11/11專題30立體幾何必刷31道大題【題型01：空間中的距離問(wèn)題】1．（24-25高二上·吉林白山·月考）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，，分別為棱，的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)E到直線BF的距離(2)求與平面所成角的正弦值；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到直線的距離，從而得解；（2）利用（1）中結(jié)論，求得向量與平面的法向量，利用向量法求得線面角的正弦值，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，所以，，則在的投影長(zhǎng)度為，且，所以點(diǎn)E到直線BF的距離為.（2）由（1）得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)與平面所成角為，，則，所以與平面所成角的正弦值為.2．（24-25高二下·江蘇南京·月考）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中點(diǎn).

(1)求異面直線AE和PD所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)，利用異面直線所成角的空間向量計(jì)算方法即可解答.（2）先求出平面CDE的法向量和；再根據(jù)點(diǎn)到直線距離的空間向量計(jì)算方法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，是棱的中點(diǎn)，，則，，，，，.則，.所以，，.設(shè)異面直線AE和PD所成角為，則.（2）因?yàn)?，，，所以?設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，則.又因?yàn)?，所以點(diǎn)B到平面CDE的距離為.3．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，求：

(1)點(diǎn)到直線的距離；(2)平面與平面間的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得，，再利用點(diǎn)線距的向量法，即可求解；（2）根據(jù)條件得到平面平面，從而將面面距轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距，求出平面的一個(gè)法向量及，再利用點(diǎn)面距的向量法，即可求解.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，則，，，所以，，所以點(diǎn)到直線的距離為.

（2）由（1）知，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得到，取，得到，所以，易知，面，面，所以面，又，面，面，所以面，又，面，所以平面平面，所以平面與平面間的距離即為點(diǎn)到平面的距離，又點(diǎn)到平面的距離為，所以平面與平面間的距離為.4．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如圖，在四棱錐中．底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若，且點(diǎn)到平面的距離為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；(3)．【分析】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）以向量為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值；（3）由（2）可得，再由求解即可.【詳解】（1）如圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，底面為矩形，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖，以向量為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，，，所以平面的法向量，且平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.（3）由（2）可得，，，，，，平面的法向量，故，設(shè)點(diǎn)與平面的距離為，則，解得．【題型02：求線面角】5．（24-25高二下·廣東深圳·期末）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，連接，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得出，由中位線的性質(zhì)得出，則，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，連接，在直三棱柱中，平面，平面，故，在平面內(nèi)，因?yàn)?，，故，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以，，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，由題意可知，為的中點(diǎn)，所以，故為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由已知得，如圖，以為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.6．（24-25高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，點(diǎn)在棱上，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，即可利用空間向量法證明線面平行；（2）由（1），利用空間向量法求解線面角即可.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，且，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，由，得，即，得，解得，即.所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，有，則，又平面，所以平面.（2）由（1）知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，設(shè)與平面所成角為（為銳角），則，所以，即與平面所成角的余弦值為.7．（24-25高二下·江蘇連云港·月考）如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，可得答案；（2）由（1）的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量與直線的方向向量，可得答案.【詳解】（1），，所以，又，，又，，，.在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，令，得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，又平面與平面不重合，平面平面.（2）當(dāng)時(shí)，為平面的一個(gè)法向量，，則，設(shè)，，，設(shè)直線與平面所成角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【題型03：已知線面角求其他量】8．（24-25高二下·江蘇南京·月考）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為棱所在直線上一點(diǎn)，且（）.(1)若，求直線與所成角的余弦值；(2)若直線與平面所成角為45°，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的夾角公式求出兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到異面直線與所成角的余弦值；（2）同樣先建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量坐標(biāo)，再求出平面的法向量，最后根據(jù)直線與平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值.【詳解】（1）建立空間直角坐標(biāo)系并求點(diǎn)的坐標(biāo)：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.已知正方體棱長(zhǎng)為，則，，.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為；又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.所以，.根據(jù)向量的夾角公式，，，所以.因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.（2）因?yàn)?，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.那么，，.

設(shè)平面的法向量為，有，即.令，得，解得；把，代入得，解得.所以.

已知直線與平面所成角為，根據(jù)線面角向量關(guān)系（為線面角），則.等式兩邊同時(shí)平方得.化簡(jiǎn)：，即.展開(kāi)得.移項(xiàng)整理得，又因?yàn)?，所以，解?

9．（24-25高二下·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上.

(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)Q，使DC與平面DEQ所成角的正弦值為，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或.【分析】（1）取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)利用線面垂直的判定定理得平面PBO，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，求出平面DEQ的法向量，利用線面角的向量公式列方程求出，即可得解.【詳解】（1）證明：取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB.∵，∴，在菱形ABCD中，，可得為等邊三角形，∴，又∵PO，平面PBO，且，∴平面PBO，∵平面PBO，∴.

（2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面，且平面PAD，∴平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，假設(shè)存在點(diǎn)Q滿足題意，設(shè)，，則，∴，，，，設(shè)平面DEQ的法向量為，則令，則，，∴.設(shè)DC與平面DEQ所成角為，則，解得或.∴存在點(diǎn)Q，使得DC與平面DEQ所成角的正弦值為，此時(shí)或.10．（24-25高二下·天津河?xùn)|·期末）如圖，在多面體ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四邊形PDCE為矩形，底面四邊形ABCD滿足，AB⊥AD，∥(1)求證：平面(2)求三棱錐外接球的體積：(3)F為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段EF上，若直線BQ與平面PBC所成角的大小為求FQ的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可證明；（2）根據(jù)幾何體外接球半徑的求法，結(jié)合球的體積公式即可求解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，再利用線面角的向量法求出，再根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）由（1）知平面，平面，所以，所以Rt的外心為的中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)椋訰t的外心為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，，所以外接球的半徑，則三棱錐外接球的體積為；（3）因?yàn)槠矫?，所以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，則，因?yàn)榕c平面所成角的大小為，所以，即，整理得，所以，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，則．【題型04：求二面角或平面與平面所成角】11．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）如圖（1），在平面四邊形中，，，形如這樣的四邊形稱為“箏形”，將沿著翻折得到三棱錐，如圖（2），設(shè)的中點(diǎn)為.(1)證明：平面平面；(2)在圖（2）中，若，，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)線面垂直可證明面面垂直；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可計(jì)算兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）由題意得，，，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由得為中點(diǎn).因?yàn)?，，所?,,所以.由（1）得，平面平面，又平面平面，平面，所以平面.如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，取,則.設(shè)平面的法向量為，則，取,則.因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.12．（24-25高二下·廣西崇左·期末）如圖，在四棱錐中，為正三角形，，，，，．(1)證明：底面．(2)過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，指出垂足的位置，并求四面體的體積．(3)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)點(diǎn)在中點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解；(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得和，再利用線面垂直的判定即可證明；（2）由題知點(diǎn)在中點(diǎn)，先證平面，得到，又，即可證平面，即點(diǎn)在中點(diǎn)；由底面，點(diǎn)為中點(diǎn)，得到即可求得四面體的體積；（3）以為原點(diǎn)建立空間直接坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用二面角與平面法向量的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）證明：，，，即，又，，為正三角形，所以，，即，又平面，所以底面（2）點(diǎn)在中點(diǎn)，理由如下，底面，底面，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又為中點(diǎn)，，所以，又平面，所以平面，故點(diǎn)在中點(diǎn)，，，，底面，，所以四面體的體積為.（3）設(shè)中點(diǎn)為，連接，，，即，，底面，所以以為原點(diǎn)建立空間直接坐標(biāo)系，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，不妨取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，不妨取，則，，，所以二面角的正弦值為.13．（24-25高二下·云南麗江·期末）如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若且，求平面與平面所成銳二面角余弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，，即證，利用線面平行的判斷定理即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，，由已知得四邊形是矩形，故與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以．又平面內(nèi)，平面，所以平面；（2）由于在直三棱柱中，平面底面，且平面平面故過(guò)在平面內(nèi)作直線，所以直線平面，又，平面，所以，，由于直線，，兩兩垂直，故分別以直線，，為軸、軸、軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．

由于，設(shè)，則，故，，，，設(shè)點(diǎn)，由于，，，所以，即，故，設(shè)平面的法向量為，，，由于，所以令，則，即，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則，由于，所以，所以平面與平面所成角的余弦值的取值范圍是．【題型05：已知二面角求其他量】14．（24-25高二下·四川瀘州·期中）如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)Q為棱PC上一點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）在四棱錐中由勾股定理計(jì)算可證明，，結(jié)合線面垂直判定定理可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面和平面的法向量，設(shè)，再利用二面角的余弦值解方程可得.【詳解】（1）在四棱錐中，由，，，，得，，則，，又，且，平面，所以平面．（2）由（1）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，可得，，，設(shè)（），則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，由，解得，令，，得，由二面角的余弦值為，得，即，整理得，解得，所以．15．（24-25高二下·湖南·月考）如圖，是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知，且，平面平面．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值等于？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，應(yīng)用面面、線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明面，最后應(yīng)用線面垂直的判定和性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知確定三棱錐的體積取得最大有，過(guò)點(diǎn)作于，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法，結(jié)合面面角的余弦值，求解即可.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于，由平面平面，平面平面，平面，平面，平面，故，又為直徑，易知，且由于，，則不可能重合，重合的話，與三角形內(nèi)角和矛盾.則平面，所以平面，平面，，且，平面，，平面，平面，故.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，取到最大值，過(guò)點(diǎn)作于，建立以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)垂直于平面的方向?yàn)檩S的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)平面與平面的法向量分別為，易知平面的法向量可取，則，設(shè)，則，則，所以，則，令，可得，由于平面與平面夾角的余弦值.則，因此，即，即，即，解得或(舍去).此時(shí)，，則.故線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值等于，且.16．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置（如圖2），使得.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)，若二面角的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)或【分析】（1）在平面圖形中，先證，則折疊后，，，利用線面垂直的判定定理判定線面垂直.（2）根據(jù)兩兩垂直，故可以以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的三角函數(shù)值.（3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根據(jù)二面角的正弦值求的值.【詳解】（1）在圖1中，連接，交于點(diǎn)，，.因?yàn)?，，，，且，所以，?因?yàn)椋?

所以圖2中，，，平面，所以平面.平面.所以.（2）又因?yàn)?，由，即，所?所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則.（3）因?yàn)?，所以所以，?則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取.設(shè)平面的法向量為，則,取.設(shè)二面角為，由得：.即，整理得：，解得：或.【題型06：平行中的探索性問(wèn)題】17．（24-25高二上·廣東廣州·月考）在四棱錐中，面面，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，的值為【分析】（1）首先利用面面垂直的性質(zhì)證明，然后結(jié)合已知條件利用線面垂直的判定定理即可證明平面.進(jìn)而得到面面垂直.（2）首先假設(shè)存在點(diǎn)，根據(jù)已知條件和（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量與垂直求解即可.【詳解】（1）平面平面且平面平面，平面平面平面又，平面.平面平面平面.（2）假設(shè)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面取中點(diǎn)，連接，，如下圖，，，，從而，故平面，又平面平面且平面平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由題意可知，，，，，設(shè)點(diǎn)在棱上，故，，故設(shè)平面的法向量為故，令，則，從而平面的法向量可以取平面，解得，故假設(shè)成立，存在這樣的點(diǎn)，使得平面，此時(shí)即，從而18．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期中）在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，.【分析】（1）利用線線平行證明線面平行即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究面面垂直計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)樵谔菪沃?，，，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)榫€段點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，所以中，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，所以四邊形是菱形，則，垂足為，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以是二面角的平面角，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以，即，如圖所示，分別以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，設(shè)，，因?yàn)椋?，由設(shè)平面的法向量為，則，令，則，由，設(shè)平面的法向量為，則，令，則可得，則，解得，即為線段的中點(diǎn)，此時(shí).【題型07：垂直中的探索性問(wèn)題】19．（24-25高二上·浙江紹興·期末）如圖，在三棱柱中，底面，，，，為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)試判斷是否存在，使得直線.若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）由條件證明，，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求向量，的坐標(biāo)，由條件列方程求即可.【詳解】（1）在三棱柱中，底面，平面，，，為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，設(shè)，則，，，若，則，解得，所以存在，使得直線，此時(shí).20．（24-25高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易證四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及平面列出方程組求解即可.【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線段上存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí).21．（24-25高二上·重慶·期中）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，，平面平面.

(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)線段是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，如果存在找出點(diǎn)的位置，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用線面垂直的判定可得平面，然后利用線面垂直性質(zhì)定理結(jié)合平行即可得證.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦定理，利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.（3）以為原點(diǎn)，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，平面的法向量為，平面的法向量為，求出兩個(gè)平面的法向量，由即可求解.【詳解】（1）連接，由四邊形為菱形，得，由，得，又平面平面，平面平面，面ABC，則平面，又平面，于是，而，則，又，平面，因此平面，又平面，所以

（2）點(diǎn)到平面的距離，即三棱錐的底面上的高，由（1）知平面，則三棱錐的底面上的高為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，由，得，而，，則的面積，由，，得，又，，則，又，，由余弦定理得，則，的面積，則，即，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）

取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，，即，如圖，以為原點(diǎn)，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，可得，使得平面平面，則，解得，故上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面平面.【題型08：距離中的探索性問(wèn)題】22．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，，分別為所在邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為．若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【分析】（1）連接，證明，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明平面，取邊的中點(diǎn)記為，建立空間直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，再求線段的長(zhǎng)度；（2）求平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)，求平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法求點(diǎn)到平面的距離，列方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由已知，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，又面，所以平面；取邊的中點(diǎn)記為，則；以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以；（2）由（1），，，，所以，，，記平面的法向量為，所以，不妨取，得，所以為平面的一個(gè)法向量；記直線與平面的所成角為，則，所以，直線與平面的所成角的正弦值為；（3）設(shè)，其中，，，，，，記平面的一個(gè)法向量為，則有，不妨取，解得，即；則點(diǎn)到平面的距離，整理得：即，解得或（舍去），所以，當(dāng)點(diǎn)位于線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為．23．（24-25高二下·湖北·月考）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，E為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若，與平面所成的角為，（I）求三棱錐的體積；（II）試問(wèn)在側(cè)面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求出點(diǎn)到直線的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（I）8；（II）存在，【分析】（1）通過(guò)證明平面可完成證明；（2）（I）在平面內(nèi)作于，連接，由面面垂性質(zhì)可得平面，據(jù)此可得，，即可得體積；（II）方法1，以O(shè)B，OC，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點(diǎn)，設(shè)，由平面，可得點(diǎn)N坐標(biāo)，然后由向量知識(shí)可得答案；方法2，由題可得點(diǎn)B在三角形內(nèi)的射影N為等腰銳角三角形的外心，由（I）可得，然后由圖及勾股定理可得答案.【詳解】（1）由四邊形是直角梯形，，，可得，，從而是等邊三角形，，BD平分.∵E為的中點(diǎn)，，，又，，平面，平面平面，平面，所以平面平面.（2）（I）在平面內(nèi)作于，連接，由（1）有平面，又平面，∴平面平面.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫矫鏋榕c平面所成的角，則，由題意得，，，為的中點(diǎn)，.又，所以三棱錐P-BDC的體積為；（II）方法一：（向量法）以O(shè)B，OC，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點(diǎn)，使得平面成立，設(shè)，由題意得，，，，由，得，解得，，滿足題意，，點(diǎn)N存在.，，，所以，，，所以點(diǎn)到直線PC的距離方法二：（傳統(tǒng)方法）由條件可知，，且三角形為，的等腰銳角三角形，所以點(diǎn)B在三角形內(nèi)的射影N為等腰銳角三角形的外心，所以點(diǎn)N必在側(cè)面PCD的內(nèi)部.由（I）知三棱錐的體積為，，由體積轉(zhuǎn)化可得，，在直角中，由勾股定理可得，E為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線PC的距離【題型09：線面角、二面角中的探索性問(wèn)題】24．（24-25高二上·廣東·期中）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．(1)證明：在翻折過(guò)程中總有平面平面；(2)若平面平面，線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，為上靠近的三等分點(diǎn).【分析】（1）先證平面，結(jié)合面面垂直的判定定理證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面所成角的余弦值來(lái)列方程，從而求得點(diǎn)的位置.【詳解】（1）折疊前，四邊形是菱形，所以，由分別是邊的中點(diǎn)，所以，故，折疊過(guò)程中且都在面，所以面，故面，面，所以面面.（2）當(dāng)面面時(shí)，由面面，面，，所以面，又面，故，綜上，可建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，所以，則，，設(shè)面的法向量為，則，取，則，而面的一個(gè)法向量為，若面與面的夾角為，則，解得，所以為上靠近的三等分點(diǎn)，滿足題設(shè)要求.25．（24-25高二下·四川南充·月考）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)二面角的大小；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成夾角為．若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)證得，再利用線面垂直證得面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角；（3）利用向量法結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算表示出線面角，求出的系數(shù)不符合題意，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，底面為菱形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又平面，平面，又平面，平面平面.（2）平面，且底面為菱形，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，以向量方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，底面為菱形，且，則為等邊三角形，，，分別為的中點(diǎn)，，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，令，則，底面為菱形，，平面平面，且平面平面平面，平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角大小為，則．所以二面角的大小為；（3）不存在，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，由可得，則，則，則，由題意，若直線與平面所成夾角為，則，整理得，解出又因?yàn)?，所以不符合題意，故線段上不存在這樣的點(diǎn)．26．（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角（即兩個(gè)平面相交時(shí)所成的銳二面角）的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【分析】（1）由線面垂直得到，進(jìn)而得到線面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和法向量，結(jié)合點(diǎn)面距離公式計(jì)算即可；（3）結(jié)合（2），設(shè)，得到平面的一個(gè)法向量，結(jié)合題意，構(gòu)造方程計(jì)算即可.【詳解】（1）由平面平面，則，又，由，且平面，所以面，又面，所以平面平面.（2）由（1）易知，又，過(guò)作于，由面面，面面面，所以面，過(guò)作，易知，故可構(gòu)建如圖示空間直角坐標(biāo)系.又，則，所以，若是面的一個(gè)法向量，則解得，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）同（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，易知平面的法向量設(shè)，于是，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，所以，整理得，即或（舍）故，所以27．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.(1)證明：無(wú)論取何值，總有；(2)當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成角最大?并求該角取最大值時(shí)的正切值；(3)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角的正弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；(3)存在；點(diǎn)的位置在【分析】（1）以，，別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，即；（2）設(shè)出平面的一個(gè)法向量，表達(dá)出，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的值，進(jìn)而求出此時(shí)的正切值；（3）假設(shè)存在，利用平面與平面所成的二面角的余弦值為，則平面與平面法向量的夾角的余弦值為，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的方程，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，即，，∵，∴，所以無(wú)論取何值，.（2）∵是平面ABC的一個(gè)法向量.∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，.（3）假設(shè)存在，則，因?yàn)椋O(shè)是平面的一個(gè)法向量.則，解得，令，得，，∴，∴，化簡(jiǎn)得，解得，∴存在點(diǎn)使得平面與平面所成的二面角正弦值為，此時(shí)點(diǎn)的位置在.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求二面角時(shí)可用分別求出兩個(gè)面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，進(jìn)而求出角度.【題型10：折疊問(wèn)題】28．（24-25高二下·廣東深圳·期末）如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為2，，將沿折起至（如圖2），且點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面：(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用已知條件及面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，，在菱形中，，，且既是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，又，是等邊三角形，，，又，，平面，平面，平面，，，又是的中點(diǎn)，，又，、平面，平面，平面，平面平面；（2）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，作平而，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，，，解得，又折疊過(guò)程中，，，解得，，，，由（1）知平而，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，，設(shè)平面與平面夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.29．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，等腰梯形是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形拼成，現(xiàn)將沿翻折至，使得，如圖2所示.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)試問(wèn)在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)不存在，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)全等三角形性質(zhì)，利用線面垂直判定定理可證明平面，再由線面垂直性質(zhì)可得；（2）利用空間向量，求出平面法向量以及直線的方向向量，根據(jù)線面角與空間向量之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，利用向量法能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）在圖1連接交于點(diǎn)，在圖2中，知、都是等邊三角形，得，，又，平面，可得平面；又直線平面，所以.（2）因?yàn)?，，則在中，由，由余弦定理得，作，垂足為，連接，得，，如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，，，分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因此，設(shè)平面的法向量為