第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春市四縣區(qū)聯(lián)考高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.樣本數(shù)據(jù)5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位數(shù)次為(

)A.7 B.9 C.9.5 D.102.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則i2025z?A.15?2i5 B.?153.下列敘述中，錯誤的是(

)A.數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差比較小時，數(shù)據(jù)比較分散

B.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能不受少數(shù)幾個極端值的影響

C.極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

D.任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變4.已知向量a，b，其中|a=2，|b|=2，且(a?A.π4 B.π6 C.π25.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為7，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(

)A.8 B.7 C.5 D.36.從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為(

)A.15 B.13 C.257.下列命題中，正確命題的個數(shù)是(

)

①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于b所在的任何一個平面；

②如果直線a和平面α滿足a//α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；

③如果直線a，b和平面α滿足a//α，b//α，那么a//b；

④如果直線a，b和平面α滿足a//b，a//α，b?α，那么b//α；

⑤如果平面α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等，那么AB//α．A.0 B.1 C.2 D.38.文峰塔建于清道光三十年(1850年)，具有鎮(zhèn)洪水和象征人文鼎盛的寓意，現(xiàn)為重慶市文物保護單位，該塔為七級樓閣式磚石結(jié)構(gòu)，底層以條石筑成，塔身呈六邊形，逐層向上收窄，頂部為六角攢尖葫蘆寶頂.其建筑特色和地理位置(南山之巔)使其成為俯瞰山城的重要觀景點.某?！拔姆鍞?shù)智社”為了測量其高度，設(shè)文峰塔高為AB，在與點B同一水平面且共線的三點C，D，E處分別測得頂點A的仰角為30°，45°，60°，且CD=DE=22m，則文峰塔的高AB約為(

)

(參考數(shù)據(jù)：A.24m B.27m C.30m D.33m二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(?2,0)，b=(1,1)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.|a|=|b| B.(a+b)//b

C.a與b10.在某市初三年級舉行的一次體育統(tǒng)考考試中，共有500人參加考試.為了解學(xué)生的成績情況，抽取了樣本容量為n的部分考生成績，已知所有考生成績均在[50,100]，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖、若在樣本中，成績落在區(qū)間[50,60)的人數(shù)為32，則由樣本估計總體可知下列結(jié)論正確的為(

)A.n=200 B.估計考生成績的眾數(shù)為72

C.估計考生成績的中位數(shù)為71 D.估計該市考生成績的平均分為70.611.下列命題中，正確的是(

)A.在△ABC中，A>B，則sinA>sinB

B.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=?i(1+i)，則|z|=______．13.在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，點M在對角線AC上，點N在邊CD上，且AM=14AC，DN14.菱形ABCD的邊長為3，∠B=60°，沿對角線AC折成一個四面體，使得平面ACD⊥平面ABC，則經(jīng)過這個四面體所有頂點的球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為BC，A1B1的中點．

(1)求證：AB⊥DE．

(2)16.(本小題15分)

某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：評分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品.下面是檢驗員從一批產(chǎn)品中隨機抽樣的6件產(chǎn)品的評分：10.19.810.09.710.09.8經(jīng)計算得16i=16xi2=98.03，其中xi為抽取的第i件產(chǎn)品的評分.i=1，2，3，…，6．

(1)求這組樣本平均數(shù)和方差；17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求證：CE//平面PAB；

(2)求證：DC⊥平面PAC；

(3)求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．18.(本小題17分)

Matlab是一種數(shù)學(xué)軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學(xué)習(xí)、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風(fēng)險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，推動了人類基礎(chǔ)教育和基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展.某學(xué)校舉行了相關(guān)Matlab專業(yè)知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙同時答對的概率為12，恰有一人答對的概率為512．

(1)求p和q的值；

(2)試求兩人共答對3道題的概率．19.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足c=acosB+35b．

(1)求cosA的值；

(2)當(dāng)BC與BC邊上的中線長均為2時，求△ABC的周長；

(3)當(dāng)△ABC內(nèi)切圓半徑為1時，求△ABC面積的最小值．參考答案1.D

2.D

3.A

4.A

5.D

6.B

7.C

8.B

9.CD

10.ACD

11.ABD

12.213.7314.15π

15.(1)證明：取AB中點H，連接EH，HD，

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為BC，A1B1的中點，

故EH//BB1，DH//AC．

又∵BB1⊥AB，∴AB⊥EH，AB⊥HD，

∵EH∩HD=H，EH，HD?平面EHD，

故AB⊥平面EHD．

∵DE?平面EHD，∴AB⊥DE．

(2)解：∵AA1=3，AB=AC=216.(1)由題意可知，x?=10.1+9.8+10.0+9.7+10.0+9.86=9.9，

所以樣本方差為s2=16i=16(xi?x?)2=16i=16xi2?x?2=98.03?9.92=0.02；

(2)設(shè)事件A為兩次都抽到一等品，

用a1，a2，a3表示抽取的6件產(chǎn)品中的三個一等品，用b1，b2，b3表示抽取的6件產(chǎn)品中的三個二等品，

則該試驗的樣本空間可表示為Ω={(a1,a2)17.(1)證明：如圖：取PA的中點M，連接BM，ME，

則ME//AD，且ME=12AD，又AD//BC且BC=12AD，

所以ME//BC且ME=BC，

所以四邊形BCEM為平行四邊形，

所以BM//CE，又BM?平面PAB，CE?平面PAB，

所以CE//平面PAB．

(2)證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

由題設(shè)易知ABCD為直角梯形，且∠B=∠BAD=90°，BC=12AD

則AC2=AB2+BC2=2，所以AC=2，

因為BA=BC=1，∠BAC=45°，所以∠DAC=45°，

在△ACD中，由余弦定理可得CD2=AC2+AD2?2AC?AD?cos∠DAC=2，

所以AC2+CD2=AD2，即DC⊥AC，

因為AC∩PA=A，AC，PC?平面PAC，

所以DC⊥平面PAC．

(3)如圖：取PC的中點F，連接EF，

則EF//CD，由(2)知DC⊥平面PAC，則EF⊥平面PAC，

所以∠ECF為直線EC與平面PAC所成的角，

又CF?平面PAC，所以EF⊥CF，

因為CF=12PC=32,EF=12CD=22，

又CE=CF2+FE2=(32)2+(22)2=52，

所以sin∠ECF=EFCE=2252=19.解：(1)由