1.1.2驗(yàn)證勾股定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用第一章

勾股定理【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說(shuō)出一個(gè)命題的逆命題。會(huì)判斷一個(gè)命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)對(duì)命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個(gè)命題的逆命題。難點(diǎn)判斷一個(gè)命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡(jiǎn)單的命題，如“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問(wèn)：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。舉例說(shuō)明：如原命題“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”，它的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”。讓學(xué)生進(jìn)一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，每個(gè)小組寫出3-5個(gè)命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個(gè)命題的真假。對(duì)于真命題，需要通過(guò)推理證明；對(duì)于假命題，只需舉一個(gè)反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”是假命題，因?yàn)閮蓚€(gè)相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。舉例說(shuō)明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強(qiáng)調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時(shí)，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個(gè)底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因?yàn)閷?duì)應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3）對(duì)頂角相等。判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）每個(gè)命題都有逆命題。（2）每個(gè)定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強(qiáng)調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過(guò)程，判斷命題真假時(shí)要說(shuō)明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個(gè)互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過(guò)程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與，通過(guò)實(shí)際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對(duì)于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要及時(shí)給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進(jìn)一步加強(qiáng)練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解知識(shí)回顧上節(jié)課我們已經(jīng)通過(guò)探索得到了勾股定理，請(qǐng)問(wèn)勾股定理的內(nèi)容是什么？直角三角形兩直角邊長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2

+b2=c2。ACBabc你能利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？你是如何說(shuō)明的？與同伴進(jìn)行交流。bac嘗試·思考為了計(jì)算圖中大正方形的面積，小明對(duì)這個(gè)大正方形適當(dāng)割補(bǔ)后，得到圖①、圖②。bacBACDabcBACDbac①②（1）將所有三角形和正方形的面積用含a，b，c

的式子表示出來(lái)。（2）圖①、圖②中正方形ABCD

的面積分別是多少？你有哪些

表示方式？（3）你能分別利用圖①、圖②驗(yàn)證勾股定理嗎？

勾股定理在我國(guó)有著悠久的歷史。漢末三國(guó)初數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家趙爽在給《周髀》作注時(shí)，給出了相對(duì)完整的表述：“勾、股各自乘，并之為弦實(shí)。開方除之，即弦?！彼谩肮垂蓤A方圖”直觀地論證了勾股定理。后人通常把圖①稱為“趙爽弦圖”，2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的主要圖案（如圖②）就取材于此圖。①②新知探索abacbcab大正方形的面積可以表示為c2。也可以表示為。4×

ab+(b-a)2因?yàn)閏2=4×

ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2所以c2=a2+b21.趙爽弦圖朱實(shí)黃實(shí)2.割補(bǔ)法abbbbccccaaa設(shè)大正方形的面積為S，則S=(a+b)2=a2+b2+2ab。又因?yàn)镾=4×ab+c2=2ab

+c2，12所以

a2+b2

=c2。你能看懂下圖是如何驗(yàn)證勾股定理嗎？中國(guó)的“青朱出入圖”以直角三角形的勾、股、弦為邊，分別作出正方形勾自乘為朱方股自乘為青方弦2=朱方+青方弦2=勾2+股23.青朱出入圖4.拼接法abcbac設(shè)梯形的面積為S，則S=(a+b)(a+b)=(a2+b2+2ab)，1212又因?yàn)镾=ab+ab+c2

=(2ab+c2)，12121212所以

a2+b2

=c2。有一類證明方法較為獨(dú)特，單靠移動(dòng)部分圖形就直觀地證明了勾股定理，被譽(yù)為“無(wú)字的證明”。古印度的“無(wú)字證明”意大利畫家達(dá)·芬奇的方法5.無(wú)字的證明

勾股定理在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了重大的作用，其證明方法據(jù)說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究，或到網(wǎng)上查閱勾股定理的相關(guān)資料。在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員王叔叔在距離一條東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛藍(lán)方汽車在這條公路上疾駛。他用紅外測(cè)距儀測(cè)得汽車與他相距400m；過(guò)了10s，測(cè)得汽車與他相距500m。你能幫王叔叔計(jì)算藍(lán)方汽車這10s的平均速度嗎？例題你能根據(jù)題意畫出圖形嗎？在你畫的圖形中存在一個(gè)怎樣的三角形？400m500mCB公路A分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，其中點(diǎn)A表示王叔叔所在位置，點(diǎn)C、點(diǎn)B表示兩個(gè)時(shí)刻藍(lán)方汽車的位置。由于王叔叔距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300m。藍(lán)方汽車10s行駛了300m，那么它平均每秒行駛

300÷10=30(m)，因此，藍(lán)方汽車這10s的平均速度為30m/s。400m500mCB公路A思考交流如果一個(gè)三角形是鈍角三角形或銳角三角形，那么它的三邊長(zhǎng)仍然滿足“較長(zhǎng)邊的平方等于另外兩邊的平方和”嗎？說(shuō)說(shuō)你的判斷和理由，并與同伴進(jìn)行交流。bacbac①在鈍角三角形中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c

為最大邊長(zhǎng)，則a2+b2<c2；bacbac②在銳角三角形中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c

為最大邊長(zhǎng)，則a2+b2>c2。S=9S=25S=10S=9S=10S=13隨堂練習(xí)如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖的一部分（單位：km），為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建設(shè)成本是5000萬(wàn)元/km，該沿江高速公路的建設(shè)成本預(yù)計(jì)是多少？解：可以計(jì)算出MO、OQ

長(zhǎng)度分別為50km，130km，合計(jì)長(zhǎng)度為180km，建設(shè)成本預(yù)計(jì)為90億元?！菊n本P6隨堂練習(xí)】304050120題型

勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用某條例規(guī)定小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò)70

km/h。如圖，一輛小汽車在一條城街路上沿直線由東向西勻速行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面車速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車在B

處與車速檢測(cè)儀A間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明。解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30m，AB

＝50

m。根據(jù)勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝502－302＝1600，所以BC

＝40

m。因?yàn)樾∑?s行駛了40

m，所以它的速度為＝20m/s。因?yàn)?0

m/s＝72km/h，且72>70，所以這輛小汽車超速了。402如圖，筆直的公路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)

B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得

C，D兩村到收購(gòu)站E的距離相等，則收購(gòu)站

E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？練習(xí)解：因?yàn)镈A⊥AB

于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，所以∠A=∠B=90°，所以AE2+AD2=DE2

，BE2+BC2=EC2。由題意可知D