專題10y＝a(x－h(huán))2與y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：X大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)1：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)溫馨提示：二次函數(shù)的對稱性及最值問題對于二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)圖象開口何上，到對你抽的距離越大，到對應(yīng)的函數(shù)值就越大；當(dāng)圖象開口何下，點(diǎn)到對你抽的距離越大，則對應(yīng)的函數(shù)值就越；若兩點(diǎn)到對你軸的距離相等，則對應(yīng)的函數(shù)值相等，觀察圖象可得以上規(guī)律【課前熱身】1．（24-25九年級上·北京通州·階段練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題是關(guān)于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的問題，掌握拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．2．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）對于二次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．y隨x的增大而增大 B．當(dāng)時，y隨x的增大而增大C．當(dāng)時，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的增減性，由，拋物線開口向上，而對稱軸為直線，可得答案；【詳解】解：∵二次函數(shù)，由于，拋物線開口向上，而對稱軸為直線，所以當(dāng)時，y隨x的增大而增大．故選D3．（2022九年級上·全國·專題練習(xí)）說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(1)(2)(3)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】二次函數(shù)通過配方可以化為頂點(diǎn)式，即y=a(x－h(huán))2+k，其中a決定了拋物線的開口方向，對稱軸是x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；根據(jù)所給出的三個函數(shù)解析式，對照以上規(guī)律確定答案．【詳解】（1）開口向下，對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．（2）開口向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-7)．（3）開口向上，對稱軸為直線x=-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，6)【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的“頂點(diǎn)式”以及各個系數(shù)與拋物線的關(guān)系．4．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象，觀察拋物線，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸兩側(cè)圖象的增減性．x…01234…(1)；(2)；(3)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，再根據(jù)圖像即可求解各性質(zhì)．【詳解】（1）解：列表如下：x…01234……0……0……0…畫圖如下：；，開口向下，對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時，y隨x增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小；（2）解：，開口向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減?。唬?）解：，開口向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減?。R點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【課前熱身】1．（2025·山東濰坊·三模）關(guān)于拋物線，下列說法中錯誤的是（

）A．開口方向向上 B．對稱軸是直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，依據(jù)題意，根據(jù)所給頂點(diǎn)式即可逐個判斷進(jìn)而得解，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，拋物線為，拋物線開口向上，對稱軸是直線，頂點(diǎn)為，當(dāng)時，隨的增大而增大，故A、C、B正確，均不符合，D錯誤，符合題意．故選：D．2．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）二次函數(shù)的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，直接判斷最小值．【詳解】解：二次函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴當(dāng)時，有最小值3，故選：D．3．（24-25九年級上·陜西西安·期中）已知二次函數(shù)．(1)求它的圖象的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)取什么范圍時，隨的增大而增大？【答案】(1)開口向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)可判斷開口方向，再根據(jù)頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸即可；（2）利用開口方向和對稱軸即可解答．【詳解】（1）解：二次函數(shù)中，，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：二次函數(shù)開口向下，在對稱軸的左側(cè)隨的增大而增大，二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而增大．4．（24-25九年級上·湖南長沙·期中）已知二次函數(shù)．(1)直接寫出二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的簡圖；(3)當(dāng)時，直接寫出y的取值范圍．【答案】(1)，(2)見解析(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)的對稱軸為直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為即可得；（2）列表、描點(diǎn)、連線即可畫圖；（3）根據(jù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）列表：x01234y30-103描點(diǎn)畫圖，得：（3）時，，時，，∴當(dāng)時，y的取值范圍為．知識點(diǎn)3：二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．【課前熱身】1．（2025·四川綿陽·二模）如果將拋物線向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，那么所得的拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)則：左加右減，上加下減，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，平移后的解析式為：；故選A．2．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）將二次函數(shù)的圖象沿x軸方向向右平移2個單位長度，平移后的二次函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移方法：左加右減，上加下減，由此可求解問題．【詳解】解：將二次函的圖象沿x軸方向向右平移2個單位，平移后的函數(shù)解析式為；故選：B．3．（22-23九年級上·四川涼山·階段練習(xí)）已知把二次函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到拋物線．(1)試確定的值；(2)指出二次函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)開口向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，平移改變了函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)不變，由此即可求解；（2）由（1）可求出二次函數(shù)的圖像，根據(jù)系數(shù)的特點(diǎn)即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴原二次函數(shù)的解析式為，∴，，．（2）解：由（1）可知，二次函數(shù)，即，∴二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的變換，掌握平移的性質(zhì)，二次函數(shù)頂點(diǎn)式的含義是解題的關(guān)鍵．【題型1】關(guān)于二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的敘述1．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）拋物線的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】A【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，直接可以寫出對稱軸即可；本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：拋物線解析式為：該拋物線的對稱軸是直線，故選：A．2．（24-25九年級上·河北衡水·階段練習(xí)）對于拋物線和的圖象比較，下列說法不正確的是（

）A．開口都向下 B．對稱軸相同 C．最大值都是0 D．與y軸交點(diǎn)不相同【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：函數(shù)：開口向下，對稱軸為：，頂點(diǎn)為：，經(jīng)過，函數(shù)：開口向下，對稱軸為，頂點(diǎn)為：，故選：B．3．（24-25九年級上·北京·開學(xué)考試）若拋物線的頂點(diǎn)在軸上，對稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向．【答案】(1)；(2)拋物線開口向下．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）先確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)頂點(diǎn)式然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)在軸上，對稱軸是直線∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)拋物線解析式為把代入得解得：∴拋物線解析式為：；（2）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵，∴拋物線開口向下．【題型2】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象4．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)“對于二次函數(shù)，開口向上，開口向下”，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象如圖所示，∴，∴，觀察四個選項(xiàng)，選項(xiàng)A符合題意，故選：A．5．（24-25九年級上·廣西河池·期中）如圖，二次函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由二次函數(shù)解析式得出拋物線開口向上，對稱軸為直線，結(jié)合圖象判斷即可得解．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，故C符合題意；故選：C．6．（24-25九年級上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查在同一個坐標(biāo)系中判斷一次函數(shù)與拋物線圖象是否正確，先從各選項(xiàng)中一次函數(shù)圖象得到的符號，進(jìn)而判定同一坐標(biāo)系下二次函數(shù)圖象是否正確即可得到答案，數(shù)形結(jié)合，熟記一次函數(shù)及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：從一次函數(shù)的圖象開始：A、由圖可知，一次函數(shù)中，，對于二次函數(shù)，由可知，拋物線開口向下；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸左側(cè)，與選項(xiàng)圖象一致，故A圖象正確，符合題意；B、由圖可知，一次函數(shù)中，，對于二次函數(shù)，由可知，拋物線開口向上；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸左側(cè)，與選項(xiàng)圖象不一致，故B圖象錯誤，不符合題意；C、由圖可知，一次函數(shù)中，，對于二次函數(shù)，由可知，拋物線開口向上；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸右側(cè)，與選項(xiàng)圖象不一致，故C圖象錯誤，不符合題意；D、由圖可知，一次函數(shù)中，，對于二次函數(shù)，由可知，拋物線開口向下；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸左側(cè)，與選項(xiàng)圖象不一致，故D圖象錯誤，不符合題意；故選：A．【題型3】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的增減性7．（23-24九年級上·廣東惠州·階段練習(xí)）拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，，則，，大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷值的大小．【詳解】解：函數(shù)的解析式是，對稱軸是直線，點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，對稱軸左邊隨的增大而減小，對稱軸右邊隨的增大而增大，又，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性及對稱性．8．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，得（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解題意，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分別畫出，的圖象，繼而根據(jù)圖象即可求解．【詳解】解：如圖所示，若，則，故A選項(xiàng)錯誤；如圖所示，若，則或，故B、D選項(xiàng)錯誤；如圖所示，若，則，故C選項(xiàng)正確；故選：C．9．（24-25九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題中條件可得出拋物線的對稱軸相對于直線的位置，進(jìn)而可解決問題．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，且開口向上，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，∵當(dāng)時，隨的增大而增大，∴拋物線的對稱軸不能在直線的右側(cè)，∴．故答案為：．【題型4】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的最值10．（24-25九年級上·天津·階段練習(xí)）已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有最大值，則的值為．【答案】1或6【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分，，三種情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，∵當(dāng)時，函數(shù)有最大值，①當(dāng)時，則：當(dāng)時，函數(shù)有最大值為：，解得：（舍去）或；②當(dāng)時，則當(dāng)時，函數(shù)有最大值為：，解得：（舍去）或；③當(dāng)時，則：當(dāng)時，函數(shù)有最大值為：，不符合題意；故答案為：1或6．11．（24-25九年級上·山東德州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，則的值為．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的增減性與二次函數(shù)的最值問題．先判斷出二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，然后分，和三種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的最值列式求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴若，即時，則當(dāng)時，函數(shù)y取最大值，即，解得：或（舍去），若，即，則當(dāng)時，函數(shù)y取最大值0，不符合題意；若，即時，則當(dāng)時，函數(shù)y取最大值，即，解得：（舍去）或，綜上，h的值為-1或，故答案為：或．12．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）已知二次函數(shù)（h是常數(shù)），且．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；(2)若函數(shù)的最大值為，求h的值．【答案】(1)函數(shù)的最大值為0；(2)h的值是4或．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；（1）根據(jù)頂點(diǎn)式可直接得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)的最大值為分情況討論：若，則當(dāng)時，y最大；若，則當(dāng)時，y最大；若，則最大值為0，與題意不符；根據(jù)最大值為分別求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，二次函數(shù)為，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值為0；（2）解：∵二次函數(shù)（h是常數(shù)），當(dāng)自變量x滿足時，其對應(yīng)函數(shù)y的最大值為，∴若，則當(dāng)時，y最大，即，解得，（舍去）；若，則當(dāng)時，y最大，即，解得，（舍去）；若，則最大值為0，與題意不符；綜上，h的值是4或．【題型5】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2與幾何綜合問題13．（24-25九年級上·四川自貢·階段練習(xí)）如圖，直線與拋線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)記拋物線的頂點(diǎn)為，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握坐標(biāo)系內(nèi)求三角形面積的方法．（1）令，求出點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入直線解析式求解；（2）作軸交于點(diǎn)D，由求解．【詳解】（1）解：令，解得：，，將分別代入得，，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為．（2）解：作軸交于點(diǎn)D，如圖所示：∵，∴拋物線頂點(diǎn)A坐標(biāo)為，將代入得，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為，，∴．14．（24-25九年級上·吉林松原·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作軸，交該拋物線于點(diǎn)C，連接，以為邊作，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．(1)求該拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及的面積．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為16【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式求解，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式求出，，再根據(jù)四邊形是平行四邊形即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及的面積．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴將代入得：，即，故該拋物線的解析式為．（2）解：該拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時，，，，四邊形是平行四邊形，．，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．的面積為．15．（24-25九年級上·河南信陽·階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)寫出該拋物線的對稱軸并求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求；(3)在對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？【答案】(1)，，(2)4(3)存在，或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接寫出對稱軸即可，分別令，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)即可；（2）利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)在對稱軸上，得到，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴對稱軸為直線；當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，∴，；（2）∵，，∴，∴；（3）存在，設(shè)，∵，，，∴，∴當(dāng)時，以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴或．【題型6】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的性質(zhì)敘述16．（23-24九年級上·四川南充·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．對稱軸為B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．函數(shù)的最大值是D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可判斷．【詳解】解：A、對稱軸為，故此選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故此選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；C、函數(shù)的最大值是，故此選項(xiàng)說法正確，符合題意；D、當(dāng)時，隨的增大而減小，故此選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；故選：C．17．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）拋物線的對稱軸為直線．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)式解析式，可知的對稱軸是．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是．故答案為：．18．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）二次函數(shù)的最大值是．【答案】5【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴∴圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值5，故答案為：5．【題型7】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的增減性19．（23-24九年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)，，則的大小關(guān)系為．【答案】【分析】本題考查了函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的對稱性及增減性．根據(jù)函數(shù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)，確定其對稱軸為，圖象開口向上；利用二次函數(shù)的對稱性和增減性即可判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴距離對稱軸越近，函數(shù)值越小，而，∴，故答案為：．20．（24-25九年級上·重慶渝北·期中）如果二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象上有兩點(diǎn)和，那么（填“>”、“=”或“<”）．【答案】<【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸性是解題的關(guān)鍵，根據(jù)對稱性找到點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到答案．【詳解】解：由題可得：函數(shù)的對稱軸為：，∴關(guān)于的對稱點(diǎn)為：，當(dāng)時，隨著的增大而增大，∵，∴，故答案為：<．21．（24-25九年級上·北京海淀·期中）1.已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．若，是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則的值可以是．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用拋物線的對稱性質(zhì)及開口方向，確定點(diǎn)，到對稱軸的距離關(guān)系，從而比較大小即可，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴該拋物線的對稱軸為直線，函數(shù)圖象開口向上，∴點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)為，∵，∴或，∴的值可以是，故答案為：（答案不唯一）．【題型8】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的最值22．（23-24九年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）拋物線如圖所示，則函數(shù)y的最小值和最大值分別是．【答案】；5【分析】本題主要考查了二次函數(shù)最值問題，根據(jù)解析式求出對稱軸，開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，再確定當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有最大值并計(jì)算出最大值即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即最小值為∴離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵，∴當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有最大值，最大值為，故答案為；；5．23．（24-25九年級上·河南漯河·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的增減性，進(jìn)而確定函數(shù)值的取值范圍即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值，在對稱軸右側(cè)y隨x增大而增大，在對稱軸左側(cè)y隨x增大而減小，且離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，且當(dāng)時，，∴，故答案為：．24．（24-25九年級下·江蘇南京·期中）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）(1)若，①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為___________；②當(dāng)時，該函數(shù)的最大值___________；③當(dāng)時，該函數(shù)的最大值為___________；(2)當(dāng)時，該函數(shù)的最大值為4，則常數(shù)的值為___________．【答案】(1)①；②2；③(2)2或．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求最值，判斷二次函數(shù)圖象的增減區(qū)間，即可求解；（2）分析拋物線對稱軸的不同位置判斷最值并求解即可；【詳解】（1）解：當(dāng)時，則二次函數(shù)①二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；②該拋物線的對稱軸為，∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為2；∴當(dāng)時，該二次函數(shù)的最大值為2；③當(dāng)時，該二次函數(shù)的最大值為．故答案為：①；②2；③（2）二次函數(shù)的對稱軸為：，開口向下，當(dāng)時，，解得：（舍去）；當(dāng)時，，解得：（舍去）；當(dāng)時，，解得：；綜上，常數(shù)m的值為或．故答案為：或．【題型9】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的平移問題25．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)是．(1)求此二次函數(shù)解析式；(2)求此二次函數(shù)圖象如何平移可以得到圖象？【答案】(1)(2)向左1個單位，向上2個單位【分析】本題考查了求二次函數(shù)的解析式，平移性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)是，設(shè)，把代入，得，即可作答．（2）結(jié)合“左加右減、上加下減”進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是，∴，把代入，解得，解得，∴；（2）解：由（1）得，則二次函數(shù)圖象向左1個單位，向上2個單位平移可以得到圖象，26．（24-25九年級上·河南信陽·階段練習(xí)）已知拋物線的對稱軸為直線，且過點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)該拋物線是由拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到的？(3)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，隨的增大而減小？【答案】(1)拋物線解析式為；(2)拋物線是由拋物線向左平移2個單位；(3)當(dāng)時，y隨x的增大而減?。痉治觥勘绢}考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對稱軸，可得的值，根據(jù)拋物線過點(diǎn)，可得a值；（2）根據(jù)頂點(diǎn)式，即可說明需要移動的單位和方向；（3）根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)的增減性回答即可；【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，即拋物線解析式為，∵過點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：由（1）得：拋物線解析式為，∴拋物線是由拋物線向左平移2個單位長度得到的；（3）解：由（1）得：拋物線解析式為，∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小．27．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，拋物線與交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①無論取何值，總是負(fù)數(shù)；②可由向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當(dāng)時，隨著的增大，的值先增大后減?。铝姓f法正確的是（

）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③不正確 D．①②③都正確【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)的平移等．根據(jù)題意逐一對序號進(jìn)行判斷分析即可得到本題答案．【詳解】解：，，，無論取何值，總是負(fù)數(shù)，故①正確；拋物線與交于點(diǎn)，當(dāng)時，，即，解得：，，可由向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到，故②正確；，隨著的增大，的值減小；故③錯誤．故選：C．【題型10】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k與幾何性質(zhì)問題28．（2025·廣東東莞·二模）如圖，點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，軸交拋物線另一點(diǎn)于B，點(diǎn)C為該拋物線的頂點(diǎn)．若為等邊三角形，則a的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，，將點(diǎn)代入拋物線解析式，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，∵拋物線的對稱軸為，為等邊三角形，且軸，∴，，．∵當(dāng)時，，∴，∴，∴．故選：A．29．（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接，若在拋物線上存在一點(diǎn)，使得，則的坐標(biāo)是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，面積問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先分別求出，，結(jié)合，列式代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．【詳解】解：依題意，拋物線上存在一點(diǎn)，故連接，如圖所示：∵點(diǎn)，∴，∵與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），∴令，則，解得∴，∴，∵拋物線上存在一點(diǎn)，使得，∴，則，即，把代入，得，解得觀察四個選項(xiàng)，唯有符合題意，故選：D．【題型10】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k性質(zhì)的推理計(jì)算與證明30．（2025·浙江湖州·二模）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)將拋物線先向左平移個單位，再向上平移5個單位，函數(shù)圖象恰好經(jīng)過原點(diǎn)，求n的值．(3)已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)2(3)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象的平移變換、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握平移的規(guī)律以及二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用平移的規(guī)律求得平移后的解析式，再代入原點(diǎn)坐標(biāo)求得n的值即可；（3）根據(jù)題意點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，則，由，得出，即，然后利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得m的取值即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)（h為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴，解得，∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：將拋物線先向左平移個單位，再向上平移5個單位，得到，即，∵圖象恰好經(jīng)過原點(diǎn)，∴，解得或，∵，∴n的值為2．（3）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，∴，∴，∵，∴，∴，∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴m的取值范圍是．31．（24-25八年級下·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn)，若對于，，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法求解析式，即可；（2）先得出拋物線的對稱軸為直線，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，進(jìn)而分在對稱軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：將，代入得解得：∴拋物線解析式為；（2）解：，則拋物線的對稱軸為直線∵，∴在對稱軸的左側(cè)，∴關(guān)于的對稱點(diǎn)為，∴，∵，，∴或，解得：或．32．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上有兩點(diǎn)．(1)對于，有，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)對于任意實(shí)數(shù)，若，都有，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的對稱性，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)對稱性，求出的值，根據(jù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，進(jìn)而得到，增減性得到時，，待定系數(shù)法求出的值即可．【詳解】（1）解：，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，有該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）拋物線的對稱軸是直線，點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，拋物線的對稱軸是直線，．點(diǎn)在對稱軸右側(cè)，且，當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，時，隨的增大而增大，．，．當(dāng)時，．把代入函數(shù)表達(dá)式中，，．【題型11】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的實(shí)際應(yīng)用33．（2025·江西上饒·一模）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則游戲成功．彈力球著地前后的運(yùn)動路徑可近似看成形狀相同的兩條拋物線．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，x（單位：m）是彈力球距拋出點(diǎn)的水平距離，y（單位；m）是彈力球距地面的高度．甲站在原點(diǎn)處，從離地面的點(diǎn)A處拋出彈力球，彈力球在點(diǎn)B處著地后彈起．已知彈力球第一次著地前拋物線的函數(shù)解析式為．(1)求a的值及的長．(2)若彈力球在點(diǎn)B處著地后彈起的最大高度比著地前拋物線的最大高度低．①求彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的函數(shù)解析式．②如圖，如果在地面上擺放一個底面半徑為，高的圓柱形筐，此時筐的最左端與原點(diǎn)的水平距離為．若要使得游戲成功，則d的取值范圍是________．【答案】(1),米(2)；．【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與一元二次方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．（）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，即可求出的值；（）由（）可得彈力球第一次著地前拋物線的解析式，再令，解方程求出的值，即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條拋物線形狀相同，且彈力球在處著地后彈起的最大高度為著地前拋物線最大高度的一半以及點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的表達(dá)式；l把代入，解方程求出的值與框的位置比較即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是拋物線的起點(diǎn)，∴，解得，則，當(dāng)時，，解得，(不合，舍去)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；∴；（2）解：由（）知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5；∵兩條拋物線形狀相同，彈力球在點(diǎn)B處著地后彈起的最大高度比著地前拋物線的最大高度低．∴，設(shè)彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線解析式為，將點(diǎn)代入該解析式，得，解得，，∵，∴不合，舍去，∴，∴彈力球第一次著地后的彈起降落形成拋物線解析式為；令中，則，解得，，∵，∴不合，舍去，∴，∴彈力球第二次落地點(diǎn)距離原點(diǎn)米，∵筐的最左端與原點(diǎn)的水平距離為．在地面上擺放一個底面半徑為，高的圓柱形筐，當(dāng)代入，得解得或，∵時，y隨x的增大而增大，時，y隨x的增大而減小，∴由題意可知,解得：∴要使得游戲成功，則d的取值范圍是．故答案為：．【題型12】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k與幾何綜合問題34．（2025·甘肅隴南·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)，(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)存在，或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）分別令，，利用解析式解答即可；（2）先求出，過點(diǎn)作所在直線于點(diǎn)，設(shè)，則，利用鉛錘法得出，列式求解即可．【詳解】（1）解：令，得，則，令，得，解得：，，∴，；（2）解：設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，，∴，∴，∵，∴，如圖，過點(diǎn)作所在直線于點(diǎn)，設(shè)，則，則，則，同理當(dāng)點(diǎn)在拋物線上段時，，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)右側(cè)時，，綜上，，則，∴，即，當(dāng)時，解得，，分別代入，得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)時，由，無解；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．35．（2025·山東聊城·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)，其中，該函數(shù)圖象與軸交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)，不重合）．①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；②用表示和，并求的最大值．【答案】(1)，，(2)①；②，，的最大值為4【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性和最值是解題關(guān)鍵．（1）令，求出的值即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱可得，由此即可得；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得，則，再求出的值，然后求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可得．【詳解】（1）解：令，則，解得或，∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），∴，，∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，∴．（2）解：①由（1）可知，，，∵這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴這個二次函數(shù)的對稱軸為直線，又∵這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，∴，解得．②由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴這個二次函數(shù)的對稱軸為直線，又∵這個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合），∴，，∴，又∵點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合），∴，∴，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，當(dāng)時，的值最大，最大值為4，綜上，，，的最大值為4．1．（24-25九年級上·青海西寧·階段練習(xí)）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法錯誤的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．時，的值隨值的增大而減少C．對稱軸為 D．函數(shù)的最小值為0【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的開口方向向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴時，的值隨值的增大而減少，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為0；綜上，只有選項(xiàng)D說法錯誤；故選D．2．（24-25九年級上·青海西寧·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，隨的增大而增大，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，當(dāng)時，隨的增大而增大，∵當(dāng)時，隨的增大而增大，∴；故選B．3．（24-25九年級上·遼寧葫蘆島·期中）下列拋物線中，與拋物線形狀相同、開口方向不同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)拋物線與拋物線形狀相同、開口方向不同，得到二次項(xiàng)系數(shù)為，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得到拋物線的解析式.【詳解】解：拋物線與拋物線形狀相同、開口方向不同，該拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線解析式為故選：D.4．（24-25八年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則，②若，則，③若，則，④若，則；其中正確的是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、因式分解、不等式的性質(zhì)，利用作差法比較的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由拋物線經(jīng)過點(diǎn)可得，同理可得，利用因式分解的知識得到，再利用不等式的性質(zhì)逐個分析判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，同理可得：，，若，則，，，即，故①正確；若，則，，，即，故②不正確；若，則，，，即，故③正確；若，則，而無法判斷的正負(fù)性，故無法判斷與的大小關(guān)系，故④不正確；綜上所述，其中正確的是①③，有2個．故選：B．5．（24-25八年級下·福建福州·階段練習(xí)）對于拋物線，下列判斷不正確的是（

）A．拋物線的開口向下B．當(dāng)時，有最大值1C．對稱軸為直線D．當(dāng)時，隨的增大而增大【答案】C【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解析式，可判定拋物線開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，有最大值1，當(dāng)時，隨的增大而增大，解答即可．【詳解】解：∵中，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，有最大值1，當(dāng)時，隨的增大而增大，故A，B，D正確，C錯誤，故選：C．6．（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)自變量的值滿足的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值的最大值為，則的值為（

）A．0或4 B．2或6 C．0或6 D．2或4【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值．由解析式可知該函數(shù)在時取得最大值2，時，隨的增大而減小、當(dāng)時，隨的增大而增大，根據(jù)時，函數(shù)的最大值為，可分如下兩種情況：①若，時，取得最大值；②若，當(dāng)時，取得最大值，分別列出關(guān)于的方程求解即可．【詳解】解：∵，二次函數(shù)關(guān)于對稱，在時取得最大值2，時，隨的增大而減小、當(dāng)時，隨的增大而增大，①若，當(dāng)時，取得最大值，可得：，解得：或（舍）；②若，當(dāng)時，取得最大值，可得：，解得：或（舍）．綜上，的值為0或6，故選：C．7．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，且始終滿足，則直線必過的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了拋物線與直線的交點(diǎn)問題，主要涉及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．聯(lián)立，則，則，，由，同理，建立方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線與拋物線得，∴，則，，∴，，同理可求：，∵，∴，整理得，解得：．∴，當(dāng)時，，∴直線必過的定點(diǎn)為，故選：C．8．（24-25九年級上·河北承德·期末）對于點(diǎn)，下列描述不正確的是（

）A．不論為何值，點(diǎn)都在拋物線上B．點(diǎn)有最高點(diǎn)為C．在軸上能找到兩個符合條件的點(diǎn)D．點(diǎn)不會在第三象限出現(xiàn)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、由，設(shè)，，∴，∴，∴不論為何值，點(diǎn)都在拋物線上，原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵點(diǎn)都在拋物線上，，∴點(diǎn)有最低點(diǎn)為，原選項(xiàng)錯誤，符合題意；、當(dāng)時，，∴，，∴與軸交點(diǎn)為，，∴在軸上能找到兩個符合條件的點(diǎn)，原選項(xiàng)正確，不符合題意；、由拋物線與軸交點(diǎn)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上，∴點(diǎn)不會在第三象限出現(xiàn)，原選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：．二、填空題9．（24-25九年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是（用“<”號連接）．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的對稱性和增減性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的開口向上，有最小值，對稱軸是直線，可知時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等，根據(jù)當(dāng)時，y隨x的增大而增大，可以判斷、、的大小關(guān)系．【詳解】解：∵拋物線，∴該拋物線開口向上，有最小值，對稱軸是直線．∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大．∵的對稱點(diǎn)為，且，∴．∵是頂點(diǎn)，∴最?。啵蚀鸢笧椋海?0．（23-24九年級上·上海青浦·階段練習(xí)）已知拋物線開口向上，對稱軸是直線，拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），（4，），那么．（填“>”或“<”）【答案】【分析】由拋物線開口向下，對稱軸為直線可得時，隨增大而減小，進(jìn)而求解．【詳解】解：拋物線開口向上，對稱軸是直線，時，隨增大而減小，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．11．（23-24九年級上·福建莆田·階段練習(xí)）已知，，是二次函數(shù)圖像上三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為【答案】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線，然后通過比較三個點(diǎn)到對稱軸的遠(yuǎn)近確定函數(shù)值的大?。驹斀狻拷猓憾魏瘮?shù)的圖像開口向上，對稱軸為，離對稱軸越近的函數(shù)值越小，到對稱軸的距離最近，到對稱軸的距離最遠(yuǎn)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．12．（23-24九年級上·山東日照·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為，則a的值為．【答案】4或【分析】由題意可知的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情況討論：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，在，，解得，即可求解答案．【詳解】解：的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，在，函數(shù)有最小值，∵的最小值為，∴，∴；當(dāng)時，在，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，∴，解得；綜上所述：的值為4或．故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在指定的范圍內(nèi)準(zhǔn)確求出函數(shù)的最小值是解題的關(guān)鍵．13．（2025·廣東珠海·一模）拋物線過兩點(diǎn)，將拋物線L向左或向右平移后得到拋物線M，設(shè)拋物線M的頂點(diǎn)為C．若是以為斜邊的直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，勾股定理等．由拋物線的對稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由拋物線的平移表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：拋物線L的解析式為，拋物線L的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線L過兩點(diǎn)，，，，，拋物線L向左或向右平移后得到拋物線M，設(shè)拋物線M的頂點(diǎn)，，，是以為斜邊的直角三角形，，，整理得，解得，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或故答案為：或．14．（24-25九年級上·河北保定·期末）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．當(dāng)取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖，這些分別是當(dāng)，，，時，二次函數(shù)的圖象，則它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)，根據(jù)得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式即可．【詳解】解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)，消去得，∴它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是，故答案為：．三、解答題15．（23-24九年級下·全國·單元測試）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．求：(1)滿足條件的m的值；(2)m為何值時，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個最低點(diǎn)，這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？【答案】(1)(2)，該點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時，y隨x的增大而增大．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的定義：（1）直接根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）二次函數(shù)有最低點(diǎn)，則二次項(xiàng)系數(shù)大于0，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，解得；（2）解：∵拋物線有最低點(diǎn)，∴，由（1）可得，∴，∴拋物線解析式為，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為y軸，且開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大．16．（24-25九年級上·山東德州·期中）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，求的值；(3)若點(diǎn)，在此拋物線上，比較與大小，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用增減性判斷函數(shù)值的大?。?）由點(diǎn)坐標(biāo)求出，進(jìn)一步得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解；（2）將代入，即可求出值；（3）根據(jù)對稱軸和開口方向判斷增減性，再結(jié)合，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)判斷即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為A，∴，則，∵，∴，代入中，得：，解得：，∴；（2）