等腰三角形的判定能力提升篇一、單選題：1．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1．已知A、B是兩格點(diǎn)，若△ABC為等腰三角形，且S△ABC=1.5，則滿足條件的格點(diǎn)C有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合△ABC為等腰三角形的C點(diǎn)有4個(gè)．因?yàn)镾△ABC=1.5，所以滿足條件的格點(diǎn)C只有兩個(gè)，如圖中藍(lán)色的點(diǎn)．故選B．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰；然后根據(jù)S△ABC=1.5，再確定點(diǎn)C的位置．2．如圖，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，過(guò)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF=DE，則∠DFB的度數(shù)為（）A．25° B．130° C．50°或130° D．25°或130°【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，由圖形的對(duì)稱性可知：△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°﹣50°=130°；∴∠DFB=130°；當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)F′處時(shí)，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=50°，故選C．【分析】如圖，證明∠DFB=∠DEB，此為解決問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出∠DEB=130°，即可解決問(wèn)題．3．如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)G作GD⊥AC于D，下列四個(gè)結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+∠A；③點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)GD=m，AE+AF=n,則=mn.其中正確的結(jié)論有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小題正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故本小題正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；④連接AG，∵點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=AE?GD+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故本小題錯(cuò)誤．故答案為：C．【分析】利用角平分線的性質(zhì)可證得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再證明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，從而可證①的結(jié)論；利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，可對(duì)②作出判斷；BG、CG是△ABC的兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，可證得點(diǎn)G時(shí)內(nèi)心，利用三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可對(duì)③作出判斷；由已知條件：點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面積=（AE+AF）?GD，代入計(jì)算，可對(duì)④作出判斷，綜上所述，可得出正確結(jié)論的個(gè)數(shù)。二、填空題：4．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與，重合），連接，作，與交于.在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)為時(shí)，的形狀是等腰三角形.【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此時(shí)不符合；②當(dāng)DA=DE時(shí)，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA的度數(shù)是110°或80°，故答案為：110°或80°.【分析】利用等邊對(duì)等角可求出∠C的度數(shù)，再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當(dāng)AD=AE時(shí)，可得到∠AED=40°，利用三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角，可知此時(shí)不符合；當(dāng)DA=DE時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠DAE的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠BAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù)；當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=∠DAE=40°，由此可求出∠BAD的度數(shù)；然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù).5．如圖，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分別于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，則∠EFB=【答案】61.5°【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】∵DE垂直平分BC，∴BE=EC，∵BE=AC，∴CE=AC，∴△ACE是等腰三角形，∵∠ACE=16°，∴∠AEC=∠A=82°，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=∠AEC＝×82°＝41°，∵BF平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC＝×41°＝20.5°，∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=82°-20.5°=61.5°，故答案為：61.5°【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)解答即可.6．如圖，已知點(diǎn)P是射線BM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當(dāng)∠OAP=時(shí)，以A、O、B中的其中兩點(diǎn)和P點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【答案】75°或120°或90°【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如圖，

∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=30°，

①當(dāng)AOP1是等腰三角形時(shí)，

∵OA=OP1，

∵∠AOB=30°，

∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；

②當(dāng)△ABP2是等腰三角形時(shí)，

∵∠ABM=60°，

∴△ABP2是等邊三角形，

∴∠BAP2=60°，

∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；

③當(dāng)△OAP3是等腰三角形，

∵OA=AP3，

∴∠AOB=∠AP3O，

∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.

綜上，∠OAP為75°或120°或90°

故答案為：75°或120°或90°.

【分析】分三種情況討論，即當(dāng)OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出∠OAP的度數(shù).7．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于E，交于F，過(guò)點(diǎn)O作于D，有下列結(jié)論：①；②點(diǎn)O到各邊的距離相等；③；④.其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.【答案】①②③④【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°∠A，∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正確；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正確；過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，故②正確.

在Rt△AMO與Rt△ADO中，

∵OM=OD，AO=AO，

∴Rt△AMO≌Rt△ADO∴AM=AD，

同理BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+ACBC）故④正確，故答案為：①②③④.【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得③正確；由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；根據(jù)HL可以證出△AMO與△ADO全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算（AB+ACBC）即可得出判斷出④.三、解答題：8．如圖，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分線與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，MN過(guò)點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：MN=CN﹣BM．【答案】證明：∵ON∥BC，∴∠NOB=∠OBD∵BO平分∠ABD，∴∠ABO=∠DBO，∴∠MOB=∠OBM，∴BM=OM∵ON∥BC，∴∠NOC=∠OCD∵CO平分∠ACB，∴∠NCO=∠BCO，∴∠NCO=∠NOC，∴ON=CN∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，∴CN=BM+MN，∴MN=CN﹣BM．【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】只要證明BM=OM，ON=CN，即可解決問(wèn)題．9．如圖，BD和CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，連接AD．（1）求證：∠BDC=∠BAC；（2）若AB=AC，請(qǐng)判斷△ABD的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，若AF=BF，求∠EBA的大?。敬鸢浮浚?）解：∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC（2）解：△ABD為等腰三角形，證明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD為等腰三角形（3）解：∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，等量代換即可得到結(jié)論；（2）作DM⊥BG于