第一章3.1不等式的性質(zhì)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能夠用作差法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小.2.理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).3.會(huì)用不等式的性質(zhì)證明不等式或解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

實(shí)數(shù)的大小比較比較實(shí)數(shù)a,b大小的依據(jù)思考辨析如果給定實(shí)數(shù)a與b,那么如何比較它們的大小呢?提示

通常是通過判斷它們的差(a-b)的符號(hào)來比較它們的大小.當(dāng)a與b同號(hào)且都不為0時(shí),也可通過它們的商與1的大小關(guān)系來比較它們的大小.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小只能用作差法.(

)(2)不等式x≥3的含義是指x不小于3.(

)(3)若a<b或a=b之中有一個(gè)正確,則a≤b正確.(

)2.[人教A版教材習(xí)題]比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.×√√解

因?yàn)?x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0,所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).知識(shí)點(diǎn)2

不等式的性質(zhì)

名稱表達(dá)式性質(zhì)1(傳遞性)如果a>b,且b>c,那么a>c性質(zhì)2(可加性)如果a>b,那么a+c>b+c(c∈R)性質(zhì)3(乘法法則)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc性質(zhì)4(同向不等式可加性)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d性質(zhì)5(不等式的可乘性)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.乘方法則:當(dāng)a>b>0時(shí),an>bn,其中n∈N+,n≥2性質(zhì)6(開方法則)當(dāng)a>b>0時(shí),,其中n∈N+,n≥2名師點(diǎn)睛1.注意“等式”與“不等式”的異同,如:等式不等式說明a=b?b=aa>b?b<a改變不等式方向a=b?ac=bc(c≠0)a>b?ac>bc或ac<bc(c≠0)討論c的符號(hào)2.要注意各個(gè)不等式成立的前提,如性質(zhì)4中兩個(gè)不等式方向要相同,性質(zhì)3中要按c的正負(fù)分情況.3.由性質(zhì)2,可得a+b>c?a+b+(-b)>c+(-b)?a>c-b,即不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號(hào)后移到不等號(hào)的另一邊,稱為移項(xiàng)法則,在解不等式時(shí)經(jīng)常用到.4.倒數(shù)法則:如果a>b,ab>0,那么

,結(jié)論成立的條件是a,b要同號(hào).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若a>b,則a-c>b-c.(

)(2)>1?a>b.(

)(3)若a>b且c>d,則a-c>b-d.(

)(4)若ac2>bc2,則a>b.(

)√××√2.[2024北京豐臺(tái)高一期末]下列說法正確的是(

)A.若a>b,則ac2>bc2B.若a>b,c>d,則a+c>b+dC.若a>b,c>d,則ac>bdB解析

當(dāng)a>b,c=0時(shí),ac2=bc2,故A錯(cuò)誤;當(dāng)a>b,c>d時(shí),a+c>b+d,故B正確;當(dāng)a=2,b=1,c=-1,d=-2時(shí),a>b,c>d,ac=bd,故C錯(cuò)誤;當(dāng)b=2,a=1,c=1時(shí),故D錯(cuò)誤.故選B.3.[人教A版教材習(xí)題]用不等號(hào)“>”或“<”填空:(1)如果a>b,c<d,那么a-c

b-d;

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac

bd;

><<<解析

(1)因?yàn)閏<d,所以-c>-d.因?yàn)閍>b,所以a-c>b-d.(2)因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0.因?yàn)閍>b>0,所以-ac>-bd,所以ac<bd.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一實(shí)數(shù)大小的比較【例1】

比較下列各組中的兩個(gè)代數(shù)式的大小:(1)2x2+3與x+2,x∈R;(2)a+2與,a∈R,且a≠1.規(guī)律方法

作差法是比較兩個(gè)代數(shù)式大小的基本方法,一般步驟是:(1)作差;(2)變形,變形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定號(hào),即確定差的符號(hào);(4)下結(jié)論,寫出兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系.變式訓(xùn)練1[2024廣東廣州高一期末]求解下列問題:(1)已知a∈R,比較(a+3)(a+7)和(a+4)(a+6)的大小;解

(1)因?yàn)?a+3)(a+7)-(a+4)(a+6)=a2+10a+21-a2-10a-24=-3<0,所以(a+3)(a+7)<(a+4)(a+6).(2)已知x<y<0,比較

的大小.探究點(diǎn)二不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用角度1應(yīng)用不等式性質(zhì)判斷命題真假【例2-1】

對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,判斷下列結(jié)論是否正確:(1)若a>b,則ac2>bc2;(2)若a<b<0,則a2>ab>b2;(3)若c>a>b>0,則

解

(1)當(dāng)c=0時(shí),有ac2=bc2.故該結(jié)論錯(cuò)誤.規(guī)律方法

1.解決這類問題時(shí),通常有兩種方法:一是直接利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理,看根據(jù)條件能否推出相應(yīng)的不等式;二是采用取特殊值的方法,判斷所給的不等式是否成立,尤其是在選擇題中經(jīng)常采用這種辦法.2.注意正確的倒數(shù)法則,應(yīng)該是a>b,ab>0?,不能誤認(rèn)為是a>b?在應(yīng)用時(shí)不能出錯(cuò).變式訓(xùn)練2已知a,b,c滿足c<b<a,且ac<0,則下列選項(xiàng)不一定成立的是(

)C角度2應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式【例2-2】

若a>b>0,c<d<0,e<0,求證:∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.(方法二)∵c<d<0,∴-c>-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0,規(guī)律方法

1.簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件,利用不等式的性質(zhì),通過對(duì)不等式變形得證.2.對(duì)于不等式兩邊都比較復(fù)雜的式子,直接利用不等式的性質(zhì)不易證得,可考慮將不等式兩邊作差,然后進(jìn)行變形,根據(jù)條件確定每一個(gè)因式的符號(hào),利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào),完成證明.變式訓(xùn)練3(1)[人教B版教材習(xí)題]求證:如果a>b,c<0,那么ac<bc.證明

ac-bc=(a-b)c.因?yàn)閍>b,所以a-b>0.又c<0,所以(a-b)c<0,所以ac-bc<0,即ac<bc.角度3利用不等式性質(zhì)求取值范圍【例2-3】

如果3<a<7,1<b<10,試求a+b,3a-2b,的取值范圍.解

因?yàn)?<a<7,1<b<10,所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17.故a+b的取值范圍為(4,17).又因?yàn)?<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19.故3a-2b的取值范圍為(-11,19).規(guī)律方法

利用不等式的性質(zhì)可以解決取值范圍問題,當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個(gè)變量求取值范圍時(shí),要注意兩個(gè)變量是相互制約的,不能分割開來,應(yīng)建立待求整體與已知變量之間的關(guān)系,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求出取值范圍.變式訓(xùn)練4已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范圍.解

設(shè)9a-b=x(a-b)+y(4a-b),則9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,即-1≤9a-b≤20.故9a-b的取值范圍為[-1,20].本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)不等式的性質(zhì);(2)不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.2.方法歸納:作差法、配方法.3.常見誤區(qū):注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性,即每條性質(zhì)是否具有可逆性.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12341.(多選題)已知a,b,c∈R,則下列結(jié)論不正確的是(

)ABD12342.(x+5)(x+7)

(x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)

<解析

(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+3