帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)一、帶電粒子的螺旋線運(yùn)動(dòng)和旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)空間中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分布是三維的,帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況可以是三維的。現(xiàn)在主要討論兩種情況:(1)空間中只存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁場(chǎng)的方向不平行也不垂直時(shí),帶電粒子在磁場(chǎng)中就做螺旋線運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)可分解為平行于磁場(chǎng)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于磁場(chǎng)平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)空間中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(或重力場(chǎng))平行時(shí),帶電粒子在一定的條件下就可以做旋進(jìn)運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)可分解為平行于磁場(chǎng)方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于磁場(chǎng)平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。例1(2024·湖南卷,14)如圖,有一內(nèi)半徑為2r、長為L的圓筒,左右端面圓心O'、O處各開有一小孔。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),取O'O方向?yàn)閤軸正方向建立xyz坐標(biāo)系。在筒內(nèi)x≤0區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向沿x軸正方向;筒外x≥0區(qū)域有一勻強(qiáng)電場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,方向沿y軸正方向。一電子槍在O'處向圓筒內(nèi)多個(gè)方向發(fā)射電子,電子初速度方向均在xOy平面內(nèi),且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e,設(shè)電子始終未與筒壁碰撞,不計(jì)電子之間的相互作用及電子的重力。(1)若所有電子均能經(jīng)過O進(jìn)入電場(chǎng),求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值;(2)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B,若進(jìn)入磁場(chǎng)中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ,求tanθ的絕對(duì)值;(3)取(1)問中最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B,求電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)y軸正方向的最大位移。

跟蹤訓(xùn)練1.(多選)(2025·陜西銅川模擬)利用電磁控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)和設(shè)備中得到廣泛應(yīng)用。如圖所示,空間內(nèi)有正立方體abcd-efgh區(qū)域,正方體區(qū)域內(nèi)存在著方向沿ae向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一帶電粒子從a點(diǎn)沿ab方向以速度v0進(jìn)入空間,粒子恰好通過c點(diǎn);第一次撤去磁場(chǎng),正方體內(nèi)加上豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E1,粒子仍從a點(diǎn)以原速度v0進(jìn)入電場(chǎng),粒子恰好通過f點(diǎn);第二次恢復(fù)原磁場(chǎng),同時(shí)換上豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E2,粒子仍從a點(diǎn)以原速度v0進(jìn)入場(chǎng)區(qū),粒子恰好通過g點(diǎn),不計(jì)粒子重力,正方體外無電場(chǎng)和磁場(chǎng),下列說法正確的是()A.電場(chǎng)強(qiáng)度E1大小為v0BB.粒子從a點(diǎn)到c點(diǎn)時(shí)間是從a點(diǎn)到f點(diǎn)時(shí)間的π2C.電場(chǎng)強(qiáng)度E2大小為8D.到達(dá)g點(diǎn)時(shí)速度大小為v02+二、帶電粒子在立體空間中的偏轉(zhuǎn)分析帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)時(shí),要發(fā)揮空間想象力,確定粒子在空間的位置關(guān)系。帶電粒子依次通過不同的空間,運(yùn)動(dòng)過程分為不同的階段,只要分析出每個(gè)階段上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,再利用兩個(gè)空間交界處粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和關(guān)聯(lián)條件即可解決問題。一般情況下利用降維法,要將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互相垂直的分運(yùn)動(dòng)來求解。例2(2025·山東濰坊模擬)如圖所示的O-xyz坐標(biāo)系中,0<x<3l的Ⅰ區(qū)域內(nèi)有沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在x>3l的Ⅱ區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上的點(diǎn)P(0,2l,0)以速度v0沿x軸正方向射入Ⅰ區(qū)域,從點(diǎn)Q進(jìn)入Ⅱ區(qū)域。粒子在Ⅱ區(qū)域內(nèi),第二次經(jīng)過x軸時(shí)粒子位于N點(diǎn),且速度方向與x軸正方向夾角β=π4。已知Ⅰ區(qū)域磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B0=mv(1)求粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸正方向夾角α;(2)求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E;(3)求粒子從P到N所用的時(shí)間;(4)粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí),在Ⅱ區(qū)域施加沿y軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B0=mv02ql,求粒子離開N點(diǎn)經(jīng)過t'=

跟蹤訓(xùn)練2.2021年中國全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的紀(jì)錄。為粗略了解等離子體在托卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀況,某同學(xué)將一小段真空室內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)理想化為方向均水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)(如圖所示),電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。若某電荷量為q的正離子在此電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),其速度平行于磁場(chǎng)方向的分量大小為v1,垂直于磁場(chǎng)方向的分量大小為v2,不計(jì)離子重力,則()A.靜電力的瞬時(shí)功率為qEvB.該離子受到的洛倫茲力大小為qv1BC.v2與v1的比值不斷變大D.該離子的加速度大小不變3.(2025·廣東廣州模擬)如圖所示,以長方體abcd-a'b'c'd'的ad邊中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)、ad方向?yàn)閤軸正方向、a'a方向?yàn)閥軸正方向、ab方向?yàn)閦軸正方向建立O-xyz坐標(biāo)系,已知Oa=ab=aa'=L。長方體中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力),從O點(diǎn)沿z軸正方向以初速度v射入磁場(chǎng)中,恰好從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)。(1)求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小;(2)若在長方體中加上沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),讓粒子仍從O點(diǎn)沿z軸正方向以初速度v射入磁場(chǎng)中,為使粒子能從a'點(diǎn)射出磁場(chǎng),求電場(chǎng)強(qiáng)度E1的大小;(3)若在長方體中加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E2=23mv2qL、方向沿z軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),讓該粒子仍從O點(diǎn)沿z軸正方向以初速度v射入磁場(chǎng)中,