江蘇高考雙曲線數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.雙曲線的標準方程為\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，則其焦點到中心的距離為多少？

A.\(a\)

B.\(b\)

C.\(\sqrt{a^2+b^2}\)

D.\(\sqrt{a^2-b^2}\)

2.雙曲線的離心率\(e\)與\(a\)、\(b\)之間的關系是？

A.\(e=\frac{a}\)

B.\(e=\frac{a}\)

C.\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

D.\(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)

3.雙曲線的漸近線方程為？

A.\(y=\pm\frac{a}x\)

B.\(y=\pm\frac{a}x\)

C.\(y=\pm\frac{a}x\)

D.\(y=\pm\frac{a}x\)

4.若雙曲線的焦點在\(y\)軸上，則其標準方程應為？

A.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

B.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)

C.\(\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\)

D.\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)

5.雙曲線的實軸長度為？

A.\(2a\)

B.\(2b\)

C.\(2\sqrt{a^2+b^2}\)

D.\(2\sqrt{a^2-b^2}\)

6.雙曲線的虛軸長度為？

A.\(2a\)

B.\(2b\)

C.\(2\sqrt{a^2+b^2}\)

D.\(2\sqrt{a^2-b^2}\)

7.雙曲線的焦點到漸近線的距離為？

A.\(a\)

B.\(b\)

C.\(\sqrt{a^2+b^2}\)

D.\(\sqrt{a^2-b^2}\)

8.雙曲線的焦點距為？

A.\(2a\)

B.\(2b\)

C.\(2c\)

D.\(2\sqrt{a^2+b^2}\)

9.若雙曲線的離心率為2，則其焦點到中心的距離與實軸長度的關系為？

A.焦點到中心的距離是實軸長度的2倍

B.焦點到中心的距離是實軸長度的一半

C.焦點到中心的距離等于實軸長度

D.焦點到中心的距離是實軸長度的\(\sqrt{2}\)倍

10.雙曲線的離心率\(e\)與漸近線斜率的關系為？

A.\(e=\frac{1}{\text{斜率}}\)

B.\(e=\text{斜率}\)

C.\(e=\sqrt{1+\text{斜率}^2}\)

D.\(e=\frac{\text{斜率}}{1}\)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是雙曲線的標準方程？

A.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

B.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)

C.\(\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1\)

D.\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=-1\)

2.雙曲線的離心率\(e\)的取值范圍是？

A.\(e>1\)

B.\(e<1\)

C.\(e=1\)

D.\(e\geq1\)

3.雙曲線的漸近線方程可以表示為？

A.\(y=\pm\frac{a}x\)

B.\(y=\pm\frac{a}x\)

C.\(y=\pm\frac{a}x\)

D.\(y=\pm\frac{a}x\)

4.下列哪些是雙曲線的幾何性質？

A.實軸與虛軸互相垂直

B.焦點在實軸上

C.漸近線相交于中心

D.離心率大于1

5.雙曲線的焦點距\(2c\)與\(a\)、\(b\)之間的關系是？

A.\(c^2=a^2+b^2\)

B.\(c^2=a^2-b^2\)

C.\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

D.\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的焦點坐標是________。

2.雙曲線\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{4}=1\)的離心率\(e\)的值是________。

3.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程為________。

4.若雙曲線的離心率為\(\sqrt{2}\)，則其漸近線的斜率是________。

5.雙曲線\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)的實軸長和虛軸長分別是________和________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求雙曲線\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)的焦點坐標和離心率。

2.求雙曲線\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{4}=1\)的漸近線方程。

3.已知雙曲線的離心率為2，實軸長為8，求其標準方程。

4.求雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)上一點\((3,4)\)到其焦點的距離。

5.求雙曲線\(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1\)的焦點到漸近線的距離。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案

1.C

2.C

3.B

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.A

10.C

二、多項選擇題答案

1.AB

2.AD

3.AB

4.ACD

5.AC

三、填空題答案

1.(±5,0)

2.\(\sqrt{29}/5\)

3.\(y=\pm\frac{a}x\)

4.±1

5.8,6

四、計算題答案及過程

1.解：由\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)知\(a^2=16\),\(b^2=9\)，則\(a=4\),\(b=3\)。

焦點距\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=5\)。

焦點坐標為(±5,0)。

離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)。

2.解：由\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{4}=1\)知\(a^2=25\),\(b^2=4\)，則\(a=5\),\(b=2\)。

漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x=\pm\frac{5}{2}x\)。

3.解：設雙曲線方程為\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

由\(e=2\)知\(e=\frac{c}{a}=2\)，即\(c=2a\)。

由\(c^2=a^2+b^2\)知\((2a)^2=a^2+b^2\)，即\(4a^2=a^2+b^2\)，得\(b^2=3a^2\)。

又實軸長為8，即\(2a=8\)，得\(a=4\)，則\(b^2=3\times4^2=48\)，即\(b=4\sqrt{3}\)。

標準方程為\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1\)。

4.解：由\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)知\(a^2=16\),\(b^2=9\)，則\(a=4\),\(b=3\)。

焦點距\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=5\)。

焦點坐標為(±5,0)。

點(3,4)到焦點(5,0)的距離為\(\sqrt{(3-5)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。

點(3,4)到焦點(-5,0)的距離為\(\sqrt{(3+5)^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)。

5.解：由\(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1\)知\(a^2=16\),\(b^2=9\)，則\(a=4\),\(b=3\)。

焦點距\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=5\)。

焦點坐標為(0,±5)。

漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x=\pm\frac{4}{3}x\)，即\(4x\pm3y=0\)。

焦點(0,5)到漸近線\(4x-3y=0\)的距離為\(d=\frac{|4\times0-3\times5|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{15}{5}=3\)。

焦點(0,-5)到漸近線\(4x+3y=0\)的距離為\(d=\frac{|4\times0+3\times(-5)|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{15}{5}=3\)。

焦點距漸近線的距離為3。

知識點總結

1.雙曲線的標準方程及其類型

-\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（中心在原點，焦點在x軸）

-\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)（中心在原點，焦點在y軸）

2.雙曲線的幾何性質

-實軸：過焦點且平行于x軸（或y軸）的軸，長度為\(2a\)。

-虛軸：過中心且垂直于實軸的軸，長度為\(2b\)。

-焦點：雙曲線上到兩定點（焦點）的距離之差的絕對值為常數(shù)的點的集合，焦點到中心的距離為\(c\)。

-離心率：\(e=\frac{c}{a}\)，\(e>1\)。

-漸近線：雙曲線的切線趨于無窮遠時的極限位置，方程為\(y=\pm\frac{a}x\)（或\(y=\pm\frac{a}x\)）。

-焦點距：\(c^2=a^2+b^2\)。

3.雙曲線的求解問題

-求標準方程：已知焦點、實軸、虛軸、漸近線等條件，求雙曲線的標準方程。

-求幾何量：求焦點坐標、離心率、實軸長、虛軸長、焦點距、漸近線方程、焦點到漸近線的距離等。

-求點到焦點的距離：利用雙曲線的定義或距離公式求解。

-其他綜合問題：結合其他圓錐曲線或解析幾何知識進行綜合求解。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例

1.選擇題

-考察知識點：雙曲線的標準方程、幾何性質（焦點、離心率、漸近線等）、定義、基本關系（如\(c^2=a^2+b^2\)）。

-示例：判斷雙曲線的標準方程類型、求離心率、判斷漸近線方程等。

2.多項選擇題

-考察知識點：更全面的覆蓋，可能涉及多個知識點或易混淆的概念，需要學生有較強的綜合理解能力。

-示例：判斷哪些方程是雙曲線的標準方程、雙曲線離心率的取值范圍、漸近線的表示方式等。

3.填空題

-考察知識點：對基本概念的熟練記憶和計算能力，如焦點坐標、離心率、漸近線方程、軸長等。

-示例：直接填空雙曲線的焦點坐標、離心率值、漸近線方程等。

4.計算題

-考察知識點：綜合運用雙曲線的定義、標準方程、幾何性質進行計算和推理的能力，涉及方程求解、距離計算、關系推導等。

-示例：

-求雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的焦點坐標和離心率：需要計算\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)和\(e=\frac{c}{a