【03-暑假培優(yōu)練】專題02立體幾何大題綜合歸類(12大鞏固提升練+能力提升練+高考真題練)(學(xué)生版)-2025年新高二數(shù)學(xué)暑假銜接講練(人教A版)專題02立體幾何大題綜合歸類內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：存在型證明與計算題型二：翻折型證明與計算題型三：投影型證明與計算題型四：斜棱柱型垂線法建系與證明題型五：斜棱柱型垂面法建系與證明題型六：等角建系與證明題型七：二面角機器延長線建系與證明題型八：最值范圍型題型九：特殊幾何體：臺體型題型十：五面體等特殊幾何體題型十一：動點型求角度最大（?。╊}型十二：壓軸難題第19題?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01存在型證明與計算?技巧積累與運用用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)線線垂直：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.(3)面面垂直：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.1．如圖，在三棱錐中，，．

(1)證明：；(2)在棱上是否存在點（不與端點重合），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由．2．如圖，在三棱錐中，，，，二面角為直二面角，為線段的中點，點在線段上（不含端點位置）.(1)若平面，求的值；(2)若，求的值；若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.如圖，已知四棱柱的底面為菱形，，，，．

(1)若為中點，證明：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，若存在，求出；若不存在，請說明理由．題型02翻折型證明與計算?技巧積累與運用翻折翻折前后，在同一平平面內(nèi)的點線關(guān)系不變翻折過程中是否存在垂直或者平行等特殊位置關(guān)系翻折過程中，角度是否為定值翻折過程中，體積是否存在變化如圖1所示的五邊形中，四邊形為直角梯形，，，，在中，，將沿著折疊使得二面角的大小為，且此時點到底面的距離為，如圖2所示．

(1)過點是否存在直線，使直線平面？若存在，作出該直線，并寫出作法與理由；若不存在，請說明理由；(2)求平面與平面的夾角的正弦值．2．如圖1，等腰直角的斜邊，為的中點，沿上的高折疊，使得二面角為，如圖2，為的中點．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．(3)試問在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由．3．如圖1，菱形的邊長為4，，是的中點，將沿著翻折，使點到點處，連接，得到如圖2所示的四棱錐.(1)證明：；(2)當時，求平面與平面的夾角的正弦值.題型03投影型證明與建系?技巧積累與運用投影：1.直接轉(zhuǎn)化為線面垂直與面面垂直。2.投影，與圓的外接圓圓心有關(guān)：斜線長相等，則射影長相等。射影長相等，則垂心為三角形外接圓圓心。證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.2．如圖，在三棱錐中，為的中點，底面.(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離；(3)若點在平面上的投影恰好是的重心，求線段的長.3．如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點在平面ABC上的投影為AC的中點D，且．(1)求點C到側(cè)面的距離；在線段上是否存在點E，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．題型04斜棱柱型垂線法建系與證明?技巧積累與運用斜棱柱垂線型建系如果存在垂線（投影型）斜棱柱，則可以直接借助垂線作為z軸建系，下底面，可以尋找或者做出一對垂線作為xy軸。這類建系，主要難點是分析“空中”的點的坐標?？罩悬c坐標可以有以下思維：讓空中點垂直砸下來（落下來，尋找投影），投影點坐標以及下落的高度借助向量相等，尋找空中點所在線段的向量對應(yīng)的底面相等向量，即可計算出空中點的坐標如圖，四棱柱的底面是矩形，，，，為的中點，且．(1)證明：平面平面．(2)若二面角的余弦值為，求．2．如圖，在平行六面體中，底面是矩形，，，點E，F(xiàn)分別為，，的中點，且.(1)證明：平面平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點，二面角的大小是．(1)求證：平面平面；(2)若為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．題型05斜棱柱型垂面法建系與證明如圖，三棱柱的所有棱長均為2，且在底面上的射影為的中點是上的點，平面平面.(1)證明：四邊形為矩形；(2)求平面與平面所成角的正弦值.2．如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，、分別是、的中點，平面平面，，．(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.3．（24-25高二上·河南鄭州·期中）在如圖所示的空間幾何體中，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，為的中點.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.題型06等角型建系與證明?技巧積累與運用1．如圖，在平行六面體中，，，，E是的中點，設(shè)，，.(1)用向量，，表示向量，并求向量的模；(2)證明：.2．如圖，已知斜四棱柱的側(cè)面和底面均為全等的菱形，且，．(1)證明：平面平面；(2)若為的中點，求二面角的余弦值.3．空間中，我們將至少兩條坐標軸不垂直的坐標系稱為“空間斜坐標系”．類比空間直角坐標系，分別為“空間斜坐標系”中三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜坐標為，記作．如圖，在平行六面體中，，，，．以為基底建立“空間斜坐標系”．(1)若點在平面內(nèi)，且平面，求的斜坐標；(2)若的斜坐標為，求平面與平面的夾角的余弦值．題型07二面角及其延長線建系與證明?技巧積累與運用計算二面角，常用方法向量法：二面角的大小為(),2.定義法：在棱上任一點，分別在兩個半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角二面角延長線型特征：19．（2023·江西·模擬預(yù)測）如圖，已知菱形中，，點為邊的中點，沿將折起，得到且二面角的大小為，點在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.2．如圖（1），在邊長為4的菱形中，，點是邊的中點，連交對角線于點，將沿對角線折起得到如圖（2）所示的三棱錐．(1)點是邊上一點且，連，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值．3．如圖，平面五邊形中，△是邊長為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點翻折到點．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．題型08最值范圍型?技巧積累與運用通常做法是先找到動點的軌跡，做題時要充分利用圖形的特征，平常注意總結(jié)截面的做法.1、計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解．1．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為4的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．(1)當時，求三棱柱的體積；(2)設(shè)點P為側(cè)棱上一動點，當時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點.

(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.3．如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點是中點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當二面角為直二面角時，求點到平面的距離；(2)在（1）的條件下，設(shè)點為線段上任意一點（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．題型09特殊幾何體：臺體型1．）如圖，在三棱臺中，平面，，，，D是棱AC的中點，E為棱BC上一動點.(1)判斷是否存在點E，使平面.(2)是否存在點E，使平面平面?若存在，求此時與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.2．如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.(1)求該幾何體的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.3．如圖，在四棱臺中，平面平面.(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)求點關(guān)于平面的對稱點到平面的距離.題型10五面體等特殊幾何體1．在如圖所示的多面體中，平面平面，且是的中點.(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若點為的中點，求直線與平面所成的角的大小.2．如圖，在多面體中，，，四邊形是邊長為2的菱形，為棱上一點．(1)若，證明：平面；(2)若平面，，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長．3．如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對的中點.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)點是內(nèi)一動點，，當線段的長最小時，求直線與直線所成角的余弦值.題型11動點型求角度等最大（?。?技巧積累與運用計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.1．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，.(1)若平面平面，求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若是線段上動點，為中點，試確定點的位置，使得直線與平面所成角最大，并求出該最大角.2．如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點，點Q在線段上，且.(1)求證：平面；(2)當，時，求平面與平面夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，若為內(nèi)的動點，平面，且與平面所成的角最大，試確定點G的位置.3．棱長為2的正方體，M為正方體中心，將四棱錐繞逆時針旋轉(zhuǎn)（）后得到四棱錐，如圖1.

(1)求四棱錐的表面積和體積；(2)若（如圖2），求證：平面平面；(3)求為多少時，直線與直線DC所成角最小，并求出最小角的余弦值.題型12壓軸難題第19題1．球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對于半徑為的球，過球面上一點作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點稱為球面角的頂點，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點，可以得到經(jīng)過這三點中任意兩點的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點稱為球面的頂點；三個球面角稱為球面的三個內(nèi)角.已知球心為的單位球面上有不同在一個大圓上的三點.(1)球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請直接寫出球面的內(nèi)角和（無需證明）；(2)與二面角類比，我們稱從點出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點稱為三面角的頂點，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個面角的余弦值分別為.①求球面的三個內(nèi)角的余弦值；②求球面的面積.2．在空間直角坐標系Oxyz中，這點且以為方向向量的直線方程可表示為，過點且以為法向量的平面方程可表示為．(1)已知直線的方程為，直線的方程為．請分別寫出直線和直線的一個方向向量．(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點構(gòu)成了多面體Ω的各個面，求Ω的體積和相鄰兩個面所在平面的夾角的余弦值．3．已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線，，分別交于點，，且，點在直線上，為的中點，且直線平面.（1）設(shè)，，，試用基底表示向量；（2）證明，四面體中至少存在一個頂點從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個三角形；（3）證明，對所有滿足條件的平面，點都落在某一條長為的線段上.能力培優(yōu)1．在空間直角坐標系中，已知向量，點.若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，直線的方向向量為，求直線與平面所角的正弦值；(2)已知集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體體積為，集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求的值及幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的余弦值.