增函數，且g(2)=4/(2)-]=

因為x>0,由3/(X)-X-3>0可得//⑺一山仁土即g(x)>g⑵，解得》>2.

x33

故選：B.

變式4.(廣西15所名校大聯考2023屆高三高考精準備考原創(chuàng)模擬卷(一)數學試題)已知是定義在

R上的偶函數，其導函數為/'(尤),/(-1)=4,且"⑴+燈''。)*,則不等式+[3的解集為()

A.(-co,-l)u(l,+co)B.(-l,0)U(0,l)C.(0,1)D.。,+8)

【答案】C

【解析】設g(x)=一％3,

則g(x)在R上為奇函數，且g(0)=0.

又g'(x)=3x2/(x)+x3/f(x)-3x2=x2[3/(x)+xf(x)-3,

第4頁共40頁

當x>0時,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+oo)上為增函數，

因此g(x)在R上為增函數.

X/(-l)=/(l)=4,當x>0時，不等式“尤)<1+弓化為Y/(x)一/<3,

即g(x)<g⑴，

所以0cx<1；

當x<0時，不等式/(x)vl+式化為d/a)>d+3,即g(x)>3=g⑴，

X

解得X>1,故無解，

3

故不等式f(x)<1+—的解集為(0,1).

X

故選：C

【解題方法總結】

1、對于礦(%)+/(%)>0(<0),構造g(x)=%?/(%),

2、對于#<%)+句(%)>0(<0),構造g(x)=F?/(%)

題型二：利用地構造型

X11

例4.(河南省信陽市息縣第一高級中學20222023學年高三上學期9月月考數學試題)已知定義在(0,+￥)

，

的函數〃x)滿足：Vxe(0,+?),/(x)-V(x)<0)其中#(x)為的導函數,則不等式

(2》-3)/(尤+1)>(尤+1)/(2.3)的解集為()

A.［川B.(…)

C.(-1,4)D.(-叫4)

【答案】A

【解析】設g(x)=W，g，(x)N(xy3,

因為Vxe(O,+<?)J(x)-葉(x)<0,

所以在(0,+￥)上8小)>0,

所以g(x)在(。,+￥)上單調遞增,

由己知，/(x)的定義域為(0,+￥),

所以x+l>0,2x-3〉0,

所以(2》-3)/。+1)>。+1)〃2工一3)等價于/(龍+1)>“2》-3),

x+12x-3

即g(x+l)>g(2x-3),

第5頁共40頁

x+1>0

3

所以2x—3〉0,角星得—<、<4,

2

x+1>2x-3

所以原不等式的解集是［If.

故選：A.

例5.已知定義域為｛小和｝的偶函數兀0,其導函數為/(x),對任意正實數x滿足〃(x)>"(x),若g(x)="^,

X

則不等式g(x)<g⑴的解集是()

A.(—co,1)B.(—1,1)

C.(-00,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】因為以)是定義域為",邦｝的偶函數，所以八一x)=Ax).對任意正實數X滿足#'(x)>2/(x),

所以礦(x)-2/(x)>0,

因為g(x)=￡(d,所以g(x)也是偶函數.

X

?、诺V(x)[2〃x)

當xG(0,+s)時,>0.

x3

所以g(x)在(0,+oo)上單調遞增，在(-8,0)單調遞減,

若g(x)<g(1),則|x|<1(#0),解得0<x<1或一1<x<0,

故g(x)<g(l)的解集是(一1,0)U(0,1),

故選：D

例6.(江蘇省蘇州市2023屆高三下學期3月模擬數學試題)已知函數f(x)是定義在&上的奇函數,

/(2)=0,當x>0時，有獷'(x)-/(x)>0成立，則不等式力(x)>0的解集是()

A.(―°o,—2)u(2,+8)B.(—2,0)u(2,+co)

C.(-℃),-2)。(0,2)D.(2,+co)

【答案】A

【解析】-〃x)>0成立設g(x)=與,

則g，(x)==/'("Ax)>0,即x>o時g(x)是增函數,

當x>2時，g(x)>g(2)=0,此時/(x)>0；

0<x<2時，g(x)<g(2)=0,此時/(x)<0.

又/(x)是奇函數，所以-2<x<0時，/(x)=-/(-x)>0；

x<—2時W(f)>0

第6頁共40頁

/、ff（x）>0ff（x）<0

則不等式x>0等價為八或八，

[x>0[x<0

可得x>2或1v-2,

則不等式力（x）>0的解集是（f，-2）u（2,+s）,

故選：A.

變式5.（西藏昌都市第四高級中學2023屆高三一模數學試題）已知函數/卜）是定義在（-卜，0）（0，+

的奇函數，當xe（O,+s）時，xf'（x）<f（x）,則不等式歹（2-力+卜-2）/⑸<0的解集為（）

A.（―8,—3）u（3,+co）B.（―3,0）u（0,3）

C.（-3,O）u（O,7）D.（-雙-3）0（2,7）

【答案】D

【解析】令g（x）=W，

?當尤e（0,+oo）時，xf'[x）<f（x）,

.,.當xe（0,+co）時，g'（x）="（x）；，（x）<o,

g（x）在（0,+oo）上單調遞減；

又/（X）為（-卜,0）（0，+）的奇函數，

.；g（_x）=ZW=zZ0A（即g@）為偶函數，

-x-xX

，g（x）在（-8,0）上單調遞增；

又由不等式歹（2-x）+（x-2）/（5）<0得y（2-x）<（2-x）/（5）,

當2—x>0,即x<2時，不等式可化為即g（2r）<g⑸，

2-x5

由g（x）在（0,+8）上單調遞減得2Tx>5,解得x<-3,故x<-3；

當2T<0,即x>2時，不等式可化為42二^>出，即g（2r）>g（5）=g（-5）,

2-x5

由g（x）在（-8,0）上單調遞增得2-4-5,解得尤<7,故2<x<7；

綜上所述，不等式述（2-x）+（x-2）〃5）〈0的解集為:（S-3"2,7）.

故選：D.

【解題方法總結】

1、對于x-7'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=2@,

2、對于x-7'(x)-4f(x)>0(<0),構造g(x)=/g

第7頁共40頁

題型三：利用e""(x)構造型

例7.(河南省20222023學年高三上學期第五次聯考文科數學試題)已知定義在夫上的函數/(尤)滿足

/(x)+r(x)>0,且有八3)=3,則/(x)>3e3r的解集為()

A.(3,+co)B.(l,+oo)C.(-<?,3)D.(-℃,1)

【答案】A

【解析】設尸(x)=/(x)?e，,則/'(x)=/'(x)?e*+/(x)?e，=(x)+/'⑺]>0,

.?.尸(x)在尺上單調遞增.

又"3)=3,則尸⑶=〃3)-e3=3e3.

f(x)>3e3T等價于/(x)?e、>3d,即尸(x)>尸(3),

，x>3,即所求不等式的解集為(3,+s).

故選：A.

例8.(河南省20222023學年高三上學期第五次聯考數學試題)已知定義在R上的函數/'(x)滿足

111-X

-f(x)+f'(x)>o,且有"1)=5,則2〃x)>e三的解集為()

A.(-0>,2)B.(l,+oo)

C.(-00,1)D.(2,+00)

【答案】B

工三[三三「[一

【解析】設廠(x)=/(x)-，貝UF(x)=r(x)-e2+]〃x)d=e2-f(x)+f'(x)>0,

iiii

所以函數尸(x)在7?上單調遞增，又/⑴=3,所以/⑴=上次.

22

1一％日11

又2/(x)>方等價于/(尤)3弓5,即尸(x)>尸⑴，所以x>l,

即所求不等式的解集為(L+8).

故選：B

例9.(廣東省佛山市順德區(qū)北洛鎮(zhèn)莘村中學2023屆高三模擬仿真數學試題)己知尸(x)是函數

了=/3(xeR)的導函數，對于任意的xeR都有/+且“0)=2023,則不等式

e"(x)>eX+2022的解集是()

A.(2022,+co)B.(-oo,0)u(2023,+oo)

C.(-oo,0)U(0,+oo)D.(0,+ao)

【答案】D

【解析】法一：構造特殊函數.令/(同=2023,則/'(x)+/(x)=2023>l滿足題目條件，把/(x)=2023代

第8頁共40頁

入ex/(x)>ex+2022得2023/>ex+2022解得x>0,

故選：D.

法二：構造輔助函數.令g(x)=e"(x)-e，，則g，(x)=e，(〃x)+r(x)-l)>0,

所以g(x)在R上單調遞增，

又因為g(O)=)(O)-l=2O22,所以e"(x)>e*+20220g(x)>g(O),所以x>0,

故選：D.

變式6.(寧夏吳忠市2023屆高三一輪聯考數學試題)函數/(無)的定義域是R,/(。)=2,對任意xeR,

/(x)+r(x)>l,則不等式：/./(%>>/+1的解集為()

A.[x\x>0}B.{x|x<0}

C.或x>l}D.-1或0<x<l}

【答案】A

【解析】構造函數g(x)=e"(x)-e'l,則g(O)=/(O)-2=。,

g'(x)=e，[/(x)+f(x)-l]>0,則函數g(x)在R上單調遞增，

由6匚/卜)>6*+1可得8(尤)=6"(無)-/-1>0=8(0),可得x>0,

因此，不等式]?/(%)>ex+l的解集為卜卜>0}.

故選：A.

【解題方法總結】

1、對于_f(x)+/(x)>0(<0),構造g(x)="-/(x),

2、對于f'(x)+"(x)>0(<0),構造g(x)=聲?f(x)

題型四：用△初構造型

e

例10.(安徽省六安市第一中學20222023學年高二下學期期末數學試題)定義在(-2,2)上的函數/⑴的導

函數為尸(無)，滿足：〃x)+e4x/(-x)=0,1⑴=e?,且當x>0時，Ax)>2/(x),則不等式e2xf(2-x)<e4

的解集為()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,+?)D.(0,1)

【答案】A

【解析】令g(x)=$,則62%(力+04%-2-(一力=0可得8(力+8(-7=0

所以83=$是(-2,2)上的奇函數，

第9頁共40頁

/Q_(無)/一2//(無)_/'(x)-2〃x)

g⑴-乒-―/一，

當x>0時，f'(x)>2f(x),所以g[x)>0,

g(x)=『是Q2)上單調遞增，

所以8卜)=$是(-2,2)上單調遞增，

因為g⑴=4^===1,

ee

由e2xf(2-x)<e4可得e2xe2(2-x)g(2-x)即g(2-尤)<1=g(1),

fix)f—2<2—x<2

由gX=當2是(_2⑵上單調遞增，可得解得：1<X<4,

x7e[2-x<1

所以不等式e2xf(2-x)<e“的解集為(1,4),

故選：A.

例11.(廣東省汕頭市2023屆高三三模數學試題)已知定義在R上的函數/(x)的導函數為r(x),且滿足

/*)-/(x)>0,/(2021)=e2⑼，則不等式/gin,〈江的解集為()

A.(e2021,+oo)B.(0,/⑼)C.仁誣,+動D.(0,e202,e)

【答案】D

【解析】令，='lnx,則》=0.，

e

所以不等式<G等價轉化為不等式/■⑺<叱=d,即萼<1

構造函數g?)=W,則g，⑺二尸(‘尸/⑺,

由題意，g'(/)所以g?)為R上的增函數，

又/(2021)=e2021所以g(2021)=[警)=1,

所以g?)=gI<l=g(2021),解得f<2021,即Jnx<2021,

所以0vx<e202%

故選：D.

例12.(陜西省安康市2023屆高三下學期4月三模數學試題)已知函數「(X)的定義域為R,且對任意xeR,

/(x)-J(x)<0恒成立,則e了(x+l)>eT(成-3)的解集是()

A.(4,+co)B.(-1,4)

第10頁共40頁

C.(-8,3)D.(-?,4)

【答案】D

【解析】設g(x)=，2,該函數的定義域為R,

則g，(x)=r(x)J(x)>0,所以g(x)在R上單調遞增.

由e"(x+1)>e4/(2x-3)可得,即g(尤+1)>g(2x_3),

又g(x)在R上單調遞增，所以無+1>2無一3,解得尤<4,

所以原不等式的解集是(一-4),

故選：D.

變式7.(新疆克拉瑪依市2023屆高三三模數學試題)定義在R上的函數〃x)的導函數為/(X),/(-1)=-1,

對于任意的實數x均有山3./(刈</?)成立，且y=/(x-3+l的圖像關于點(；，1)對稱，則不等式

/(x)-3>2>0的解集為()

A.(1,+co)B.Li,+oo)C.(~x,-1)D.Loo,1)

【答案】A

【解析】因為>+1的圖像關于點(；，1)對稱，

所以y=f(x)是奇函數，

因為對任意的實數X均有l(wèi)n3./(x)<T(x)成立，

所以對任意的實數X均有l(wèi)n3.7(x)-，(x)<0成立，

令g(x)=T

3=/'⑺3-〃X)3/3J，⑺-〃x)ln3>o

則5\7代丁3，，

所以g(x)在R上遞增,

因為g(l)=^^=:，

又/(x)V>0=等_g>()o等>|og(x)>g(l),

所以x>l,

故選：A

變式8.(新昌中學2023屆高三下學期5月適應性考試數學試題)若定義在氏上的函數的導函數為了'(X),

且滿足/''(x)>/(x)J(2022)=e2°22,則不等式/日nx)<加的解集為()

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A.(O,e6066)B.(O,e2022)

20226066

C.(e,+Oo)D.(e,+Oo)

【答案】A

【解析】由題可設戶")=等，因為/'(x)-/(x)>0,

/(x)ex—/(x)e，=/(x)—/(x)

則尸(x)=>C,

e2xe

所以函數尸(x)在R上單調遞增,

-Inx

又"2022)=4^也可轉化為13

=1，不等式<P

e-Inx

e3

AFRlnxj<l=F(2022),

所以；lnx<2022,解得0<x<e6%

所以不等式/ginx卜近的解集為(04。66).

故選：A.

變式9.(吉林省長春市吉大附中實驗學校20222023學年高三上學期第四次摸底考試數學試題)設/'(')是

函數/(X)的導函數，且/'(x)>3〃x)(xeR),H=e(e為自然對數的底數)，則不等式/(inx)的

解集為()

A.?B.C.(0,%)

D.(Ve,+oo)

【答案】C

【解析】令g(x)=?3,則g，(x)」⑺了⑺,

因為了'(X)>3/(x)(x€R),

所以g'(x)=C^2>0,

所以函數g(x)在R上為增函數,

不等式/(lnx)<x3即不等式V

x>0

/(nx)/(lnx)

又g(lnx)==

g31nx%3

第12頁共40頁

所以不等式〃lnx)<x3即為g(lnx)<g[mj,

BPInx<1,解得0<x<Ve，

所以不等式/(lnx)<x3的解集為(0,庭).

故選：C.

變式10.(四川省綿陽市南山中學20222023學年高三二診熱身考試數學試題)已知定義在R上的可導函數

/⑴的導函數為了'(X),滿足/''(“</(尤)，且/(-x)=/(2+x),/(2)=1,則不等式〃x)ve，的解集為

()

A.(-℃,2)B.(2,+co)C.(1,+℃)D.(0,+司

【答案】D

【解析】因為/(-x)=/(x+2),所以了=/(x)的圖像關于直線x=l對稱，所以/(0)=為2)=1,

設g(x)=與，則g(x)，因為/'(x)</(無)，所以可⑺=/■)一"X)<o,所以g(x)在R上

eeex

為減函數，

又g(0)=/"=l，因為9(x)<e*,所以g(x)<l,,g(x)<g(0),所以x>0.

e

故選：D.

變式11.(山東省煙臺市2023屆高三二模數學試題)已知函數的定義域為R,其導函數為/'(X),且

滿足/'(x)+/(x)=e，/(0)=0,則不等式(e2、-l)/(x)<eT的解集為().

A.B.(~,e]

c.(-U)D.(-㈤

【答案】c

【解析】由廣(x)+〃x)=er得e了⑺+e"(x)=l,即3"(切'=1，

可設QXf(x)=x+m,

當x=0時，因/(0)=0得冽=0,

所以了(、)=打一”，

(e"-<e—可化為xeA^e2A

即XQX—xcx<e—

設8(%)=朧工-xe"1,

因g(-x)=-尤eT+xe*=g(x),故g(x)為偶函數

第13頁共40頁

g'(x)=ex+XQX+xe~x-e

當x20時，因尤&'+為尸20,ex-e-A>0,

故g'(x)=er+xex+-0,所以g(x)在區(qū)間［0,+8)上單調遞增,

所以當xW0時g(x)=xe，-xe"<e-1的解集為［0,1),

又因g(x)為偶函數，故g(x)<e-5的解集為(-1,1).

故選：C

變式12.(江西省九江十校2023屆高三第二次聯考數學試題)設函數“X)的定義域為R,其導函數為/'(x),

且滿足/(x)>/'(x)+l,7(0)=2023,則不等式e-"(x)>e='+2022(其中e為自然對數的底數)的解集是

()

A.(2022,+oo)B.(-oo,2023)C.(0,2022)D.(一叫。)

【答案】D

【解析】設g(x)=z^M，

e

V/(x)>/(x)+1,即/(x)+l<0,

，g(x)在R上單調遞減，又"0)=2023,

A-x

不等式e-/(x)>e+2022o>2022=/(0)-l=-八°『

即g(x)>g(0),.”<0,

原不等式的解集為(一甩0).

故選：D

【解題方法總結】

1、對于/'(x)-/(x)>0(<0),構造g(x)=，

(<0),構造g(x)=等

2、對于/'(x)—V(x)>0

題型五：利用sin%、tanx與/(x)構造型

例13.(江西省2023屆高三教學質量監(jiān)測數學試題)定義在區(qū)間［-方看］上的可導函數/'(X)關于了軸對

稱，當xe/'(x)cosx>/(x)sin(-x)恒成立，則不等式

第14頁共40頁

【答案】c

【解析】因為/'(x)cosx>/(x)sin(-%),化簡得了。)88%+/(%"加>0,

構造函數尸(加也尸(加/'(土°"/沖叫

cosxcosX

即當X*朗時，F(x)>0,F(x)單調遞增，

即尸門)>喟7.因為尸(x)為偶函數且在xe0占上單調遞增,

子。檸且"0

兀兀71

所以—<---X<解得Xe

2

x|>|"-x

故選：C.

例14.(天津市南開中學2023屆高三下學期統(tǒng)練二數學試題)已知可導函數/卜)是定義在上的

奇函數.當xe[o,1^時，f(x)+f'(x)tanx>0,則不等式cosx-/'[x+l^+sirix./Gx)>0的解集為(

C.

【答案】D

［解析］當xe］0,3時，/(x)+/"(x)tanx>0,則8S獷(％)+/r(x)sinx>0

則函數sin獷'(x)在(0,日上單調遞增，又可導函數上)是定義在上的奇函數

則sin步■⑺是,羽上的偶函數，且在修0)單調遞減，

可得辿、,0卜則升方中胃

第15頁共40頁

則時，不等式cosx-/[x+]J+sinx./(-x)>0

可化為sin[x+]J./(尤+]J>sin(-x)?/(_x)

又由函數sin#(x)在(0,?上單調遞增，且-xe[o,^|,x+^efo,^

則有胃”+>—>。，解之得常。<。

故選：D

(TTJT\

例15.函數歹=/(1)對任意的X￡[-5，])滿足尤+2/口)+/(x)sin2x=e'i(其中/'(尤)是函數/0)的導函

數)，則下列不等式成立的是()

【答案】D

【解析】令尸(x)=/(x)tanx,

r

b(x)=((x)況+/(x)」/(x)sinxcosx+/(x)f(x)sin2x+2/(x)

cosxcosXcos2x2cos2x

又由已知可得，2/(x)+f\x)sin2x=ex~x-x>0，所以戶‘知，

變式13.已知可導函數/(%)是定義在上的奇函數.當XE0,/時，/(x)+/\x)tanx>0,則不

等式cosx-/[x+|J+sinx?/(-x)>0的解集為()

71

A.B.C.

4

【答案】D

【解析】當xe10g時，/(%)+/'(x)tanx>0,貝!Jcos貨(x)+/r(x)sinx>0

第16頁共40頁

則函數sin獷（x）在,3上單調遞增，又可導函數〃x）是定義在兀71

上的奇函數

252

7171

則sinV"(x)是上的偶函數，且在［goj單調遞減,

252

——71<%+—71<7—1

222，可得一。）,則7171

由,x11x+,小嗎

71712

——<-X<—

I22

71

則xe|-去0卜寸，不等式cosx-/1x+m+sinx-/(-X)>0

2

可化為sin|x+|J-4x+i>sin(-x)-/㈠)

又由函數sinM'（x）在（0胃上單調遞增，且-xe0看71

則有]>x+]>-x>0,解之得一￡<x<0

故選：D

【解題方法總結】

1、對于sinx?/r(x)+cosx-/(x)>0(<0),構造g(x)=/(x)-sinx，

對于sin%?f'(x)-cosx-/(x)>0(<0),構造g(x)=/(”)

2、

sinx

3、對于正切型，可以通分（或者去分母）構造正弦或者余弦積商型

題型六：利用COSX與/（X）構造型

兀71

例16.（重慶市九龍坡區(qū)2023屆高三二模數學試題）已知偶函數/（X）的定義域為,其導函數為

252

/（X）,當04x<］時，有/'（x）cosx+/（x）sinx>0成立，則關于x的不等式〃x）>2/--cosx的解集

【答案】C

【解析】構造函數g（x）=E±04x<W，

cosx2

/、f(x)cosx-f(x)(cosx)_/'(%)cosx+/(x)sinx

g(x)=-------------->(，

cos2Xcos2X

第17頁共40頁

所以函數g(x)=△2在0,三］單調遞增，

cosxL2)

因為函數/'(X)為偶函數，所以函數g(x)=Z為也為偶函數，

COSX

且函數g(x)=4D在單調遞增，所以函數g(x)=」■在單調遞減,

cosxL2)cos%\1)

(兀兀、

因為［-,所以COSX〉0,

關于x的不等式/(X)>2/.COSX可變?yōu)?也即g(x)>g(g),

cosxci兀3

H>-一.一

所以g(|x|)>,貝IJ解得；或一

無無3223

----<x<—

I22

故選:C.

例17.已知偶函數/⑶的定義域為上三其導函數為/(X)，當0。苫時，有八x)cosx+/(x)sinx<0

成立，則關于x的不等式/(尤)<?COSX的解集為()

【答案】B

【解析】由題意，設g(x)=g,則g'(x)=r(x)c°sx：〃x)sinx,

cosxcosX

當0<x<5時，因為fr(x)cosx+f(x)sinx<0,貝!］有g'(x)<0,

所以g㈤在(o,?上單調遞減，

又因為/(x)在上是偶函數，可得g(-x)=j？4=13=g(x),

I22Jcos(-x)cosx

所以gQ)是偶函數，

由/(x)<w［j］cosx,可得何(￡),即2M即g(x)<g(￡)

cosx4cosxc…os一兀4

4

又由g(x)為偶函數，且在上為減函數，且定義域為1則有|尤|>￡,

第18頁共40頁

ATJ/pzt兀兀_p.冗兀

觸得一二<》<一丁或:<尤<:，

2442

即不等式的解集為￡|口，

故選：B.

例18.設函數〃x)在R上存在導數/'(%),對任意的XER,有/(x)+/(-x)=2cosx,且在［0,+8)上有

/,(x)>-sinx,則不等式〃xA/^-x'cosx-sinx的解集是()

A.［-8,jB.［了+叼C.［f7］D.［石,+4

【答案】B

【解析】設尸(x)=〃x)-cosx,

/(x)+/(-X)=2cosX,HP/(x)-cosx=cosx-/(-x),即尸(x)=-尸(-x),故尸(x)是奇函數，

由于函數/(X)在尺上存在導函數/(X),所以，函數“X)在尺上連續(xù)，則函數尸(X)在衣上連續(xù).

,在［0,+oo)上有/*(%)>-sinX,.?.戶'(尤)=/'(x)+sinx>0,

故廠(x)在［0,+⑹單調遞增，

又：尸(x)是奇函數，且尸(x)在R上連續(xù)，.?.尸(x)