PAGE12019年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上.】1．（4分）如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊的比為4：5，那么它們對應(yīng)中線的比是（）A． B．2：5 C．4：5 D．16：25【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì)．【專題】55D：圖形的相似．【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比的比等于相似比解答．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊的比為4：5，∴它們對應(yīng)中線的比為4：5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)中線的比的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．2．（4分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則sinA的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)角的正弦，等于角的對邊比斜邊，可得答案．【解答】解：由勾股定理得AB＝＝5，sinA＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出斜邊，再求出正弦值．3．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，如果把拋物線y＝﹣2x2向上平移1個(gè)單位，那么得到的拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x﹣1）2 C．y＝﹣2x2+1 D．y＝﹣2x2﹣1【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】直接利用二次函數(shù)平移規(guī)律進(jìn)而得出答案．【解答】解：把拋物線y＝﹣2x2向上平移1個(gè)單位，則得到的拋物線的表達(dá)式是：y＝﹣2x2+1．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確得出平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（4分）已知、、都是非零向量．下列條件中，不能判定∥的是（）A． B． C．∥，∥ D．，【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【專題】2B：探究型．【分析】根據(jù)平行向量的定義（兩個(gè)向量方向相同或相反，即為平行向量）分析求解即可求得答案．【解答】解：A、只能說明與的模相等，不能判定∥，故本選項(xiàng)符合題意．B、說明與的方向相同，能判定∥，故本選項(xiàng)不符合題意．C、∥，∥，能判定∥，故本選項(xiàng)不符合題意．D、，說明與的方向相反，能判定∥，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意掌握平行向量與向量的模的定義是解此題的關(guān)鍵．5．（4分）已知某條傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1：2，如果它把一物體從地面送到離地面9米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是（）A．18米 B．4.5米 C．米 D．米．【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖：由題意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝9米，AE⊥BD，∵i＝＝，∴BE＝18米，∴在Rt△ABE中，AB＝＝9（米）．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了坡度坡角問題．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義．6．（4分）如圖，已知點(diǎn)E、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【專題】55D：圖形的相似．【分析】利用平行線分線段成比例定理即可一一判斷．【解答】解：∵EF∥BC，∴＝，＝，＝＝，∴選項(xiàng)A，C，D正確，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果線段a＝4厘米，c＝9厘米，那么線段a、c的比例中項(xiàng)b＝6厘米．【考點(diǎn)】S2：比例線段．【專題】551：線段、角、相交線與平行線．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到a：b＝b：c，然后利用比例性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵線段a和c的比例中項(xiàng)為b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（負(fù)值舍去）．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可．8．（4分）如果向量與單位向量方向相反，且長度為2，那么向量＝＝﹣2（用單位向量表示）．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【專題】17：推理填空題；2B：探究型．【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答．【解答】解：∵的長度為2，向量是單位向量，∴a＝2e，∵與單位向量的方向相反，∴＝﹣2．故答案為：＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查的是平面向量的知識，即長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度等于1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向．9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，則BC的長為4．【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義．【專題】1：常規(guī)題型．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，∴cosB＝＝＝，解得：BC＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確記憶邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（4分）已知兩個(gè)三角形相似，如果其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45°、60°，那么另外一個(gè)三角形的最大內(nèi)角是75°．【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì)．【專題】55D：圖形的相似．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)定理計(jì)算即可．【解答】解：由三角形內(nèi)角和定理可知，兩個(gè)內(nèi)角分別是45°、60°的三角形的第三個(gè)內(nèi)角為：180°﹣45°﹣60°＝75°，∵兩個(gè)三角形相似，∴另外一個(gè)三角形的最大內(nèi)角是75°，故答案為：75．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．11．（4分）拋物線y＝x2﹣4x+8的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．故答案為（2，4）．【點(diǎn)評】此題主要考查了配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，注意將解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是x＝h．12．（4分）如果點(diǎn)A（﹣1，m）、是拋物線y＝﹣（x﹣1）2+3上的兩個(gè)點(diǎn)，那么m和n的大小關(guān)系是m＜n（填“＞”或“＜”或“＝”）．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，然后利用自變量的大小關(guān)系得到m與n的大小關(guān)系．【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x＝1，而拋物線開口向下，所以當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，所以m＜n．故答案為＜．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．13．（4分）如圖，已知AE與CF相交于點(diǎn)B，∠C＝∠E＝90°，AC＝4，BC＝3，BE＝2，則BF＝．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】55D：圖形的相似．【分析】三心兩意勾股定理求出AB，由△ABC∽△FBE，可得＝，由此即可解決問題；【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵∠C＝∠E＝90°，∠ABC＝∠FBE，∴△ABC∽△FBE，∴＝，∴＝，∴BF＝，故答案為．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE：EC＝1：2，AE與BD交于點(diǎn)O，如果，，那么＝（﹣）（用向量、表示）．【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì)；LM：*平面向量．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；555：多邊形與平行四邊形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，然后結(jié)合平行線截線段成比例求得AO＝AE，所以由三角形法則解答即可．【解答】解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BE：EC＝1：2，∴＝＝．∴AO＝AE＝（﹣）．故答案是：（﹣）．【點(diǎn)評】考查了平面向量和平行四邊形的性質(zhì)，解題時(shí)，需要熟練掌握向量的三角形法則，注意向量是有方向的．15．（4分）如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是腰AB、CD上的點(diǎn)，AD∥EF∥BC，如果AD：EF：BC＝5：6：9，那么＝．【考點(diǎn)】LH：梯形；S4：平行線分線段成比例；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】55D：圖形的相似．【分析】延長BA，CD交于G，根據(jù)已知條件推出△GAD∽△GEF，△GEF∽△GAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝，，設(shè)AG＝5k，EG＝6k，BG＝9k，求得AE＝k，BE＝9k﹣6k＝3k，于是得到結(jié)論．【解答】解：延長BA，CD交于G，∵AD∥EF∥BC，∴△GAD∽△GEF，△GEF∽△GAB，∴＝＝，，∴設(shè)AG＝5k，EG＝6k，BG＝9k，∴AE＝k，BE＝9k﹣6k＝3k，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．16．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cosC＝，那么tanA＝．【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；T7：解直角三角形．【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，由于cosC＝，所以，，設(shè)CD＝x，BC＝4x，根據(jù)勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義可求出BD與AD的長度．【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵cosC＝，∴，，設(shè)CD＝x，BC＝4x，由于AB＝AC，∴CE＝2x，∴AC＝8x，∴AD＝AC﹣CD＝7x，∴由勾股定理可知：BD＝x，∴AB＝AC＝8x，∴tan∠BAC＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，涉及勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．17．（4分）已知拋物線y＝（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB＝4，點(diǎn)C是拋物線上一點(diǎn)，如果線段AC被y軸平分，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，12）或（﹣1，﹣4）．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)．【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以得到該函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)拋物線y＝（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB＝4，即可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C是拋物線上一點(diǎn)，線段AC被y軸平分，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線y＝（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AB＝4，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）或點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）時(shí)，0＝（﹣3+1）2+k，得k＝﹣4，∵線段AC被y軸平分，點(diǎn)C是拋物線上一點(diǎn)，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為：（3+1）2﹣4＝12，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，12）；當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，0＝（1+1）2+k，得k＝﹣4，∵線段AC被y軸平分，點(diǎn)C是拋物線上一點(diǎn)，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣1，縱坐標(biāo)為：（﹣1+1）2﹣4＝﹣4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；故答案為：（3，12）或（﹣1，﹣4）．【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答，注意點(diǎn)A有兩種情況．18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上的點(diǎn)，EF⊥BE，交邊CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE、BF，如果tan∠ABE＝，那么CE：BF＝4：5．【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；T7：解直角三角形．【專題】55D：圖形的相似．【分析】首先證明B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，推出∠EBF＝∠ECF，推出△BEF∽△CDE，可得＝，再證明∠DEF＝∠ABE，推出tan∠ABE＝tan∠DEF＝＝，設(shè)DF＝3k，DE＝4k，可得EF＝5k，由此即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEF+∠BCF＝180°，∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BEF＝∠D＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴tan∠ABE＝tan∠DEF＝＝，設(shè)DF＝3k，DE＝4k，∴EF＝5k，∴＝＝，故答案為：4：5．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：2cos245°+﹣tan45°．【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【專題】511：實(shí)數(shù)．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝2×（）2+﹣1＝2×+﹣1＝1+﹣1＝4﹣6．【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．20．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣4﹣40…（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)E（4，y）是該拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)為點(diǎn)F，求點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；P6：坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱．【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】（1）利用拋物線的對稱性得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣），則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x+1）2﹣，然后把（0，﹣4）代入求出a即可；（2）計(jì)算當(dāng)x＝4時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值得到E點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用對稱的性質(zhì)確定點(diǎn)F的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵x＝﹣2，y＝﹣4；x＝0，y＝﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2﹣，把（0，﹣4）代入得a（0+1）2﹣＝﹣4，解得a＝，∴拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣；（2）當(dāng)x＝4時(shí)，y＝（4+1）2﹣＝8，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1∴點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣6，8）．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．21．（10分）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，，．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】551：線段、角、相交線與平行線；55D：圖形的相似．【分析】（1）只要證明＝＝，即可推出EF∥CD解決問題；（2）設(shè)△ABE的面積為m．利用相似三角形的性質(zhì)，等高模型求出△BCE，△ECD的面積即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：設(shè)△ABE的面積為m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，∴S△CDE＝4m，∵＝＝，∴S△BEC＝2m，∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．22．（10分）如圖，P點(diǎn)是某海域內(nèi)的一座燈塔的位置，船A停泊在燈塔P的南偏東53°方向的50海里處，船B位于船A的正西方向且與燈塔P相距海里．（本題參考數(shù)據(jù)sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）試問船B在燈塔P的什么方向？（2）求兩船相距多少海里？（結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用．【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用．【分析】（1）過P作PC⊥AB交AB于C，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC＝AP?sin53°＝50×0.8＝40海里，BC＝PB＝10，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）過P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP?cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC＝＝，∴∠BPC＝30°，∴船B在燈塔P的南偏東30°的方向上；（2）∵AC＝AP?sin53°＝50×0.8＝40海里，BC＝PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：兩船相距（40﹣10）海里．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解方位角的定義，能利用三角函數(shù)值計(jì)算有關(guān)線段，難度一般．23．（12分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠CAD＝∠B，點(diǎn)E在邊AB上，聯(lián)結(jié)CE交AD于點(diǎn)H，點(diǎn)F在CE上，且滿足CF?CE＝CD?BC．（1）求證：△ACF∽△ECA；（2）當(dāng)CE平分∠ACB時(shí)，求證：．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】55D：圖形的相似．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ACD∽△BCA，求得＝，得到AC2＝CD?BC，等量代換得到AC2＝CF?CE，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠CDE，根據(jù)角平分線定義得到∠ACE＝∠DCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴AC2＝CD?BC，∵CF?CE＝CD?BC，∴AC2＝CF?CE，∴＝，∵∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA；（2）證明：∵△ACF∽△ECA，∴∠CAE＝∠CDE，∵當(dāng)CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCH，∴△ACE∽△DCH，∴＝（）2＝，∵AC2＝CD?BC，∴．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對稱軸為直線x＝1，交x軸于點(diǎn)E，tan∠BDE＝．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是對稱軸上一點(diǎn)，且∠DCP＝∠BDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【專題】537：函數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸可得出AE＝2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出BE＝2，結(jié)合tan∠BDE＝可得出DE的長度，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，拋物線的表達(dá)式可設(shè)為y＝a（x﹣1）2﹣4，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出a的值，進(jìn)而可得出拋物線的表達(dá)式；（2）取點(diǎn)F（5，0），連接DF，過點(diǎn)C作CM⊥直線DE，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥直線DF，垂足為點(diǎn)N，則△DEF，△BNF為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出BN，DN的長度，進(jìn)而可得出tan∠BDN＝，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)可得出△CDM為等腰直角三角形，分點(diǎn)P在點(diǎn)D的下方和點(diǎn)P在點(diǎn)D的上方兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，由∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°可得出∠CPM＝∠BDN，進(jìn)而可得出tan∠CPM＝＝，代入CM＝1可求出MP，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D上方時(shí)，由∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°可得出∠PCM＝∠BDN，進(jìn)而可得出tan∠PCM＝＝，代入CM＝1可求出MP，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上，此題得解．【解答】解：（1）依照題意，畫出圖形，如圖1所示．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），∴BE＝AE＝2．∵tan∠BDE＝＝，∴DE＝2BE＝4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．∴拋物線的表達(dá)式可設(shè)為y＝a（x﹣1）2﹣4．將（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得：4a﹣4＝0，解得：a＝1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．（2）取點(diǎn)F（5，0），連接DF，過點(diǎn)C作CM⊥直線DE，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥直線DF，垂足為點(diǎn)N，如圖2所示．∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），∴EF＝DE＝4，∴△DEF為等腰直角三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，DF＝4．∵BN⊥DF，∴△BNF為等腰直角三角形，∴NB＝NF＝BF＝，∴DN＝DF﹣NF＝3，∴tan∠BDN＝＝．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），CM⊥DE，∴CM＝DM＝1，∴△CDM為等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠CDM＝45°．①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，∵∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，∴∠CPM＝∠BDN，∴tan∠CPM＝＝，即＝，∴MP＝3，∴EP＝EM+MP＝6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣6）；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D上方時(shí)，∵∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，∴∠PCM＝∠BDN，∴tan∠PCM＝＝，∴MP＝，∴EP＝EM+MP＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣6）或（1，﹣）．【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形找出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)P在點(diǎn)D的下方和點(diǎn)P在點(diǎn)D的上方兩種情況，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)