第7節(jié)拋物線課標要求1.理解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解拋物線的簡單應用.【知識梳理】1.拋物線的定義(1)一般地,設F是平面內的一個定點,l是不過點F的一條定直線,則平面上到F的距離與到l的距離的點的軌跡稱為拋物線,其中定點F稱為拋物線的,定直線l稱為拋物線的.(2)其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質圖形標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離性質頂點O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑________eq\f(p,2)－x0y0＋eq\f(p,2)________焦點弦x1＋x2＋p________________p－y1－y2[常用結論與微點提醒]1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑.3.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，則|AB|＝x1＋x2＋p，也稱為拋物線的焦點弦.4.拋物線定義中，如果定點F在直線l上，此時動點的軌跡為過點F且與l垂直的直線.5.不同的方程中，焦半徑公式、焦點弦公式也不相同.【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.()(2)y2＝2px(p>0)中p越大，拋物線的開口越大.()(3)拋物線是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.()(4)焦點弦最短長度為p.()2.(蘇教選修一P116T原題)拋物線y＝2x2的焦點坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))3.(人教A選修一P134例3改編)(多選)頂點在原點，對稱軸是坐標軸，并且經(jīng)過點M(2，－2eq\r(2))的拋物線方程為()A.x2＝－eq\r(2)y B.y2＝－eq\r(2)xC.y2＝4x D.x2＝4y4.(人教B選修一P164例2改編)已知點P在拋物線x2＝－5y上，且A(0，－3)，則|PA|的最小值為________.考點一拋物線的定義和標準方程例1(1)(2025·長沙模擬)在建筑中很多圓頂建筑的頂部會使用拋物線形狀，例如飛機庫、穹頂體育場和博物館采用了拋物線形狀的圓頂，因為這種形狀可以提供良好的結構穩(wěn)定性，并能使空間更加開闊.圖1為某機場的一個飛機庫，它的一個縱截面呈拋物線形，將其置于平面直角坐標系xOy中，如圖2.已知該飛機庫的底面寬度約為96m，高度約為60m，則此縱截面所在拋物線的方程為()A.x2＝－eq\f(192,5)y B.x2＝－eq\f(96,5)yC.x2＝－eq\f(75,2)y D.x2＝－75y(2)(2024·天津卷)圓(x－1)2＋y2＝25的圓心與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F重合，A為兩曲線的交點，則原點到直線AF的距離為________.思維建模1.“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結合”是靈活解題的一條捷徑.2.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.訓練1(1)(2025·蘇州質檢)在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2，0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝－4x D.y2＝－8x(2)(2023·北京卷)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上，若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝()A.7 B.6C.5 D.4考點二拋物線的幾何性質角度1焦半徑和焦點弦例2(1)(2025·荊州調研)設拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為120°，則|PF|＝()A.3 B.6C.9 D.12(2)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.角度2與拋物線有關的最值問題例3(1)若拋物線y2＝4x的準線為l，P是拋物線上任意一點，則P到準線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是()A.2 B.eq\f(13,5)C.eq\f(14,5) D.3(2)(2025·海南調研)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上一點，B為圓M：(x－3)2＋(y－1)2＝1上一點，則|AB|＋|AF|的最小值為________.思維建模與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.訓練2(1)已知點F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq\f(16,3)，則t＝________.(2)(2025·東北三省四市模擬)直線l與拋物線x2＝4y交于A，B兩點，若|AB|＝6，則線段AB的中點M到x軸距離的最小值是________.考點三拋物線的綜合問題例4(1)(多選)(2024·新高考Ⅱ卷)拋物線C：y2＝4x的準線為l，P為C上動點.過P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一條切線，Q為切點.過P作l的垂線，垂足為B，則()A.l與⊙A相切B.當P，A，B三點共線時，|PQ|＝eq\r(15)C.當|PB|＝2時，PA⊥ABD.滿足|PA|＝|PB|的點P有且僅有2個(2)(2025·重慶診斷)設F為拋物線y2＝8x的焦點，A，B，C為該拋物線上不同的三點，若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，O為坐標原點，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋eq\o(|FB|,\s\up6(→))＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝________.思維建模1.拋物線與其他曲線綜合命題時往往與幾何性質有關，焦點弦公式|AB|＝x1＋x2＋p在使用時務必確保該直線過焦點.2.拋物線與其他知識，如函數(shù)、不等式、平面向量等綜合命題時往往考查知識運用能力，特別是最值問題的求解.訓練3過拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點M(－2，y0)，使得eq\o(MA,\s\up6(→))⊥eq\o(MB,\s\up6(→))，求直線l的方程.阿基米德三角形拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.性質1：阿基米德三角形的底邊AB上的中線MQ平行于拋物線的軸；性質2：若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內的定點C，則另一頂點Q的軌跡為一條直線，該直線與以C點為中點的弦平行；性質3：若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊AB過定點，若直線l方程為：ax＋by＋c＝0，則定點的坐標為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，－\f(bp,a)))；性質4：底邊AB為a的阿基米德三角形的面積最大值為eq\f(a3,8p)；性質5：若阿基米德三角形的底邊AB過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.典例(1)(2025·廣州調研)若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”，當弦AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下特征：①點P必在拋物線的準線上；②PF⊥AB.若經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點P的縱坐標為4，則直線AB的方程為()A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0(2)(2025·杭州質檢)拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于該弦所形成的阿基米德三角形面積的eq\f(2,3).已知A(－2，1)，B(2，1)為拋物線C：x2＝4y上兩點，則在A點處拋物線C的切線的斜率為________；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為________.